книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред
.pdf§ ЗА. Классические задачи |
341 |
Упражнение 3. Рассмотреть задачу о сдвиге (см. п. 3.4.4) для моделей А\ и Ау, используя для этого вместо общих соотношений (т. 2, (3.2.36)) явные соотношения между тензором напряжений Коши и энергетическими тензорами напряжений:
1 1 1 v
Т = F _lT • Т • F _1 = F • Т • F 1
Показать, что в этом случае формулы (3.4.26) для модели А\ принимают вид
& OLOL ---- Т а а , а = 1,3, <722 = Т22 —2аТ 12 + а2Т ц , о 12 = Т 12 - аТц,
а для модели Ау\
v |
v |
9v |
V |
V |
V |
V |
= Т п |
2аТ 12 + аТ[22, |
СГ22 = Т22, |
^33 = Тзз, |
12 = Т 12 + «^22- |
||
346 Глава 4. Вязкоупругие среды
ствующие моменты времени 0 < т ^ начиная от некоторого начального т = О.
Понятие функционала по времени дано в т. 1, §4.15.
В силу такой специфической зависимости, вязкоупругие среды еще на зывают средами с памятью, или наследственно-упругими средами, или средами интегрального типа.
Для вязкоупругих сред принимаются следующие допущения:
1) «настоящее может зависеть только от прошлого, но не от будуще го», поэтому все функционалы (4.1.1) зависят только от предысторий 1Z(t —г), 0 < г ^ £;
2)«прошлое не является бесконечным», т. е. моменты времени г > t не дают вклада в функционалы (4.1.1); это означает, что
1Z(T ) = 0 при г < 0; П\т) = n ( t - r ) = 0 при t > т. (4.1.2)
4.1.3. Тензорное функциональное пространство
Для проведения операций с функционалами (4.1.1) необходимы некоторые дополнительные построения и определенные сведения из функционального
анализа [32]. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
множество предысторий тензоров |
k-vo |
ранга |
кТ г(т) = |
|
= кТ (£ —г) (0 < г ^ t) |
и определим для двух произвольных предысторий |
||||
кТ\ и кТ 2 их скалярное произведение: |
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
^krj^t |
krj^t' |
кТ 5 ( т ) ч ^ (feT 1(т)){к.....V |
( r ) |
dr. |
(4.1.3) |
|
t — |
||||
|
0 |
k |
|
|
|
Функцию 7 (т) называют функцией памяти, она является положительной, непрерывной, монотонно убывающей, определенной на [0, +оо) и интегрируе
мой с квадратом, т. е. |
|
72(г) dr = 7Q < +оо. |
(4-1.4) |
о
Поскольку функция памяти является монотонно убывающей, то значения предыстории тензора кТ г(т) = кТ (£ —г) при малых г дают больший вклад в скалярное произведение (4.1.3), чем значения кТ г(т) при больших г. Вы ражаясь нестрого, среда «лучше помнит» события, произошедшие в моменты времени, более близкие к текущему моменту £, чем в более отдаленные моменты времени. Этим свойством наделяют и функционалы (4.1.1), поэтому вязкоупругие среды максвелловского типа называют также средами с зату хающей памятью.
§ 4.1. Вязкоупругие среды с конечными деформациями |
347 |
Если рассмотреть множество кТЦ процессов изменений тензора |
кТ (г) |
(О < г ^ £), поставив каждому процессу в соответствие пару (kT(t), кТ(т)), образованную из значений тензора кТ (£) в момент времени t и предыстории
кТ (г) = кТ (t —г) (0 < г |
^ £), то можно ввести скалярное |
произведение |
|
процессов кТ \ (г) и кТ 2(т) |
из кНр |
|
|
(kT u kT 2)t = |
(kT(t),kT(t)) + (кт\,кТ Ъ)и |
(4.1.5) |
|
где |
|
|
|
(feT !(t),fcT 2(t)) |
= fcT ! ( t ) ^ ^ ( fcT2(t))(fc.....1} |
(4.1.6) |
|
|
|
к |
|
— скалярное произведение тензоров к-ro ранга. |
|
||
Множество кТЦ всех процессов изменения тензора кТ (г) (0 < г < £), для которых существует скалярное произведение (4.1.5) и которые при каждом фиксированном г являются элементами тензорного пространства Т к{8 ^) с введенными в нем обычным образом операциями сложения и умножения на число, называют тензорным функциональным пространством kHt-
Пространство kHt является гильбертовым, поскольку всегда можно пе рейти к декартову базису, в котором компоненты Т ч,,Лк{т) тензоров из кТЦ по условию являются интегрируемыми с квадратом функциями, т. е. принад
лежат пространству функций ^ ^ [О , £], где m = |
о котором известно [32], |
|||
что оно — гильбертово. |
|
|
|
|
Благодаря свойству (4.1.2), скалярное произведение |
процессов |
из kTLt |
||
(4.1.5) можно представить в виде |
|
|
|
|
^krj^t к т|: t — кТ U r) |
(Т *(T ) ) ( * - V |
( T ) d r < |
+оо, |
(4.1.7) |
который часто бывает удобен при анализе моделей вязкоупругой среды. В пространстве kHt существует естественная норма процесса кТ(т):
Сгр ||_ |
fcrjV 1/2 |
(4.1.8) |
|
|
где ( • )t — скалярное произведение (4.1.5).
4.1.4. Непрерывные и дифференцируемые функционалы
Используя норму (4.1.8), введем понятие непрерывного функционала вида (4.1.1):
m S = m ' F ( kT ( t ) , kT t (T)), |
(4.1.9) |
т=О |
|
рассматриваемого как отображение области U из пространства кТЦ в область V в пространстве mTtp
348 |
Глава 4. Вязкоупругие среды |
|
|||
|
тТ: |
U a kHt ^ V с |
mHt. |
(4.1.10) |
|
Определение 4.1.2. Функционал (4.1.10) называют |
н е п р е р ы в н ы м в |
||||
области U с kTLt, |
если для |
всякого |
процесса |
е U выполняется усло |
|
вие: Vs > 0 36 > |
0 такое, |
что для |
любого |
процесса |
кТ , для которого |
(kT + kT ) £ U u |
|
II |
||t< <5, |
|
(4.1.11) |
|
|
|
|||
выполняется условие близости значений операторов в норме (4.1.8) про странства кНр
\\тЬ (kT(t) +kT{t), |
кТ\т) + kT t{ r ) ) - m 'F {kT{t), fcT*(r))||t< e. (4.1.12) |
|
r=0V |
/ |
r=0 |
Функционал (4.1.10) называют линейным, если он удовлетворяет двум
условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
J^ (fcTi(t) |
+ fcT 2(t), |
fcT i(r) |
+ fcT 2(r)) |
= |
|
|
|
т=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Г ( кТ !(*), |
fcT !(r))+ |
Г { кТ 2(Д кТ 2(г)), |
(4.1.13) |
||
|
|
г=0 |
|
|
|
г=0 |
|
|
:F (sfeT(t), |
sfeT(r)) |
= |
s F ( kT(t), кТ (г)), |
(4.1.14) |
||
|
т=0 |
|
|
|
г=0 |
|
|
для любых |
процессов |
кТ \ (г) и ^Т2(т) из |
и любого вещественного |
||||
числа 5. |
|
|
|
|
|
|
|
В пространстве kTLt имеет место теорема Рисса (см. [32]) о представимо сти всякого линейного функционала (4.1.9) в виде скалярного произведения
фиксированного |
элемента |
из k7it |
и произвольного процесса кТ (г) |
из kTLt- |
Например, скалярный линейный функционал в 2Ht имеет вид |
|
|||
|
|
|
t |
|
/( Т ( Д Т 4(т)) |
Г(М)-- |
T T(t) + |
Г(£, t — т) • • Т т(£ —r)y 2(r) dr, |
(4.1.15а) |
|
|
|
о |
|
где Г(£, t — т) — предыстория; Г(£, £) — мгновенное значение при г = t фикси рованного процесса Г(£,т) (0 < г < t) для данного функционала / (появление еще одного аргумента t у процесса Г(£,т) означает, что фиксированный про цесс может меняться при изменении рассматриваемого промежутка времени).
Выполняя замену переменных t — т = у и обозначая Г (t,y)j2(t — т) = = Г(£, у), Го = Г т(£, £), после обратной замены букв у —►г получаем еще одно представление линейного скалярного функционала:
t
/ = Г0 • • Т(£) + Г Д т ) • • T(r) dr, |
(4.1.156) |
о
называемое представлением Вольтерры.
§ 4.1. Вязкоупругие среды с конечными деформациями |
349 |
Для вязкоупругих сред удобно использовать 5-функцию Дирака 5(t), обладающую следующим основным свойством:
t |
|
г |
|
|
|
|
В (t, r)5(to — r)dr |
= |
В (M o ), |
to е |
[0, t], |
(4.1.16) |
|
О, |
to ^ |
[ о , Д |
||||
о |
|
|
||||
|
|
|
|
|
для любого непрерывного тензора B(t, т).
Используя (4.1.16), линейный функционал (4.1.156) можно представить в
виде |
, |
|
/ |
A (t, т) ■■Т(т) dr, |
(4.1.16а) |
где |
О |
|
|
(4.1.166) |
|
A(t, т) = T05(t - т) + Г Д т). |
||
Определение 4.1.3. Функционал (4.1.9) называют д и ф ф е р е н ц и р у е м ы м
по Фреиле в |
точке тТ е U области U с |
mHt, |
если |
существуют |
два |
||||
функционала д Т и 86F , обладающие следующими свойствами: |
|
|
|||||||
• |
они определены на декартовом произведении пространства Ht |
|
|||||||
|
дтТ: |
kHt х kHt -> mHt; |
|
8тТ: |
kHt |
kHt ^ |
тНр, |
(4.1.17) |
|
• |
могут быть записаны в виде, аналогичном (4.1.9): |
|
|
|
|||||
|
mPi = дт Ь (кТЦ ),кТ г(т)\кТЦ)) = |
|
|
|
|
|
|||
|
|
т—О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= , э F |
(кТЦ ),кТЧт)) .... - кТ {k--A)(t), |
(4.1.18) |
|||||
|
|
dkT(t)T=oK |
w |
v ;; |
|
w |
v |
’ |
|
|
|
mP 2 = 8m F |
(кТ Ц ),кТ г(т)\кТЦт)), |
|
(4.1.19) |
||||
|
|
т—0 |
|
|
|
|
|
|
|
{черта разделяет два различных аргумента процесса)-,
•они линейны и непрерывны по второму аргументу,
•удовлетворяют условию: Ve > 0 существует такое 8 , что для всяко
го процесса (кТ Ц ),кТ г(т)), для которого (fcT i(t),fcT j(r)) C U и
|
|| kT ||к 5, |
(4.1.20) |
||
одновременно выполняется условие |
|
|
|
|
где |
|| А тТ ||t< |
е || kT ||t, |
(4.1.21) |
|
|
|
|
|
|
A mT = m T { kT x{t), |
kT\{r)) - m IF {kT(t), |
кТ\т))~ |
|
|
r—0 |
r=0 |
|
|
|
- d m b {kT(t), кТ г{т)\кТЦ)) - 8 |
T |
{kT(t), кТЦт)\кТЦт)), |
(4.1.22) |
|
т= 0 |
r= 0 |
|
|
|
{kTi{t),kT\{r)) = {kT{t) + kT{t), |
кТ\т) + кТ\т)). |
(4.1.23) |
||
350 Глава 4. Вязкоупругие среды
Оператор (4.1.19) называют производной по Фреше. В правой части выражения (4.1.18) стоит частная производная от Т (рассматриваемого как тензорная функция от Т(£)) по тензорному аргументу Т(£).
Дифференцируемый по Фреше функционал (4.1.9) является и непрерыв ным (см. упр. 2 к § 4.1).
Обозначим Up множество процессов kT (t) Е кНр, имеющих непрерывные производные по £: кТ (£) и кТ (£), принадлежащие кНр.
Теорема 4.1.1. Пусть функционал (4.1.9) является дифференцируемым по Фреше в kTLp, тогда существует такое t: t е (0, £'), что для всех процессов кТ (г) Е Ut процесс mS(£) дифференцируем по t и имеет место следующее
п р а в и л о |
д и ф ф е р е н ц и р о в а н и я |
функционала по времени: |
||||||||
d |
5 |
:F (fcT(£), |
fcT*(r)) |
•... • |
j t kT (k- A\t) + |
|||||
£ mS(t) |
= |
|||||||||
dt |
а *Т(£) |
т=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 5 F ( kT(t), |
кТ\т)\кТ\т)). (4.1.24) |
||||
Здесь |
|
|
|
|
|
r=0 |
|
|
||
krj^t |
d |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
/ T ( t - r ) |
; |
= |
- | - feT*(r). |
||||||
|
|
|
d(t —T) |
V |
|
|
dt |
K J |
||
▼Доказательство этой теоремы можно найти в [32]. А Замечание 4.1.1. Теорема 4.1.1 дает возможность определить производные
по Фреше от операторов (4.1.9) путем вычисления обычной производной по t от функций S(£) согласно формуле (4.1.24). □
Пример 4.1.1. Определим производные по Фреше от линейного оператора
(4.1.156) для случая, когда Г(£, т) = Г(£ —г) и Г(£, £) |
= Г(0). |
Используя |
формулу (4.1.24), вычисляем обычную производную по t |
по правилу диффе |
|
ренцирования интеграла с переменным верхним пределом: |
|
|
5 / = г» ' Т т <‘>+ г <°>'-т <*> + Г' ( t - т) • -Т(т) dr, |
(4.1.25) |
|
где Г'(у) = дТ(у)/ду. Сравнивая (4.1.25) с (4.1.24), находим частную произ водную и производную по Фреше:
t
d F = r 0 - - f T ( t ) , | J = Г0, ^ = Г ( 0 ) . . Т ( * ) + T'(t - т) • • Т(т) dr. □
(4.1.26)
4.1.5. Аксиома затухающей памяти
Для вязкоупругих сред максвелловского типа дополнительно принимают следующую аксиому.