книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

2.12.6. Критерии прочности ортотропных

итрансверсально-изотропных сред

Вслучае анизотропных сред в качестве инвариантов l!f\cr) в выражении для функции поврежденности (2.12.6) можно выбрать функциональный базис

вгруппе для Т3 и О, имеющий вид, аналогичный (2.5.18) или (2.5.19). Наиболее широко используют модели прочности второго порядка, в ко­ торых в выражении (2.12.16) учитывают только линейную и квадратичную зависимости от тензора напряжений сг с помощью спектральных инвариантов

Ya^ (см. и. 2.5.8):

m m п

Здесь т — число линейных инвариантов в группе Gs\ (п — т) — число квадратичных инвариантов; тга и тгар — константы прочности, зависящие от температуры в.

В квадратичной модели прочности функция поврежденности содержит только квадраты от спектральных инвариантов, но включает в себя, подобно модели (2.12.14), знакопостоянные инварианты:

где 7r+j, жар, тг^, тгаа — константы прочности.

А. Трансверсально-изотропные среды

Для трансверсально-изотропных сред в главных осях са = ёа анизотропии линейные и квадратичные спектральные инварианты имеют вид (см. упр. 3 к §2.5):

Для модели прочности второго порядка имеются семь различных констант прочности: 7гь 7Г2, 7г11, 7Г12, 7Ti2, згзз, 7Г44, которые могут быть выражены через пределы прочности а'Т, а'с , полученные при одноосном растяжении

совместном растяжении бруса по направлениям Ох1 и Ох3 (он определяется двумя константами <тц = атт и <т33 = а'тт).

В каждом из указанных случаев нагружения в брусе реализуется напря­ женное состояние с одной ненулевой компонентой тензора а в последнем случае — с двумя ненулевыми компонентами а\\ и а 12 . Применяя критерий прочности (2.12.4), (2.12.34) для каждого из этих случаев, находим соотно­ шения между константами прочности и пределами прочности:

Из этой системы находим выражения для констант прочности (пределы проч­ ности определяют экспериментально) (см. упр. 4 к § 2.12):

Для квадратичной модели прочности (2.12.36) трансверсально-изотропной

и еще четыре пары значений на поверхности прочности, получаемых при сов­ местном растяжении или сжатии по осям Ох3 и Ох1: (сг^т ,<тхт), (&сс> сгсс), (сг^с ,<тхс), (с'ст’аст)- Например, точка (а'тс,атс) соответствует значениям сг33 = атс > 0, а\\ — —атс < 0 на поверхности прочности, а (а'ст,аст) —

2.13.2. Упругие среды без электромагнитных эффектов

Если среда не чувствительна к электромагнитным эффектам, то элек­ тромагнитное поле и сплошная среда существуют совершенно независимо, «не замечая друг друга» в одной и той же области V с .

В систему уравнений нелинейной теории упругости (2.1.7) не вхо­ дят электромагнитные величины, а в систему уравнений Максвелла (т. 2, (2.9.65)-(2.9.69)), записанную для случая малых деформаций среды в следу­ ющем виде:

не входят термомеханические величины, поскольку:

1) в рамках малых деформаций конвективными членами типа V х (d х v)

пренебрегают по сравнению со скоростями dd/dt и dh/dt;

о

2)набла-оператор V неразличим с V;

3)электрические заряды и электрические токи в теле отсутствуют:

п. 3.14.2), при которых векторы напряженности электрического и магнитного полей и вектор намагниченности магнитного поля в

лабораторной системе отсчета ё, h и m совпадают с соответствующими векторами е, h и m в исходной неподвижной системе отсчета;

5) поляризация и намагниченность в теле полностью отсутствуют, т. е.

Поскольку уравнения (2.13.5в) и (2.13.5г) являются независимыми только при t = 0 (см. т. 2, § 2.9), то система (2.13.5) при Vt > 0 и \ / х г е V состоит из шести скалярных уравнений относительно шести компонент векторов h и е, т. е. является замкнутой. Поскольку в эту систему не входят никакие термо­ механические величины, то она решается независимо от системы (2.13.1).

В силу допущений (2.13.2) и (2.13.3), электромагнитное поле (ЭМП) не дает вклада в вектор плотности массовых сил f, т. е. пондеромоторная сила fem, определяемая по формуле (т. 2, (2.10.16)), тождественно равна нулю, то

Тем не менее, в некоторых задачах возникает проблема определения пара­ метров ЭМП в области V. В этом случае к системе (2.13.5) присоединяют гра­ ничные условия, вытекающие из общих соотношений (т. 2, (4.8.51)—(4.8.55)) на поверхности разрыва; их формулируют в виде (т. 3, (1.10.30)):

где hte и ete — заданные векторы напряженности магнитного и электрическо­ го полей в касательной плоскости к рассматриваемой точке поверхности £ с вектором нормали п.

Начальные условия к системе (2.13.5) имеют вид

2.13.3. Упругие проводящие среды без поляризации и намагниченности

Для модели проводящих (электропроводных) сред без поляризации и намагниченности принимают все допущения 1-5 из и. 2.13.2 кроме допуще­ ния 2, т. е. полагают, что в среде есть электрические заряды и она проводит электрический ток: ре ф 0, j ф 0 в V U £ .

Тогда система уравнений Максвелла (2.13.1) вместо (2.13.5) принимает

К этой системе добавляют единственное определяющее соотношение для ЭМП — закон Ома (т. 2, (3.14.60)):

где R(0) — тензор электрического сопротивления, который, как правило, достаточно сильно зависит от температуры.

Иногда для описания этой зависимости применяют линейную модель:

Здесь R Q — тензор электрического сопротивления при в = 6Q; OLR — тензор температурных коэффициентов сопротивления. Эффектом Томсона, описыва­ ющим возникновение электрического тока под действием градиента темпера­ тур, в этой модели проводящих сред чаще всего пренебрегают.

Система уравнений (2.13.9) при Vt > 0 имеет семь независимых скалярных уравнений (см. т. 2, п. 2.9.8) и рассматривается относительно семи неизвест­ ных (шести компонент векторов е и h и одной скалярной функции ре) как функций от хг и t.

Ввиду наличия электрического тока и электрических зарядов, пондеромоторная сила fem (т. 2, (2.10.16а)) отлична от тождественного нуля и имеет вид

в таком виде ее называют силой Лоренца (аналогичное выражение имеет место для модели электропроводной жидкости (см. т. 3, п. 1.10.3).

Джоулево тепло ш** в рассматриваемой модели также отлично от нуля и согласно общей формуле (т. 2, (3.14.47ж)) имеет следующий вид:

Пондеромоторная сила (2.13.12) входит в уравнение движения твердого тела, а джоулево тепло — в уравнение баланса энтропии (см. т. 2, (2.11.42)), тогда соответствующую систему уравнений нелинейной теории упругости и теплопроводности для электропроводных сред можно записать следующим образом:

Таким образом, общая система уравнений термомеханики (2.13.14) и элек­ тродинамики (2.13.9)—(2.13.11) является связанной и, вообще говоря, должна решаться совместно. В частных случаях, когда влиянием температуры в на тензор электрического сопротивления можно пренебречь, уравнения электро­ динамики (2.13.9) становятся независимыми и могут быть решены отдельно от системы уравнений (2.13.14). После нахождения всех характеристик элек­ тромагнитного поля в среде решают систему (2.13.14) с известными fem и ш**.

Граничные и начальные условия к системе (2.13.9)—(2.13.11) имеют вид (2.13.7), (2.13.8), а граничные и начальные условия к системе (2.13.14) можно записать, например, в виде (2.2.2е)-(2.2.2и), (2.2.2м):

Как известно, хорошими электропроводными свойствами обладают метал­ лы и сплавы — для них и применяют рассмотренную модель.

2.1 ЗА . Упругие диэлектрики без поляризации и намагниченности

Неметаллические материалы (пластмассы, многие керамики, резины, стро­ ительные материалы и др.) в большинстве своем обладают плохими электро­ проводными свойствами — их относят к диэлектрикам. Для модели упругих диэлектриков без поляризации и намагниченности применяют также пять допущений 1-5 из и. 2.13.2, в том числе и допущение 2 об отсутствии электрических зарядов и токов. Поэтому эту модель можно отнести к классу сред, не чувствительных к электромагнитным эффектам, и все уравнения термомеханики и электродинамики для них точно такие же, как в и. 2.13.2.

2.13.5. Упругие проводники с поляризацией и намагниченностью

А. Уравнения Максвелла

Для модели упругих проводящих сред с поляризацией и намагниченно­ стью принимают допущения 1-4 из и. 2.13.2, а допущение 5 не выполняется, т. е. векторы т и р отличны от тождественного нуля: m ф 0 , р ф 0 . В этом случае вместо (2.13.4) используют соотношения (т. 2, (2.9.88)—(2.9.91)), за­ писанные с учетом допущения 4: