Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4663 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Механика сплошной среды. Т.4 Основы механики твёрдых сред

.pdf
Скачиваний:
25
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
41.7 Mб
Скачать
☆

§ ЗА. Классические задачи

331

J = Р/Р = det F 1 =

 

который, как и для задачи о растяжении бруса, является диагональным тензором, но его компоненты зависят от лагранжевых координат.

Поскольку / = г — радиус, а к — кратность удлинения цилиндра по его оси, то / и к всегда положительны, а из последнего соотношения (3.4.39) следует, что и / ' положительна. Таким образом, имеют место ограничения на знаки /', / и к:

/ ' > 0 , / > 0 , к > 0 .

В силу диагональности F, находим тензоры искажений U и V и тензор поворота О:

U = V = F, О = Е.

(3.4.40)

(п)

(п)

Энергетические тензоры деформации С и меры деформации G вычисляем по формулам (т. 2, (3.2.24) и (3.2.41))

( п ) 1

С= — -— ,)п 111 —1)ег (8) ег+

п- III

 

+

( ( / / ^ ) П _ Ш -

1)е^ 0

+ {кп~ш -

1)ег ® ег),

( п )

( //п-шег <g>ег +

Ш г Г - ^

® + А:""111'

(3.4.41)

G =

Примем, что определяющие соотношения цилиндра соответствуют ли­ нейной модели Ап изотропной среды (3.4.2), тогда, подставляя выражение

( п )

(3.4.41) в (3.4.2), находим энергетические тензоры напряжений Т:

(п)

(п)

(X)

(п)

(п)

® €?£,

(3.4.42)

Т

— Т

-)- Т (р&(р ® &(р Т

Тг =

(п - m ) f 'f k

 

 

 

 

 

К

(п -

T— {l\I\+2l2 {{f/°r)n- m -

 

1)),

 

m ) f 'f k

 

 

 

 

 

Tz

 

 

j - { h h + 2 l 2{knlll- \ ) )

 

 

(n - III)ffk

 

 

 

 

 

 

I x =

 

ef\n-m

+ ( f / r ) n~1U

+ kn~m

3.

 

 

(f ) n~m

 

 

 

 

 

( n )

из соотношений (3.4.4), (3.4.39)

В силу диагональности тензоров F и Т ,

и (3.4.42) получаем выражение для тензора напряжений Коши:

 

Т = oyer ® er +

 

 

,n-III

•

( n )

(3.4.43)

avev <%>ev + azez <g>ez = F

 

т ,

332

Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

 

 

 

° / f/\n-III-l

 

 

 

<7г

=

У

.. (hh + 2 Ш ,п~ш

 

 

 

 

(п -

lll)fk

 

 

 

 

1

/ - /°\п—III—1

°\п-Ш

 

(п -

 

ТйШг)

( h h + 2 l2 ((f/r)n- ^ - l ) )

 

1 1 1 )f к

 

 

 

 

о,

=

rkn-III-l

+ 2 l2 (kn~m -

1)).

 

(n -

- { h h

 

 

 

n i)/7

 

 

Компоненты тензора напряжений в данной задаче оказываются зависящи-

о

ми от координаты г и времени t, поэтому уравнения равновесия автомати­ чески не удовлетворяются. В этом случае, как правило, удобно использовать уравнения равновесия (3.3.33) в материальном описании. Для этого потребу­ ется вычислить тензор напряжений Пиолы — Кирхгофа по формуле (т. 2, (2.2.31)):

(п)

р _

1 # г р _ J _ p n —III—1 Т —о гег 67*+ o’tpQ(p

+ о ZGZ

(3.4.44)

Jo

J

 

 

 

где

 

 

 

 

/ £ / \ П —III—1

{{h + 2h ) f'n- m + h (f / r ) n~m -

(3/i + 212) + h k n~m )

 

n - I I I

 

 

 

 

 

1 n-III-l

+ h f /n- m - (311+ 212) + h k n~m ),

(3.4.45)

°oz =

+ 2 k )k n~m + h ( f'n- m + (1/r)n~m ) - (3h + 2h)).

 

О

Записывая компоненты дивергенции V • Р в физическом базисе er , е^, ez (см. т. 1, § 2.6), представим уравнение равновесия в проекции на ось Оег в следующем виде:

 

 

 

дог +

<Tr-<rv = 0

(3.4.46)

 

 

 

дг

г

 

О

О

О

oz не

о

о

Здесь учтено, что аг,

о^

и

зависят от р

и 2. Ьще два уравнения

равновесия в проекциях на оси Ое^ и Oez удовлетворяются тождественно. Подставляя выражения (3.4.45) в (3.4.46), получаем обыкновенное диф­

ференциальное уравнение второго порядка относительно функции /(г,£). Функция /(г,£) определяется с точностью до двух постоянных интегриро­ вания C\(t) и С*2(£) — функций только времени, для вычисления которых используем граничные условия.

Граничные условия на внутренней и внешней поверхностях цилиндра имеют вид (3.3.13) (задано давление газа или жидкости ре\ и ре2). С учетом формулы (3.4.44) и того факта, что на поверхностях г = га (а = 1,2) векторы нормали п = щег, граничное условие (3.3.13) для данной задачи можно записать следующим образом:

 

§ ЗА. Классические задачи

 

333

о

о

f(ra,t)k

а = 1,2.

(3.4.47)

Г =

Та\ а г — Р е а

О

Га

Граничные условия на торцевых поверхностях z = 0, h% используют для определения функции к. Например, если на поверхности z = 0 заданы условия симметрии, а на z = hf^ — давление рез, то имеем такие условия:

z = 0 :

uz = ( z - z ) |o=Q = 0;

(3.4.48а)

О

°

(3.4.486)

2

= h3: a z = - р е3.

Подставляя выражения (3.4.346) и (3.4.43) в (3.4.48), убеждаемся, что первое граничное условие удовлетворяется тождественно, а второе представ­ ляет собой дополнительное дифференциальное уравнение на функцию / и константу к.

Полученным выше решением не удается в точности удовлетворить этому граничному условию, поэтому вместо него рассматривают другие варианты граничных условий.

Граничные условия «мягкого» типа. Ослабим условие (3.4.486), заменив

его на интегральное:

г2

z = h3: azrd r =

(3.4.49)

Г\

Говорят, что такое условие имеет «мягкий» тип. Метод замены точных гра­ ничных условий на интегральные называют методом Сен-Венана.

Согласно (3.4.346), имеем гdr = fd f = f f dr, тогда, подставляя выражение (3.4.43) для az в (3.4.49) и переходя к отсчетной конфигурации, условие (3.4.49) записываем следующим образом:

г2

п - III

 

21\

((// \ п —III +

{f/°r)n U1)rdr+ (h +2l2 )knlu- ( 3 h + 2 l2)) =

 

 

 

 

 

г1

 

 

 

 

 

 

/ V l i ).

(3.4.50)

 

 

 

 

Ч ~ г \

 

Выражая

из

уравнения

(3.4.50) функцию к и подставляя

ее в

(3.4.45),

а

затем формулы

(3.4.45) в (3.4.46) и (3.4.47), получаем

интегро-дифференциальное уравнение для нахождения функции

 

Для

случая

п = IV (модель Джона Aiy) уравнения (3.4.46),

(3.4.47)

имеют простое аналитическое решение:

 

 

 

 

f{r,t) = C\{t)r + C2(t)

(3.4.51)

г

334

Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

 

Действительно, в этом случае уравнения (3.4.45) имеют вид

 

 

аг = 2(1х + 12 )СХ-

21фф- + 1ХК -

(3Ji + 2*2),

 

 

 

 

 

Г

 

 

 

 

 

 

=

2(*! + *2)Ci

+

21ФФ- + *1 К -

(3*1 +

2*2),

(3 .4 .52)

 

 

 

 

г1

 

 

 

 

 

а (3.4.43) -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

°2

 

 

 

 

s i

 

 

 

=

{/~1 °2

„

+ к) + 21^ Х

-

4 )

-

№ + 21* ) \

 

(Cir2 + С2)/сv

 

 

 

г1

 

 

'

аV =

о2—

(^l (2Ci + fc) + 2I2(C'I

+

^ |)

—(3*i + 2*2) ) ,

 

(с irz -

с2)*еV

 

 

 

е

 

 

;

^

°4

 

 

 

(3*1 + 2*2) ) .

(3.4.53)

------ (h (2Ci + Ч + 212к -

Подставляя выражения (3.4.52) в (3.4.46), убеждаемся, что уравнение равновесия удовлетворяется тождественно.

Подставляя (3.4.48) в граничные условия (3.4.47) и (3.4.486), приводим их к следующему виду:

2(*1 + 12 )СХ-

Щ-С2 + h k -

(3*1 + 2*2) =

-Ре 1(Сх + § )

,

 

Г\

 

V

Г17

 

2(*1 + *2)C'i -

+ hk -

(3*1 + 2*2) =

-Pe2(Ci + § ) .

(3.4.54)

 

r2

 

V

J

 

Граничное условие (3.4.50) для модели Ар/ имеет следующий вид (после

подстановки (3.4.51)):

 

 

20 1*1 + (*1 + 212)к - (3*1 + 2*2) = -Ре3 (c f -

А - ) .

(3.4.55)

V

Г2Г2/

 

Решая систему трех алгебраических уравнений (3.4.54), (3.4.55), находим

Си С2 и к.

Граничные условия «жесткого» типа. Вместо (3.4.49) можно рассмот­ реть другое граничное условие, например, условие заданного перемещения

uez по оси Oz:

 

 

Z = *г3: uz =

( z - z ) L о = uez,

(3.4.56)

 

z=h3

 

тогда для к получаем простое выражение

 

k = l

+ (uez/h 3),

(3.4.57)

аналогичное соответствующему выражению (3.4.8) в задаче о растяжении бруса.

§ ЗА. Классические задачи

335

Для модели A YV это соотношение заменяет условие (3.4.55) и система (3.4.54), (3.4.57) относительно С\, и к становится линейной, ее решение таково:

с 1 1 С2,

с _

°2____________________________

(3.4.58)

2

1(1 + (1 - 2^)pi)7 -

(1 - 2г^)(1- p i) ’

 

 

 

 

P2 ~ P \

 

 

где pa =Pea/^h\ v ~

коэффициент Пуассона (3.4.11a).

 

Выражения для

внешнего и внутреннего

радиусов цилиндра

гд и т\

в конфигурации JC находим, используя формулы (3.4.346) и (3.4.51):

 

Г а / Г а = f ( r a,t)/ra = Ci + (С2 /г а),2

а = 1,2.

(3.4.59)

Для других моделей Дп также можно рассмотреть граничное условие (3.4.56), из которого найдем выражение (3.4.57) для к. Тогда после подста­ новки выражений (3.4.45) в (3.4.46) и (3.4.47) получим одно нелинейное диф­ ференциальное уравнение второго порядка относительно функции / с двумя граничными условиями.

3.4.6. Задача Ламе для несжимаемых сред

Рассмотрим ту же задачу Ламе о цилиндрической трубе под внутренним и внешним давлением (см. п. 3.4.5), но материал трубы будем полагать изотропной несжимаемой средой, описываемой линейными моделями Вп (см. формулы (т. 2, (3.9.46)) или (3.4.15)). Закон движения трубы в этом случае также ищется полуобратным методом в виде (3.4.346), поэтому имеют место все деформационные соотношения (3.4.36)-(3.4.41). Из условия несжимае­ мости среды det F = 1 и из (3.4.39) следует, что функция f(r,t) должна удовлетворять уравнению

f f k = г.

(3.4.60)

Переписав это уравнение в виде / df = (г/к) dr, находим его решение (выбираем положительный корень):

 

 

 

f 2 = j + C,

 

(3.4.61)

где С — постоянная интегрирования.

 

 

 

Подставив соотношение (3.4.60) в (3.4.41), получим

 

 

( п )

1

. п —III

/ f \

п~Ш

.

(3.4.62)

G =

ег 0 е г+ Г М

е„ 1е<о + кп—III,

После

подстановки

этого

выражения

в определяющее соотношение

(3.4.17)

 

 

 

 

( п )

 

 

находим, что энергетические тензоры напряжений Т и для несжимаемой

336 Глава 3. Упругие среды с конечными деформациями

среды имеют диагональный вид (3.4.42), но их компоненты отличаются от случая сжимаемых сред:

Т г = - р ф П~Ш + У п ~ in )(l

+ Р + (1 -

Р ) { ф П~Ш + кп~Ш)),

т \ = - р ( у ) П~Ш+

~ П1) (l

+ /9 + (1 -

/?) ( ф П~Ш + кп~Ш) ) ,

Т г = - р к п~ш + 1л(п -

III) ( l + /? +

(1

- Р ) { ф П~Ш + ф П“ Ш))> (3-4 -6 3 )

 

п = 19 II,

IV, V.

 

Для тензора напряжений Коши также имеют место соотношения (3.4.43),

с учетом этого запишем его компоненты в виде

 

стг = - р + аг,

а^ = - р + а^,

az = - p + az,

(3.4.64)

где

 

/Д(0П~Ш+ *П~Ш) ) .

3v = р{п - П 1 )(- ф П' Ш(1 + /9 + (1 -

^

+ /? + (1

+

 

Ъг = pin - III)fc”- in (l + /9 + (1 - ( 3 ) ф у ~ Ш+ ( 0 П"Ш) ) .

(3.4.64а)

С помощью соотношения Р = F -1 • Т находим компоненты тензора Пио-

лы — Кирхгофа:

 

 

 

аг = arfk/r,

а9 = a^r/f,

az = az/ k ,

(3.4.65)

подставляя которые в уравнение равновесия (3.4.46), получаем обыкновенное

дифференциальное

уравнение

относительно неизвестной функции p{r, t) —

гидростатического давления в несжимаемой среде:

 

 

p>fky +

p(f2k - г2)

 

h = j ^ ( f k a r) -

-оу.

(3.4.66)

 

 

 

г

Г J

г

o r

J

 

Преобразуя с учетом (3.4.60) и (3.4.61) левую часть уравнения (3.4.66),

приводим его к виду

fk

_

 

 

dp

h

 

(3.4.67)

л °

°

 

 

 

 

 

d r

г

 

 

 

Это уравнение легко интегрируется:

 

г2 ,

 

 

 

 

 

 

Р = Ро +

h

7о

(3.4.68)

f-

ir.

 

 

Г1

 

 
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности