472 |
Глава 4. Вязкоупругие среды |
Упражнение 2. Разделяя действительные и мнимые части, показать, что определя ющие соотношения (4.7.31), (4.7.34) можно представить в следующем виде:
{ _/ |
_ /1тт/ |
_/ |
I Ат~1П |
_// |
е(п) - |
П |
СТ(п) + |
П |
• • <Т(п), |
|
— 4тт/ . . |
|
_ |
4тт// |
. . _ / |
е(п) - |
11 |
|
|
11 |
|
CT(n)> |
а определяющие соотношения (4.7.17) — в виде |
|
|
К о |
= 4* ' • • |
*'(„) |
- 4R " • • |
£ п |
|
|
|
(п) |
К „ ) |
= 4*" • • «U |
+ 4н/ • • £ (п)' |
|
|
|
|
|
|
|
II |
Упражнение 3. Подставляя (4.7.15) и (4.7.32) в (4.7.37), показать, что спектральные комплексные модули упругости Я*^ и комплексные податливости П*^ связаны соот ношениями т
а ,7 = 1, |
то; |
/3=1 |
|
п*ай*а = 1, а = ш + 1, ..., |
п. |
Упражнение 4. Доказать, что для экспоненциальных ядер релаксации (4.2.87) и ядер ползучести (4.2.107) следуют выражения (4.7.26) и (4.7.39) для Я '^ и П ^ .
Упражнение 5. Подставляя вторую формулу (4.7.42) в первую формулу (4.7.36) при сэ" = 0, показать, что действительные и мнимые части комплексных модулей податливости связаны между собой следующими соотношениями:
ТТ'
Показать, что аналогичные соотношения имеют место и для Д ^(щ О ).
Упражнение 6. Доказать формулу (4.7.89).
474 Глава 5. Пластические среды
В нелинейной области обычно выделяют два характерных участка А В и BE. Участок А В , где апр < <тц < ат, характерен тем, что если после достиг нутого значения <тц совершить разгрузку (процесс, при котором <тц(£) < О и 0 < <7ц < <тпр, см. рис. 5.1.1, б), то диаграммы деформирования <тц ~ £ц при нагружении (на участке О АВ) и при разгрузке (на участке В АО) будут совпадать, и деформация е\\ при полной разгрузке в точке О снова будет нулевой.
Если же при нагружении превысить значение <тц = ат, называемое пре делом текучести, и достичь участка B E на диаграмме деформирования, где аТ < сгп < сгу, а затем также произвести разгрузку, например, из некоторой точки С , то при разгрузке зависимость <тц ~ е\\ будет отличаться от диа граммы деформирования при нагружении.
При полной разгрузке в точке D, в которой <тц = 0 , деформация е\\ уже не будет нулевой, появится так называемая остаточная деформация ерп ,
которую часто называют пластической деформацией.
Если из точки D снова осуществить нагружение, то, как правило, диа грамма ап ^ £\\ при повторном нагружении будет совпадать с диаграммой при разгрузке (участок DC), а затем после прохождения точки С будет совпадать с той же кривой С Е , как если бы не было цикла разгрузка — повторное нагружение, вплоть до разрушения при стц = а
Эффекты остаточной деформации и несовпадения диаграмм деформирова ния при нагрузке и разгрузке — типичные проявления пластических свойств материалов.
Обратим внимание на следующий факт: при переходе через предел теку чести ат остаточная деформация появляется не скачкообразно, а постепенно, поэтому четкое значение предела текучести ат по экспериментальным кри вым определить достаточно сложно. В связи с этим при практических иссле дованиях широко используют условный предел текучести оод, под которым понимают такое значение напряжения <тц, когда остаточная деформация грп при разгрузке достигает значения 0,2 % (считается, что это и есть начало пластичности). Этот метод обеспечивает достаточную для инженерных рас четов точность, если максимальные пластические деформации при одноосном растяжении являются конечными — достигают, по крайней мере, 10% и более.
В области же малых деформаций, когда предельные деформации разру шения не превышают нескольких процентов (как например для керамики), введение условного предела текучести сг0>2 приводит к серьезным погрешно стям.
Диаграммы деформирования некоторых типичных сталей и алюминиевых сплавов при одноосном нагружении и разгрузке приведены на рис. 5.1.2 и 5.1.3.
§ 5.1. Модели Ап пластических сред |
All |
ми учеными А. Э. Треска и А. Ж. К. Сен-Венаном. Сен-Венан первым сфор мулировал математически строгую теорию пластичности, основанную на тензорно-линейных соотношениях между девиаторами тензоров напряжений
искоростей деформаций.
Вначале XX в. Р. Э. Мизес предложил критерий текучести при неодно осном напряженном состоянии (этот критерий формально совпадает с соот ветствующим критерием прочности упругих сред (см. §2.12)). Подобный же критерий был предложен М.Т. Губером.
Вработах Г. Генки и А. Л. Надаи была создана новая модель пластич ности, в которой были установлены тензорно-линейные соотношения меж ду напряжениями и деформациями. Дальнейшее развитие это направле
ние |
получило благодаря выдающемуся советскому и |
российскому учено |
му |
А. А. Ильюшину, который сформулировал условия |
применимости тео |
рий Генки — Надаи и Сен-Венана. Предложенная им система постула тов и допущений модели в настоящее время известна как теория малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина.
Позднее, в 1960-х годах, А. А. Ильюшин предложил совершенно новую теорию пластичности, известную как общая математическая теория пластич ности А. А. Ильюшина, которая основана на операторных соотношениях меж
ду тензорами напряжений |
и деформаций, подобных |
тем, что используются |
в теории вязкоупругости, |
но параметризованных не |
относительно времени, |
а относительно особого параметра — длины дуги процесса нагружения в пятимерном пространстве, образованном компонентами девиатора тензора напряжений.
Развитие теории пластичности А. А. Ильюшина было продолжено его многочисленными учениками и последователями, среди которых отметим имена лишь некоторых — В. С. Ленского, Б. Е. Победри, В. В. Москвитина,
Р.А. Васина, Д.Л. Быкова, А. А. Поздеева, П. В. Трусова.
Вначале XX в. Л. Прандтлем было предложено еще одно направление в теории пластичности, которое затем в результате усилий многих ученых, сре
ди которых назовем лишь Д. Р. Рейса, Д. Дракера, В. Прагера, Ф. Г. Ходжа,
атакже советских и российских ученых А. Ю. Ишлинского, В. В. Новожилова
иЮ. И. Кадашевича, привело к созданию теории пластического течения, широко применяемой в расчетах и в настоящее время.
Отметим, что существуют и другие модели пластичности, которым посвя
щено значительное число монографий [13, 31, 39, 48, 69, 82, 114 и др.].
5 .1 .2 . Основные допущ ения м оделей А £ пласт ических сред
Из всего разнообразия моделей пластических сред рассмотрим только относящиеся к наиболее широко распространенному в приложениях классу —
478 |
Глава 5. Пластические среды |
модели пластического течения. Эти модели удобнее применять в формах A i, в£, d или Dn, в которых вместо ф используют свободную энергию
( п )
Гиббса С а = С (т- 2, (3.3.20)), а ОТТ выбирают в виде (т. 2, (3.3.27)).
Определение 5.1.1. Считают, *шо рассматривается модель Ап п л а с т и ч е с к о й среды, ес./ш для этой среды:
1)операторные определяющие соотношения (т. 2, (3.4.9)) представля ют собой функционалы по времени t от активных переменных К и их производных 1Z:
л(£)= f ( а д , а д , п \т ), п \т ))\ |
(5 .U ) |
т = 0 |
|
2) в состав реактивных переменных 72 дополнительно входит некото-
( п )
рый симметричный тензор второго ранга С р, называемый тензором пластической деформации, а в состав активных переменных Л —
( п )
симметричный тензор второго ранга С е, называемый тензором упругой деформации:
л = {с, У, с, Се, |
W*}, П = { Т / р , |
С р, в}; |
(5 .1 .2 ) |
(п ) (п) |
(п ) |
(п ) |
|
(п ) (п ) |
(п ) |
|
|
3) тензоры С е и С р связаны с С аддитивным соотношением
(п ) |
(п) |
(п) |
(5.1.3) |
С = |
С е + |
С р. |
(п ) (п)
Если бы не наличие тензоров С е и С р в числе переменных 7?. и Л, то соотношение (5.1.1) можно было бы рассматривать как объединенную модель фойгтовских и максвелловских (вязкоупругих) сред. Однако именно наличие
(п ) (п)
тензоров С е и С р обусловливает проявление новых свойств, не характерных указанным типам сред.
Как и для фойгтовских сред, зависимости (5.1.1) от 7Z(t) и 7Z(t) будем
полагать дифференцируемыми функциями, |
а функционалы от предыстории |
. |
(п) |
7г{(т), 72.*(г) — непрерывными и дифференцируемыми по Фреше. Тензоры С е
( п )
и С р могут быть введены как аксиома, однако для обоснования физического смысла этих тензоров обычно используют следующую модель.
О
Введем как обычно отсчетную конфигурацию /С, которую будем считать
о
ненапряженной (т. е. Т(0) = 0 в V), и актуальную конфигурацию /С, в которой
поле тензора напряжений Т (£), вообще говоря, отлично от тождественно-
р
го нуля. Дополнительно введем еще одну конфигурацию /С (возможно не реализующуюся физически), в которой находилась бы среда, если бы в момент времени tp > t поле напряжений снова стало бы нулевым: Т (tp) = 0.
480 |
|
Глава 5. Пластические среды |
|
где |
егэ, £р |
и е%1 — контравариантные компоненты тензоров деформации, |
пластической деформации и упругой деформации соответственно, |
|
|
егз = |
~ Г ) , 4 = 2l $ j ~ 9 % V = ^ 9 ij ~ Л |
(5.1.11) |
Из (5.1.8)—(5.1.11) очевидно следует, что три правых тензора Коши — Грина и три правых тензора Альманзи связаны аддитивными соотношениями:
С = Се + Ср, А = Ае + Ар. |
(5.1.12) |
Таким образом, соотношение (5.1.3) имеет место для энергетических тензо- I v
ров деформации С и С, если принять |
|
|
|
I |
v |
I |
v |
(5.1.13) |
Се = Ае, |
Се = С, |
Ср = Ар, Ср = Ср. |
Для обоснования аддитивного соотношения (5.1.3) при п = II, III, IV |
введем полярное разложение для градиентов деформации (5.1.6): |
|
F = О • U, |
Fp = Op-Up, |
F e = Ое • U e |
(5.1.14) |
и представим симметричные тензоры искажений U и U e в своих собствен ных базисах
|
|
и |
= У^Аара ® ра , |
|
|
0 |
|
(5.1.15) |
|
|
U . = $ > & , * & , , |
е |
|
|
а=1 |
|
|
|
а=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Aa , Аа — собственные значения тензоров U и U e. |
|
|
Тогда можно ввести следующие тензоры: |
|
|
|
IV |
|
|
^ |
|
0 |
0 |
IV |
3 |
е 0 |
|
С = U - |
Е = 2 Д Ла - l)Pa ® Ра- |
С Р |
= 2 Д Л« ~ К ) Р а ® Ра- |
|
|
|
а=\ |
|
|
|
|
а=\ |
|
|
IV |
* |
е |
о |
о |
II |
|
|
л |
о |
о |
Се = У](Аа ■ Г Ра С Ра- |
C = E - U _1 = У ^(1 - |
А“ ‘)ра ОРа- |
11 |
а =\ |
е |
, |
|
|
|
|
а =\ |
|
|
Щ |
|
|
II |
3 |
е |
|
|
c P = E ( V |
1 А ^^РаО Ра, |
Се = У ^ (1 -А “ 1)ра (х)ра , |
(5.1.16) |
|
а =\ |
|
|
|
|
|
а = \ |
|
|
|
для которых, очевидно, также справедливы аддитивные соотношения (5.1.3). Таким образом, показано, как могут быть введены тензоры упругой и
пластической деформаций, удовлетворяющие соотношению (5.1.3).
5 .1 .3 . Общее предст авление определяю щ их соот нош ений в м одели А ^
пласт ических сред
Рассмотрим ОТТ в форме Ап (т. 2, (3.3.15)):
(п ) (п)
pdC> + prjdO — Т • • d С + w* dt = 0. |
(5.1.17) |
