книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос
..pdfДля оценки глобальных ляпуновских показателейл будем рассматривать решение системы в вариациях £(/) € L . Тра екторию с начальными значениями AQ, в окрестности которой рассматривается линеаризованное уравнение, будем обозна чать через A^t). (Зависимость от х функции А и £ для крат
кости |
будем |
опускать) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
= |
/?€ + |
(1 |
+ iv)£xx - |
2(1 |
+ Д О |Л |2$ |
- |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
- |
о |
+ |
|
= W A )) £ |
|
|
(9.43) |
||||
Обозначим |
через |
|
|
|
|
решение |
уравнения |
(9.43) |
с на |
||||||||
чальным условием £(0) |
= |
£ |
Тогда сумма |
глобальных ляпунов |
|||||||||||||
ских показателей будет определяться формулой |
|
|
|
||||||||||||||
А.+...+ А |
= |
lim |
sup |
|
ln{ |
sup |
sup |
|
1Щ /,А,)£ |
л ... |
|
||||||
1 |
|
п |
|
|
со |
|
|
|
А0е х |
ll^ ^ s l |
|
^ |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... л Ц/,Л0)£П1 )■ |
|
(9-44) |
|||||
где |
использовано |
следующее |
обозначение: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
II |
|
|
... л€п112 |
= |
< £,л |
... л^п |
, |
... |
|
А^п >, |
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<С,л |
... |
л ^ .^ л |
... |
лСп> |
— det |
М ; |
М.. = |
<£,„<>• |
|
||||||
|
|
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
<£С> |
= |
) €*(*) Ф ) dx. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Чтобы воспользоваться теоремой 9.3, оценим изменение |
|||||||||||||||
объема |
л-мерного |
параллелепипеда |
V |
= |
1Щ /^0)^ |
а ... |
|||||||||||
... |
лЦ/.Лд)^!!, |
построеьного |
на |
векторах |
|
|
••• |
||||||||||
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д7 |
Н Ц / . ^ Л |
... л Д |
/ , ^ п112 = |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= 211^ / , ^ ) ^ ... |
л |
Ц |
/ , ^ |
1 2 ReiTrlF^AJ |
|
о Я ^ )}}, |
(9.45) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
403
где через Pn(t) обозначена зависящая от времени проекция
пространства |
L2 на |
подпространство, |
содержащее |
векторы |
С|(0. •••. €„(0. а через Тг|Т(/,Л0) о |
р ^ )] - |
след ко |
||
нечномерного |
оператора |
F(t,AQ) <> Pn(t). F(/,/l0) |
определя |
|
ется формулой |
(9.43), |
о соответствует |
композиции |
операто |
ров. Формула (9.45) эквивалентна теореме об изменении фа зового объема при движении вдоль траектории динамической
системы, которой мы пользовались ранее, |
рассматривая сис |
||||
темы |
обыкновенных дифференциальных уравнений (см. формулы |
||||
(7.4), |
(7.6)). |
|
|
|
|
|
Уравнение |
(9.45) можно представить в |
виде |
||
|
2 |
|
|
V(0) = VQ. |
|
|
ЗТ |
= 2^2S(/) ; |
(9.46) |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
V = |
Vn exp |
} |
S(t)dt. |
(9.47) |
|
|
u |
o |
|
|
Поэтому сумму первых n ляпуновских показателей, пользуясь
формулами |
(9.44) |
и |
(9.47), |
можно |
выразить следующим |
||||||
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А. +...+ А |
= |
lim |
sup |
Г 1 |
1п{ sup |
sup |
х |
|
|||
1 |
" |
|
*->ю |
|
|
|
Л0€х |
ll^ lls l |
|
|
|
|
|
|
х |
exp |
[Re J |
dz Tr[F(z,A,) |
о P (z)])]}. |
(9.48) |
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
и |
n |
|
|
Векторы |
£[.(/) |
явно |
не |
|
входят |
в равенство |
(9.48), |
|||
однако от них зависит проекция Pn(z). |
|
|
|||||||||
|
Поскольку |
при |
|
любых |
значениях |
параметров |
функция |
||||
A(t) = 0 является стационарным решением задачи (9.41), с помощью формулы (9.48) можно получить оценку хаусдорфовой
размерности |
максимального |
аттрактора снизу |
|
|
||
sup |
sup |
exp [Re{ J ds Tr[F(s,/L) |
о p (s)]}] |
г |
|
|
A ex |
ll£ N l |
О |
и |
n |
|
|
|
|
г exp[Re{ |
S ds Tr[F(s,0) о |
P '(s)]}], |
‘ (9.49) |
|
|
|
|
0 |
|
n |
|
404
где |
Р' |
- проекция |
на |
собственные |
функции |
линеаризованной |
||||||
задачи |
<pjx) |
= |
exp(ik.x), |
где |
= |
0, |
= 1 , |
= - 1 , |
||||
*4 = |
2’ |
* 5 = |
“ 2 |
и |
т- |
д- |
B |
ЭТ0М слУчае |
|
|
||
|
|
Tr[F(t,0) |
° |
P'J |
= |
£ [ / ? - |
(1 + |
Л>)**]. |
|
(9.50) |
||
|
|
|
|
|
|
|
/=1 |
|
|
|
|
|
Следовательно, нижняя оценка суммы глобальных ляпуновских показателей не зависит от параметров ц и v и определяется формулой
А. + ...+ |
A |
a |
£ {R - |
k]}. |
|
|
|
|
(9.51) |
|||
1 |
|
|
|
1=1 |
|
' |
|
|
|
|
|
|
Для оценки этой суммы сверху нужна априорная оценка |
||||||||||||
(9.42). Пусть |
ф^ |
- |
ортонормированные |
векторы в |
множестве |
|||||||
Pn(t)L2. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re{Tr[F(/,i40) |
о |
р (/)]} |
= |
£ |
{<0 |
(R + £ |
) |
ф> - |
|
|||
и |
|
" |
|
|
/= 1 |
1 |
|
|
дх |
|
1 |
|
- 2 |
<ф., |А120 > |
- |
Re[(l |
+ |
in) < |
0/,Л?0*>]}. |
(9.52) |
|||||
Для любого вектора 0- € |
о |
и |
AQ € |
X |
|
|||||||
L |
|
|||||||||||
2<ф\А\2ф> -t Re{(l + 1Ц)<ф,А2ф*>} = |
|
|
|
|
||||||||
|
= |
-2 |
S dx |
\А\2\ф\2 - |
|
Re{(l |
|
+ in) S dx А2ф**} £ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ 5 |
|
II AW2 II0112, |
(9.53) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 = |
max{0, - |
2 |
+ |
|1 |
+ t'|i|}. |
|
|||
Используя соотношение (9.53) и равенство (9.48), получим
|
А |
+ ... |
+ А £ |
£ |
{ R + 5 II/III2 |
- к2 }. |
(9.54) |
|
|
|
|
|
" |
/ = |
1 |
1 |
|
|
При |
|д| |
£ |
V3 5 |
= 0, поэтому верхняя (9.54) и нижняя |
|||
(9.51) |
оценки |
совпадают. |
При ц < V3- |
«самым |
неустойчивым» |
|||
здесь |
является |
нулевое |
решение. |
|
|
|||
405
Оценка размерности максимального аттрактора, которая
дается формулой Каплана - Йорке (см. теорему 9.3), показа
на на рис. 9.18 сплошной непрерывной кривой. Последова
тельность горизонтальных отрезков соответствует нижней оценке размерности, учитывающей только число неустойчивы»
мод в пространственно однородном нулевом решении. Простая
оценка хаусдорфовой размерности сверху |
может быть получена |
|
с помощью |
аналитической формулы |
|
|
dH s 2(3/?/4л2+ 1 /4 )1/2 |
(9.55) |
(пунктирная |
кривая на рис. 9.18). |
|
Рнс. 9.18. Зависимость ляпуновской размерности R для уравнения КурамотоЦузуки при \Ц\ S VS (непрерывная ломаная кривая), верхняя оценка (9.55)
(гладкая кривая) и нижняя оценка (набор горизонтальных отрезков) [253].
Поясним суть этих оценок. По существу, они аналогичны оценкам при анализе турбулентных режимов течения жидкос ти. Размерность максимального аттрактора пропорциональна числу длин волн 1£, которые укладываются в изучаемой
406
области, |
где |
на масштабе с характерным размером |
lQ |
пре |
||||||||||||
обладающими |
являются диссипативные |
процессы |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Я1/ 2/ 2п = /0/ / с, |
|
|
|
|
|
|
(9.56) |
||||
L - |
характерная длина |
области. Если |
бы |
мы |
не переходили |
к |
||||||||||
М. |
|
|
|
виду, |
то |
оказалось бы, |
|
что |
lc |
= |
|
|
I/O |
|||
безразмерному |
|
2n(D/a) |
, |
|||||||||||||
где |
D - |
действительный |
коэффициент диффузии, |
а - |
коэффици |
|||||||||||
ент |
при |
линейном члене. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если вернуться к обозначениям задачи |
(3.12), |
|
то |
||||||||||||
окажется, |
что |
эквивалентом |
параметра |
/ / ( 2тг) |
будет |
параметр |
||||||||||
R /(2тг) |
и |
размерность |
максимального |
аттрактора |
будет |
про |
||||||||||
порциональна |
/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
При |JJ.| > V3" |
нулевое |
решение |
уже |
не |
будет |
самым |
не |
||||||||
устойчивым. В этом случае для размерности максимального
аттрактора справедлива |
оценка |
|
|
|
|
|||
|
dH < (^/тг)|д|Л + |
3 |д |1/ 2Я1/ 2/2 тг + 2. |
(9.57) |
|||||
Еще раз |
обратим внимание |
на то, |
что |
в обозначениях (3.12) |
||||
W = |
AVR, |
t = t/R, |
х |
= x/y/R, |
= v, |
c2 = |i. |
(9.58) |
|
В |
работе |
[232] |
получены |
близкие |
результаты. |
В ней |
||
более подробно обсуждается вывод априорных оценок, а также
рассматриваются |
первая |
|
|
|
|
|
и вторая |
и = 0 |
на 9Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ди/дп = 0 на 9Й |
|
|
|
|
|
краевые задачи для уравнения Курамото |
- |
Цузуки |
в |
ограни |
||
ченной области й пространства К”, п = 1 или 2. |
|
|
||||
Сравнение |
оценок (9.55), (9.57) с |
картой |
аттракторов |
|||
еще раз показывает, что из достаточно |
б эльшой фрактальной |
|||||
размерности максимального |
аттрактора |
не |
следует, |
что в |
||
системе будет наблюдаться хаотический режим. Несмотря на аналогию в методе получения оценок максимальных аттракто-
ров и близость самих оценок ((9.22) и (9.56)), исследова*-
ние турбулентных режимов течения жидкостей, движение кото
рых |
описывается |
уравнением Навье - |
Стокса, и |
анализ диф |
фузионного хаоса существенно отличаются. Обычно |
при анали |
|||
зе турбулентных течений число Рейнольдса (или |
параметр G) |
|||
уже |
в момент возникновения турбулентного режима оказыва |
|||
ется |
достаточно |
велико. Кроме того, |
приходится |
рассматри |
вать по крайней мере двумерную задачу. Все это намного усложняет анализ хаотических режимов. В то же время диф фузионный хаос во многих интересных случаях описывается странными аттракторами небольшой размерности. Это согласу ется как с обсуждавшимися выше оценками фрактальной
размерности |
максимальных аттракторов, так и с приведенными |
в настоящей |
главе расчетами. |
Обратим внимание на еще один важный результат, свя занный с оценкой размерности аттракторов в системах пара
болического типа, возникающих в задачах химической кинети
ки. Он подробно обсуждается в статье [29]. Для нелинейного уравнения
и( = |
vaAu - |
f(x,u) + \и, |
ы|дд = 0. |
Q с Rn, |
|
в котором |
|
|
|
|
|
|
и = (и ,........ |
«„)- |
f = (fx........ |
/„). |
|
а - матрица |
порядка |
п с |
постоянными коэффициентами, такая, |
||
что матрица (а + а)*/2 положительно определена и ее мини
мальное собственное значение превышает ц0, т. |
е. |
|
д0 |ы|ро - С £ f(x,u)u £ |
+ G, |
PQ > 2, |
Па /.
Е |
шг € & * ° ’ |
. k=1 |
|
показано, что
dHU £ C\n/V n/2, Л > 1 , v > 0. |
(9.59) |
В тех случаях, |
когда коэффициент диффузии постоянен, |
оцен |
|||||
ка |
(9.59) показывает, |
как меняется |
размерность |
аттрактора |
|||
при |
увеличении |
длины |
области. При |
п = 1 |
эта |
зависимость |
|
также линейна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
В последние годы |
интенсивно изучается |
вопрос об |
оце.н- |
|||
ке |
размерности |
аттрактора уравнения |
Курамото |
- Сивашинско- |
|||
го и эквивалентности последнего некоторой системе обыкно венных дифференциальных уравнений. Этот подход связан с построением конечномерного многообразия Z в фазовом прост ранстве уравнения в частных производных, называемого
инерциальным многообразием. Оно обладает следующими свойствами.
|
1. |
Z инвариантно и имеет компактный носитель. Пусть |
S(/) |
- |
полугруппа, связанная с решением изучаемого уравне |
ния |
при данных начальных условиях. Тогда S(/,Z) содержится |
|
в Z |
для |
всех начальных условий. |
2.Все решения исходной задачи экспоненциально стре
мятся к Z. В частности, максимальный аттрактор X содер
жится в Z. Диссипативные системы на множестве Z сводятся к некоторым конечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений.
3. Z обладает асимптотической полнотой: для любых начальных данных в исходном уравнении существует точка на инерциальном многообразии такая, что расстояние между
траекторией исходной задачи и траекторией на Z экспоненци
ально стремится к нулю.
Последнее условие, по существу, означает эквивалент
ность уравнения в частных производных и некоторой конечно мерной динамической системы.
В работе [297] приведен результат относительно
существования инерциального многообразия для уравнения
Курамото - Сивашинского^в |
случае второй |
краевой задачи и |
дана оценка размерности этого многообразия. |
|
|
dim(Z) £ |
С а1’75. |
(9.60) |
409
Она достаточно велика по сравнению с оценкой фрак тальной размерности максимального аттрактора уравнения Курамото - Сивашинского
dc(X) |
— Са0,75. |
(9.61) |
|
Принципиальные результаты были получены, при анализе |
|||
инерциальных многообразий |
для |
уравнения Курамото - |
Цузуки |
с периодическими краевыми условиями в одномерном |
случае |
||
[Д28]. |
|
|
|
Пусть функция A(x,t) |
при |
каждомо значении t принадле- |
|
жит гильбертову пространству |
Н = L (0,1)., (Зависимость от |
||
пространственной координаты х для краткости далее будем
опускать.) Обозначим через Р^ оператор |
проектирования на |
|||||||||||
первые N - |
фурье-мод, а |
через |
QN = 1 |
- |
- |
оператор |
про |
|||||
ектирования на бесконечное число оставшихся. |
Допустим, |
что |
||||||||||
A(t) и A'(t) |
- два |
решения |
уравнения Курамото - |
Цузуки, |
||||||||
разность |
между |
которыми |
a(t) |
= |
A(t) |
- |
A'(t) |
удовлетворяет |
||||
так называемому |
условию конуса |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
110^(011^2 * ИР^ОИ |
2 |
|
(9.62) |
|||||
Это |
неравенство |
означает, |
что |
высшие |
фурье - |
гармони |
||||||
ки решений A(t) и A'(t) (с номерами большими N) могут отличаться только когда отличаются низшие. Т. е. высшие
моды определяются |
низшими, |
что позволяет для функции A(t) |
на аттракторе X ввести отображение Ф: |
||
|
Ф (Р И = |
< v - |
В этом случае |
функцию |
A(t) можно представить в виде |
|
|
|
/4(0 |
= |
0(0 + 4 0 (0 ] . |
|
|
|
где а(0 € PN(X). |
Если |
исходная |
задача записана |
в |
виде |
|||
(9.41), |
уравнение |
на |
инерциальном |
многообразьи, |
или |
как |
||
его |
называют инерциальная форма, будет иметь вид |
|
|
|||||
л |
|
|
|
|
|
|
|
|
I f |
= |
Ra + (l+iVJo^ |
- |
PN{(\ + 4 0 1a |
+ m \ 2(a + Ф(а))}. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.63) |
410
Оказалось, |
что |
для |
решений |
залачи |
(9.41) |
условие |
конуса |
|||||||||
(9.62) |
выполнено |
при t —* со. Это позволило получить сле |
||||||||||||||
дующие оценки |
рамерности |
инерциального |
многообразия D |
|||||||||||||
[Д28]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D * |
t2*2) |
\} + |
I1 |
+ |
^ ] 12+ |
2 1*И] |
|
+ |
2/?3/2) |
+ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
|fi| |
£ V3V |
|
|
D — [2л2] |
’ [l |
+ |
[l |
+ |
ц2] 1/2+ |
2 ||i|] |
х |
|
|
|
|
|
(9.64) |
|||
|
|
х |
[/? |
+ |
26/?2{ l |
+ |
[(1 |
+ |
6) / 62/?]1/2} j |
+ |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
Ji - |
V3-, |
|
|
где 5 = max |o, |
-2 |
+ |
(1 + |
ji)1/ 2j. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Можно |
сказать, |
что |
|
величина |
D |
характеризует |
число |
||||||||
«существенных» низших мод или число параметров порядка.
Сравнение оценок (9.55), (9.57) и (9.64) |
|
показывает, что |
величина D растет с увеличением R (или с |
увеличением длины |
|
области в исходных обозначениях (9.58)) |
гораздо быстрее, |
|
чем хаусдорфова размерность максимального аттрактора. Пока неясно, связано ли это обстоятельство с особенностями при менявшейся техники или оно отражает важное внутреннее
свойство изучаемой задачи.
Дальнейший анализ инерциальных многообразий в систе
мах, которые описываются диссипативными уравнениями в частных производных, представляет большой интерес. Возмож
но, с анализом |
свойств многообразий I |
и |
дифференциальных |
|
уравнений |
на |
этих многообразиях и будет связано более |
||
глубокое |
понимание диффузионного хаоса |
и |
других хаотичес |
|
ких режимов в |
нелинейных средах. |
|
|
|
411
§ 9.7. Хаотические режимы в нелинейных средах. Альтернативные подходы.
Представление о хаосе в нелинейных средах как об установившемся режиме в некоторой динамической системе со
странным аттрактором получило в последнее время ряд экспе риментальных подтверждений [376]. Однако, развиты и другие представления о природе хаотических режимов в нелинейных
средах, которые носят общий характер, |
и могут |
оказаться |
полезными при анализе систем реакция - |
диффузия. |
Обратим |
внимание на некоторые из них. |
|
|
Неединственность и асимптотическая |
неединственность. |
|
При анализе гидродинамической турбулентности возник ряд
математических проблем. Одна из них связана с тем, что до
настоящего времени не удалось доказать существование и
единственность |
сильного необобщенного |
решения уравнения |
Навье - Стокса. |
Это привело Ж.Лере и |
других исследователей |
к мысли, что отсутствие таких результатов связано не с не
достатками математического аппарата, а с природой явления.
В самом деле, в математике известен большой класс ре
шений нелинейных уравнений, не существующих в целом (тако
вы, |
например, |
режимы с |
обострением, |
обсуждавшиеся в |
гл. |
2 |
||||||
в связи с |
моделью |
тепловых |
структур), |
и |
большой |
класс |
||||||
уравнений, |
в |
которых |
начальные |
условия |
не |
определяют |
||||||
единственное |
|
решение. |
(Например, задача х |
= |
ха; |
х(0) = |
О, |
|||||
а |
< 1 |
имеет |
два |
решения: |
x(t) |
= |
0 |
и |
x(t) |
= |
||
= |
(l-a )1^ 1' 0^ 1^ 1-0^.) |
Нельзя |
исключать, |
что |
таким |
обра |
||||||
зом |
устроены и решения уравнения Навье - |
Стокса |
и некото |
|||||||||
рых |
других уравнений, описывающих нелинейные среды. Если |
|||||||||||
эта |
гипотеза верна, то модель, обладающая такими свойства |
|||||||||||
ми, |
некорректна, и |
требуется |
либо |
другое |
описание, |
либо |
||||||
учет факторов, которые устраняют неединственность или не
существование |
решение. |
Вопрос |
о |
том, |
имеет ли отношение |
эта гипотеза к |
уравнению |
Навье |
- |
Стокса |
и некоторым другим |
уравнениям, описывающим хаотические режимы, остается открытым.
412