Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5544 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

гд е

X =

2L4/(3 £ 6) -

3L2/(2 * 2)

L2 + 5Л2/ 4

k4/4,

Y =

4L2/k2 + L2 -

k2+ k4/\,

Z =

\ct\/{\ +

c2),

sign

• sign

(<?2 -

c2).

Из

формул

(10.15)

ясно,

что X +

0, 2

Можно

убе

диться также, что X > 0.

Легко

проверить,

что

при

a =

- 1

система

уравнений

(10.15)

имеет только

тривиальные

решения.

Это

соответству

ет

той

области

параметров,

где

устойчиво

однородное

реше

ние (10.3). Поэтому бифуркация в изучаемой системе всегда

надкритична	[107]. При a = +1 система уравнений (10.15)
имеет девять	решений:

а) А =		В =	0;
б) А =		0,	В = ± ( Z / * ) ,/2;
в)	В =	0,	А =	± ( Z / * ) ,/2;	(10.16)
г)	п р и	X *	Y	А2= В2= Z/(X + V ) .

Случай		X	= Y является		вырожденным	(система			(10.15)	имеет
бесконечно			много решений,		у которых	л	л	=	Z/X),	далее
						А +	В
он	рассматриваться			не будет.
	Соотношения			(10.16)	показывают,	что	в	общем		случае
(Z	*	Y)	решения,	возникшие после		ветвления,			будут	либо

одномерны, либо симметричны. Этот вывод подтверждается в расчетах.

2. Рассмотрим вопрос об устойчивости возникших авто

модельных решений.	Пусть 7(x,y,t) и \Jj(x,y,t) -	малые воз^
мущения
Р = R(x,y) + 7(x,y,t),
<р =	wt + а(х,у) + \p(x,y,t).	(10.17)

Устойчивость решения определяется из линеаризованной отно сительно 7 и $ задачи в частных производных. Решения ее будем искать в виде 7 = е^*г(х,у), Щ = е^*ф(х,у). В ре-

433

зультате получится задача на собственные значения, которую можно привести к виду

Аг + Л—

- 3

+ с ,с

/г2- (а2 + а2)1

с2

с?

г J

2й(ахфх +

ауфу) = А(1

с^йф)А1

с‘ ).

С,

су

(10.18)

/?Д* + г

- 4

1 +

Я2 +Аа1

2а

Ь ------ £

с 2

1 +

с *1

2а

+ 2R ф

+ 2 R ф

= Х(Яф -

с,г)/(1

+ с,).

у у

хг х

у у

Краевые

условия

для

г(х,у)

ф(х,у)

будут

такими же,

как в формуле (10.9).

Поскольку нас интересуют решения в окрестности крити

ческого значения

с 2,

будем полагать

R =

ez-j

е 2г2 +

е3г3

+ ...

<р

lot

еа. +

е 2а0

е3а

+ ...

- с 2

+ ...

(Ю.19)

+ <р2е*

+ <р3е

с2 = с2 + ы2е2 + а>3е3 + ... .

Пусть сначала е = 0, т. е. R = 1, <р = -c^t. Будем искать

решение	задачи	(10.18) в виде			К\|		=	£	KmnI		cos^y^ ж
Т	, чтобы	выполнялись			'-*'-’			т , n=0	0rmnJ		результа
				граничные условия.						В
те для каждой пары г			, ф	получим				систему	уравнений, ко
торая будет разрешима при условии
А2 + 2А	[п2™2/ / 2 + тi V		/ / 2 +	1]	+	тг2( т 2 + л2) / / 2 ж
ж	[(1 + с2) тг2(m2 + л2) / / 2 +					2(1		+ с,с2)]	=	0.	(10.20)
Задача	(10.18)	имеет	собственное				значение,		равное нулю,
при условии
(1 + с2)		тг2( т 2 +	л2) / / 2 +		2(1		+	с,с2) =	0.		(Ю .21)

434

Именно оно определяет с2, если положить т2 + л2 = 1 .

Пусть	теперь	е *	0,	выполнены соотношения	(10.19) и
при этом
\/{\ + с2) =	еА, +	е 2А2	+	... , г = pQ + ер, + е 2р2	+ ... ч
				о	(10.22)

ф = ф0 + сфг + с*ф2 + ... .

Подставим разложения (10.19), (10.22) в уравнения (10.18)

и приравняем члены при одинаковых степенях е. Уравнения нулевого порядка дают

р0 = Ecoskx + Fcosky , ф0 = -2LpQ/k2 + const. (10.23)

Условия разрешимости уравнений первого порядка приводят к равенствам

		А, = 0,		АЕ + BF = 0,							(10.24)
где А и В определяются формулами								(10.16).		Их	решения имеют
вид
р, =	£ ,cos	2kx + £ 2COS			2 ky + £3cos			kx cos		ky +
					+	£4COS			kx +	^5cos ky,
=	T),cos	2kx + T)2COS			2 ky + T)3COS			kx cos		ky +	(10.25)
=	T),cos	2kx + T)2COS			2 ky + T)3COS			kx cos		ky +
где						+	T)4COS kx + TJgCOS ky,
где
	= AE [0,5 +		4L2/(3 * 4)],			^ 2 =			BF [0,5 +		4I?/(3k4)],
				€ 3 = 3 (AF +				BE),
		T),	=	LAE [l/(2 * 2)			-	2L2/(3 * 6)],
		T)2	=	LBF [l/(2 /f2)			-	2L2/(3 * 6)],
		T)3	=	- 4 L (AF +		BE)/k2,
		T)4	= - 2 U i/k2,					\	= ~2IA5/k2,

435

£ 4 и £ 5 - неизвестные константы. Условия разрешимости для уравнений второго порядка по параметру е приводят к следу ющим соотношениям:

Е \L ^

\PA2 +

QB2 + a

I е , h

(10 .26 )

l+ c,J

f ]

E \

F \

■1

F \Ш

+ PB2 + a

I е , h

( 1 0 .2 7 )

[

1 + c , J

1 k2 J

—

25 L2

2L4

23k2

2k2

~ Г

- ’

Q =

L2 - 4L2/k2 - k4/\

= -Y.

Рассмотрим

одномерное

решение.

Пусть

А =

тогда

В * О,

F =

О, Е *

Уравнение

(10.27)

выполнено

тождественно,

из

уравнения

(10.26)

учетом

формул

(10.15)

(10.16)

следует

(X - Y)

В2.

(10.28)

Знак

Л2

определяется

знаком

величины

К =

X - Y.

Если

К > 0, то одномерное

решение

неустойчиво,

если

К < 0,

то

устойчиво.

Пусть

решение

симметрично:

А2 =

В2 =

Z/(X + Y). При

этом

Е *

F *

уравнения (10.26) и (10.27) совпадают.

После алгебраических

преобразований получаем

\ Щ

= (X + Р) А2 = - 2 КА2.

(10.29)

К < 0

Симметричное

решение

неустойчиво

при

и устойчиво при

К > 0. Величина К связана с параметрами задачи следующим

образом:			'
2L4	11L2 , 9k2	L =	- 2 - k 2 -	(10.30)
3k6			~ТГ.
3k6

Можно сделать вывод, что при отрицательном К будет устой чиво одномерное, а при положительном - симметричное авто модельное решение.

436

3.Сравним полученныеформулы с результатами про

веденных двумерных расчетов. Из формул (10.7), (10.11)—

(10.16) следует, что в окрестности точки бифуркации с2 вы полняются соотношения

р0о = 1-|с2- с 2 |(Л2 + Ep)[L2/k*+ L2/k2+ k2/4 + 5 /4 ] + ... ,

р 10

k 2

с2\1/2

4L2/kY2+ - .

P0,

k 2

1/2

\B\ [1

4 1/2

(10-31)

c2 | 1/2

4L2/k4]'/2+

P11

I c2

c2 1 \AB\

[9 +

40L2/k4 + 16L4/ * 8]1/2+ . . . .

Для

Cj =

1,5,

k =

-1,75

L =

-1.

При

Q2 =

-1,85,

то

есть

0,1

формулы

(10.31)

дают

pfl0

0,903,

pQ1 =

= 0,372. Заметим, что в этом случае К = —31/12, поэтому устойчивым должно быть одномерное решение. В расчетах для

задачи	в частных производных	получены	значения	р00 =
= 0,908,	р01 = 0,334, гармоники	ртп, т > -0	быстро	убывают

и стремятся к нулю при t —» со. В системе восьми обыкновен

ных	дифференциальных		уравнений pQQ =	0,911,	pfll =	0,333,
р10 =	ри =	°-	1, К = 11/12,	здесь	должно	быть
	При	= 3, k =

устойчиво симметричное автомодельное решение. Критическое

значение

? 2

-2 ,

L = -0,5.

Для с2 = -2,1,

е2

= 0,1 форму

лы

(10.31)

предсказывают

значения

р00

= 0,937, pQ1 =

р10

= 0,177, p1t = 0,070. В

задаче

частных производных

полу

чено р00 = 0,942, р01 = 0,162, рю = 0,156, рп = 0,057,

упрощенной

системе с

pQQ =

0,945,

pQ1 =

рю

0,157,

ри

0,055.

Это

означает,

что

формулы

(10.31)

хорошо описывают решения задачи (10 .2 ) в окрестности точки биффуркации, когда е = /и . 1 » 0.316.

Из	соотношения (10.30) следует, что при малых	значе
ниях Cj	в момент потери устойчивости однородного	решения

также должны появиться симметричные решения. Расчеты

подтверждают	этот	вывод.Такая картина наблюдается, напри
мер, при Cj	= 0,4,	k = 1. Можно сказать, что полученные

437

выше разложения хорошо согласуются с решениями задачи в частных производных и упрощенной системы.

§10.3. Усложнение решений задачи

вчастных производных

Простейшему аттрактору системы обыкновенных дифферен циальных уравнений - устойчивой особой точке - в исходной задаче соответствует сложный автоколебательный процесс, который описывается автомодельным решением вида (10.5). Отметим, что частным случаем этого решения является спи ральная волна

W = R(r) exp [itot + iS(r) + irtvp],

	x = r cos^p ,			у = г sin <p.			(10.32)
	x = r cos^p ,			у = г sin <p.
Формула	(10.32)	совпадает	с	(10.5),	если	R(x,y)	= R(r),
a(x,y) = S(r) + nap.
На	рис.10.3	показана		видовая	проекция		функции
u(x,y,t)r	соответствующей		несимметричному			автомодельному

решению. Она периодична по времени. Из формулы (10.5) сле

дует,	что	u(x,y,t)	= v(x,y,t+T/4), где Т -	период. Рис.
10.3	дает	только	качественное представление	о поведении

решений, поскольку на нем показаны неоднородности относи

тельно меняющегося со временем уровня.

Реальные значения максимумов и минимумов и и v изме

няются в широких пределах и могут быть как положительными,

так

отрицательными.

Несмотря

на

это,

функция Rо =

не

зависит

от

времени.

На

рис.

10.4

показаны

ее

линии уровня

и видовая

проекция.

Здесь и далее линия уровня с номером р соответствует

значению функции f

- 1

+ (р -

1 ) / 1 0 , ось абсцисс

направ

лена горизонтально, ось ординат -

по

вертикали

вверх.

Все

двумерные расчеты в этой работе

проводились

использова

нием

метода

переменных

направлений [168].

Шаги

по

времени

по

пространству

указаны на

рисунках.

438

t f = 4 6 ,6 6 3

t 4 = 4 9 ,9 7 3

t 2 = 4 8 ,5 5 3

t 5 = 5 0 ,5 2 3

t 3 = 49 ,3 1 3

t e = 5 1 ,2 3 3

Рис. 10.3. Нессиметричное автомодельное решение задачи в частных произвол - ных. Изменение функций u(x,y,t)\c^ = 1,5, с^ = -2,9, I = U, h = 1Г/20, Т = 10—2

Рис. 10.4. Функция R(x,y), соответствующая несимметричному автомодельно
му решению, показанному на рис. 10.3
Они определялись	после проведения	тестовых расчетов.
В тех случаях, когда	в двумерной задаче	асимптотика опре

деляется одномерным решением, последнее практически совпа


дает	с решением, построенным для одномерной задачи по дру
гой методике			[22].
	Процесс		выхода		на	автомодельное	решение	показан на
рис.	10.5.	Функции		р	(t)	стремятся к	постоянным	значениям
при	t —» ю,	причем		р01	* рю.

Рис. 10.5. Процесс выхода на автомодельное решение, показанное на рис. 10.3

440

На линии Cj = 3, как показано выше, после потери

устойчивости одномерного решения возникают симметричные решения вида (10.5). На рис. 10.6 приведены результаты соответствующего расчета. Показана функция R(x,y), которая при достаточно больших t не зависит от времени. Функция u(x,y,t) сложно меняется со временем (рис. 10.7), сохраняя симметрию относительно диагонали квадрата.

Рис. 10.6. Функция R(x,y),	соответствующая	симметричному автомодельному
решению: с	= 3, с = -2,5, I	= IT, h	_ о
			= 1Г/20, Т = 10

Посмотрим, как происходит усложнение решений задачи в частных производных. На линии с^ = 1,5 последовательность такова:

Однородное	Одномерное
решение	- автомодельное
	решение
Не с нмметричное	Н есимметричное
а втомодельное	решение с двумя
реш ение	ч ас т отам и
Схема	10.3

441

Рис. 10.7. Изменение функции u(x,y,t) в симметричном автомодельном реше

нии, представленном иа рис. 10.6

442

<<< < Предыдущая 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4344 / 5544 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги