книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

цски зависят от пространственной координаты, например в Системах, которые описываются уравнением

по определенному закону. При этом эволюция системы будет описываться N обыкновенными дифференциальными уравнениями, связывающими координаты xv...,xN элементарных структур [240].

Наличие членов с четвертой и более высокими производ­ ными также может приводить к появлению стационарных хаоти­ ческих решений. Такие решения, в частности, были обнаруже­ ны [240] в уравнении

многих физических задачах представляет большой интерес. Классической задачей физики твердого тела является задача

опрохождении электрона через кристаллическую решетку с

кристалла. А теперь допустим, что нам удалось создать хаотическую, нерегулярную решетку. Удивительный результат состоит в том, что движение электрона в таком потенциале качественно - меняется. Он оказывается локализованным на определенном участке пространства. Причем сами нерегуляр­ ности могут иметь очень малую амплитуду. Важно, чтобы они

351

ем так называемых «турбулентных кристаллов» [360] или

квазикристаллов. Простейший пример такого кристалла дает решетка, в узлах которой атомы нескольких веществ череду­

ются хаотическим образом. Примеры фигур, которые могут

такого типа были обнаружены только в последние годы [367].

Представления о хаотической пространственной структу­ ре все шире используются в астрофизике, теории элементар­

ных частиц, теории магнетизма. Поэтому можно ожидать, что

уравнениях (8.7), (8.8), (8.9) возникают консервативные динамические системы (в уравнении (8.8) с периодическим внешним воздействием). Это позволяет использовать многие результаты, полученные при исследовании временного хаоса в гамильтоновых системах [87].

По-видимому, дальнейшие исследования позволят выде­ лить несколько основных универсальных сценариев возникно­

вения пространственного хаоса.

Обратим внимание на один класс задач, связанных с

анализом пространственно-временной упорядоченности, изуче­

ние которого в настоящее время только начато. Исследование автомодельных решений приводит к необходимости изучать краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений либо для эллиптических уравнений в многомерном случае. Вместе с тем некоторые нелинейные уравнения имеют

частные решения, построение которых оказывается более

сложным. Их примером могут служить решения уравнения Курамото - Цузуки вида (8.3). Близкие задачи возникают при

352

поиске бризеров в системах, близких к интегрируемым, т. е. решений, по форме близких к одному или нескольким солитонам, у которых амплитуда периодически меняется со временем [180].

В этой главе мы обсудили пример перехода от простой

маломодовой системы к уравнению в частных производных.

Этот переход оказался очень эффективным, поскольку влияние

ти). Базис, взятый при построении конечномерной модели, получался в результате решения линеаризованной задачи.

Однако в последнее время появились интересные задачи,

где переход к конечномерной системе происходит иначе. Нелинейные среды в этих случаях описываются уравнениями в частных производных, близкими к вполне интегрируемым сис­ темам [208]. Уравнения такого типа возникают, например, в

очень полезными. К таким задачам мы вернемся, рассматривая стохастические режимы.

12 Т. С. Ахромеева и др.

Г Л А В А 9

ДИФФУЗИОННЫЙ ХАОС И ДРУГИЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ СРЕДАХ

В последние годы было показано, что для многих дис­

сипативных систем характерны не только временная или пространственная стохастичность, обсуждавшиеся выше, но и

ной кинетикой, могут существовать стохастические режимы. Поскольку в этом случае сосредоточенная система ведет себя простым регулярным образом, и сложное поведение связано с

влиянием диффузионных членов, это явление получило назва­

ние диффузионного хаоса. Диффузионный хаос вызывает боль­

шой интерес по нескольким причинам.

Модели типа реакция - диффузия, в которых сосредото­

ченная система обладает автоколебательной кинетикой (на­

пример, имеет один или несколько предельных циклов), широ­

ко распространены. Они возникают при анализе колебательных реакций, в ряде задач экологии, в некоторых физических мо­ делях. В каждом из этих случаев эксперименты по исследова­ нию диффузионного хаоса были бы очень важны. Они могли бы привести к обнаружению нового класса турбулентных режимов.

Теоретическое (а возможно, и экспериментальное) изу­

чение диффузионного хаоса оказывается более простым и дос­ тупным, чем анализ маломодового хаоса во многих гидродина-

354

мичёских системах. При исследовании большинства проблем гидродинамики необходимо рассматривать многомерные задачи. Это обстоятельство и другие трудности численного моделиро­ вания турбулентных течений приводят к тому, что оценка

ся аттрактором небольшой размерности, построить простые конечномерные модели, описывающие это явление, обычно не

удается.

В случае диффузионного хаоса ситуация оказывается

иной. Было показано, что существует ряд простых и эффек­ тивных динамических систем, описывающих пространственно-

ный хаос, является упрощенной моделью некоторых гидродина­

мических систем [5, 375], и, возможно, анализ этого явле­

ния позволит продвинуться в понимании гидродинамической

турбулентности.

Анализ диффузионного хаоса оказывается очень полезным

с точки зрения математической физики. Решения большинства изученных к настоящему времени эволюционных уравнений в

рых быстро возрастает, по-видимому, часто будут возникать установившиеся стохастические режимы. Одним из прообразов таких режимов и является диффузионный хаос.

355

§ 9.1. Диффузионный хаос в малых областях

В первых численных расчетах задач (3.8) и (3.21) (илн

их аналогов с периодическими краевыми условиями) было

обнаружено сложное непериодическое поведение [317, 396].

Такие режимы были получены также при изучении модели брюсселятора. Это и позволило ввести представление о диффузи­

плитудная турбулентность. В первом случае, если следить за

сосредоточенную систему). Однако их фазы (положение точки

могут существенно отличаться друг от друга и вести себя

хаотическим образом. В определенном диапазоне параметров

этот тип диффузионного хаоса может описываться уравнением (3.8).

Дальнейший анализ стохастических режимов в распреде­

ленных системах привел к постановке нескольких вопросов.

Как связано явление диффузионного хаоса со странными аттракторами динамических систем небольшой размерности? «Важная и не решенная пока проблема состоит в том, чтобы

найти связь диффузионного хаоса с каким-либо известным ти­

356

Какие численные алгоритмы эффективны при исследовании таких режимов?

Обсуждение этих вопросов естественно начать с наибо­ лее простого случая небольших областей.

Ранее сравнивались простейшие аттракторы двухмодовой

логии с двухмодовой системой можно ожидать, что здесь про­

исходят бифуркации удвоения периода.

Для выяснения сценария перехода к хаосу идеально было

бы найти все точки бифуркации и построить бифуркационную диаграмму. Однако при изучении уравнений в частных произ­ водных обычно это не удается сделать. Поэтому ищутся раз­

конечномерные модели, описывающие наблюдаемую картину.

При с1 = 5, с2 = -10,0 асимптотику решений задачи в частных производных определяет простой цикл S1. При увели-

357

Вновь будем следить за значениями локальных максиму­ мов функции Р0(О- По оси абсцисс отложим значения п -го максимума, по оси ординат л+1-ro: Мп+1> где п = 1, 2, 3, ... Точки (М , М ,.) с высокой точностью ложатся на не-

прерывные однозначные кривые, показанные на рис. 9.2.

Поэтому в качестве упрощенной модели, описывающей наблюда­ емую картину, можно использовать семейство одномерных ото­ бражений

(9-1)

Из рис. 9.2 видно, что эти одномерные отображения имеют гладкую вершину, и при увеличении параметра с2 амплитуда функции f растет. Теми же свойствами обладает семейство отображений (4.3). Переход к хаосу в (4.3) про-' исходит в результате каскада бифуркаций удвоения периода.

358

Далее наблюдается обратный каскад удвоенйй периода, что приводит к последовательности переходов Х*п —» %п- Наличие гладкой вершины приводит к существованию «оконной струк­ туры» - в любой окрестности 'хаотического режима существуют устойчивые циклы. При этом после первого каскада бифурка­

ций удвоения периода возникают устойчивые циклы, не отно-

2п

сящиеся к типу S . Можно ожидать, что свойства этого се­ мейства отображений будут близки к свойствам семейства (9.1).

Проведенные расчеты [18, 20, 23] показали, что при

увеличении параметра с2 в задаче в частных производных по­

различных максимумов, считались непериодическими. Отобра­

кими решениями действительно существуют .устойчивые сложные циклы, один из которых показан на рис. 9.3.

/ Ь

0,6 -

0 ,4 -

0,2 -

е « 1) аттрактора в исходной задаче и намного упрощает ее исследование. Чтобы построить функции) f, достаточно 100 -

359

300 элементов последовательности {Af^}. Для получения прос­ тейших статистических характеристик с такой же точностью нужны гораздо большие выборки. Например, чтобы построить

Пользуясь результатами теории одномерных отображений, можно предсказать различные типы упорядоченности и стохас­

тические режимы в семействе отображений (9.1). Естественно искать их в исходной задаче при близких значениях парамет­

ра. (Напомним, что в действительности точки {Afn, Afn+1) не

360