книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

В метеорологии, астрофизике, ряде других областей ха­

рактерные числа Рейнольдса, при которых турбулентные реше-

»ия представляют наибольший интерес, превышают 10 * 10 .

Поэтому здесь естественно использовать асимптотические ме­ тоды. Их применение также оказалось связанным с большими Трудностями. И это позволило предложить новую гипотезу возникновения турбулентных режимов, связанную с так назы­

Начальные данные здесь представляют собой быстро осцил­ лирующую функцию (множитель exp(/AS0(x)) с медленно меняю­ щейся амплитудой осцилляций (множитель V>0(*)). Тогда, применяя асимптотические методы, можно убедиться, что решение такой задачи имеет следующий вид:

и = <p(x,t) exp(/AS(x,/)) + 0(1/А),

где функция S определяется уравнением Гамильтона - Якоби

S2 = c2(VS)2.

То есть решение принадлежит тому же классу быстро осцил­ лирующих функций, что и начальные данные. Естественно ожидать, что это свойство будет характерно и для уравнения Навье - Стокса

413

«сильно когерентную структуру». Начальные данные при этом

имеют вид

характеризуются в работе [145] следующим образом: «Мы по­

рядка А невязке отвечают величины, различие между которыми порядка единицы. А это и есть асимптотическая неединствен­

ность. Чтобы аккуратно в этом убедиться, возьмем разложе­ ние в ряд Тейлора по степеням t нашего асимптотического решения. Мы можем из наших соотношений последовательно найти все члены этого ряда и решить задачу, подставив по­

414

при определенных начальных данных и больших числах

Поскольку при построении асимптотического решения получается цепочка зацепляющихся уравнений, важно было бы

указать эффективный способ нахождения членов ряда, иссле­

довать вопросы разрешимости этой цепочки уравнений, выяс­

нить число ее решений. Открытым остается и вопрос о том, существует ли в окрестности асимптотического решения,

построенного как некоторый формальный ряд, решение исход­

ной задачи. Новый подход, связанный с представлениями об

асимптотической неединственности, требует дальнейшего исследования.

Переходная турбулентность. Рассматривая хаотические

режимы в нелинейных средах, описываемых детерминированными

уравнениями, обычно считают, что хаотическое поведение

связано с наличием странного аттрактора в некоторой дина­

мической системе. При этом неявно предполагается, что вре­

мя наблюдения достаточно велико, переходный процесс уже

шого класса нелинейных сред. Чтобы представить ситуацию, в которой основной интерес представляют не установившиеся, а переходные режимы, рассмотрим, следуя этой работе, отобра­ жение такого вида: .

415

Такие отображения ранее использовались в модели ней­

цикл S25

Сумма в правой части формулы (9.68) просто определяет

усреднение по ближайшим соседям. Пусть г = 1. Чтобы оце­

танных с помощью метода Монте-Карло. Результат усреднения времен выхода на пространственно однородный или более

416

рожный цикл и давал оценку времени выхода на аттрактор

Рис. 9.20. Типичная картина переходного пространственного хаоса. Заштри­

хованным квадратам соответствуют значения x(i,n ) — 0,5

Расчеты показали, что переходный режим часто оказыва­ ется длительным и сложным. В ходе его возникают разно­ образные пространственные конфигурации, которые меняются хаотическим образом (см. рис. 9.20). Поскольку в сосредо­ точенной системе реализуется цикл, и сложность связана с

417

пространственной неоднородностью, такое поведение было названо переходным пространственным хаосом. При указанных значениях параметров зависимость TN от длины области N с

дается сверхэкспоненциальный рост. При этом показатель а меняется в интервале 1 < а < 3,2 [243].

Рис. 9.21. Зависимость среднего времени переходного процесса Т от числа элементов N [243]

418

Оказалось, что в этом и ряде других случаев традици­ онный анализ количественных характеристик хаотических

режимов не позволяет отличать переходный пространственный Хаос от хаотических режимов, существующих при t —* ю. На временах t < ТN будет происходить с высокой точностью установление пространственно-временного спектра мощности, функции взаимной информации, распределения вероятностей в разных точках фазового пространст л.

Если переходный хаос имеет отношение к гидродинами­

ческой турбулентности и к системам реакция - диффузия, то даже самые мощные компьютеры не позволяют выяснить, каковы

аттракторы таких систем, даже если числа Рейнольдса и соответственно длина области невелики. Авторы работы [243]

указанных выше. Если считать, что изучаемый физический

процесс таков, чтО каждая итерация занимает 10-15 сек., то

чтобы дождаться выхода на аттрактор, потребуется Ю40 лет.

Если переходная турбулентность характерна для гидро­ динамических задач, нелинейных нейронных сетей, эволюцион­

ных моделей, то нужно принципиально изменить подход ко многим задачам, к вычислительному эксперименту в этих областях. Возникнет необходимость детального исследования метастабильно устойчивых структур и метастабильных хаоти­

для которых характерна переходная турбулентность, и время

выхода на аттрактор растет сверхэкспоненциально. В самом

деле, и изучаемое отображение, и тип связи с ближайшими соседями имеют специальный вид. Возможно, их небольшое изменение намного ускорит переходные процессы. Этот вопрос требует дальнейшего исследования.

Пространственно - временной хаос в неограниченных об­

ластях. До сих пор мы рассматривали в качестве прообразов хаотических режимов в системах реакция - диффузия диффе­

*

ренциальные уравнения или отображения, заданные в ограни­ ченных областях. Мы считали также, что в сосредоточенной

дение бесконечной цепочки связанных осцилляторов. Динамика каждого из них определяется некоторым одномерным отображе­

нием, итерации которого ведут себя хаотическим образом.

Этот подход представляет особый интерес для систем реакция - диффузия по двум причинам. В настоящее время

активно изучается большой класс хаотических реакций при

условиях, когда можно не рассматривать пространственные

распределения концентраций. И важно было бы выяснить, что

будет происходить в тех случаях, когда существенны диффу­

зионные эффекты. Во многих системах основной интерес пред­

ставляют ситуации, в которых переменные хаотическим обра­ зом меняются не только во времени в данной точке, но и в

пространстве в фиксированный момент времени. Такое поведе­

жество целых чисел) сопоставляется переменная х. € [0,1]. Фазовое пространство изучаемой динамической системы М сос­

тоит из бесконечных в оба конца последовательностей {д^.}, -«о < i < ю. М имеет естественную топологию прямого произ­

420

ееплотность непрерывна и строго положительна. Обозначим

Изучаются только такие операторы А, что AM = М. (В частности, этому условию не удовлетворяет функция а(х) = = е.)

Поведение цепочки осцилляторов определяется отображе­ нием Ф = А о F.

ществует мера ц, определенная на измеримом пространстве

421