книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Соответствующие дифференциальные уравнения могут быть записаны в виде

X = a ( Y - X Y + X - gX2),

ведущих процессов со значительно различающимися характер­

ными временами, что приводит к появлению малых параметров

в изучаемых уравнениях. Это типично н для модели орегона-

сационные периодические колебания в модели орегонатора хо­ рошо согласуются с наблюдаемыми в эксперименте колебаниями [151].

но и модели для некоторых гипотетических реакций, обладаю­

щих хаотическим поведением. Около десятка таких моделей

было предложено О.Ресслером [65]. Их численный анализ про­ демонстрировал большое разнообразие наблюдаемых странных аттракторов. Исходя из характерных особенностей видовых проекций таких аттракторов, были введены понятия о «спиральном» и «витковом» хаосе, о гиперхаосе. Однако де­ тальный анализ этих моделей методами современной качест­ венной теории обыкновенных дифференциальных уравнений по существу не проводился. Во многом остается неясным, чем обусловлены те или иные особенности наблюдаемых решений. Среди моделей, предложенных О.Рёсслером, наибольшую попу­

331

делей колебательных реакций в системах с идеальным переме­

шиванием. Вместе с тем, огромный теоретический и приклад­

ной интерес представляет анализ хаотических колебаний в

от точки бифуркации приведет к более глубокому пониманию диффузионного хаоса и обнаружению ряда новых качественных особенностей стохастических режимов в распределенных сис­ темах.

Дальнейший прогресс в анализе колебательных химичес­

ких реакций с хаотическим поведением во многом связан с совершенствованием экспериментальной техники. В настоящее время обычно удается проследить изменение сравнительно не­ многих степеней свободы, характеризующих систему [358].

В последние годы было обнаружено, что изменение кон­ центраций реагентов может быть детально изучено экспери­ ментально для ряда сравнительно медленных биохимических

332

Г Л А В А 8

ОТ КОНЕЧНОМЕРНЫХ СИСТЕМ К НЕЛИНЕЙНЫМ СРЕДАМ

Выше обсуждался ряд конечномерных динамических сис­ тем. В них существуют различные типы притягивающих мно­

торов аналоги в уравнениях в частных производных, описы­ вающих нелинейные среды. Какова область применимости мало­

модовых систем, которые часто служат упрощенными моделями

для задач в частных производных? Имеет ли место количест­ венное соответствие между решениями таких систем и решени­ ями исходной задачи или можно надеяться только на близкое

качественное поведение?

Строгие результаты, имеющиеся в этой области, касают­

ся двух предельных случаев. В первом случае с помощью те­ ории бифуркаций показывается, что существование и устой­ чивость решений определенного типа уравнения в частных производных могут быть установлены в результате анализа конечномерной системы. Малым параметром здесь является отклонение от точки бифуркации. Поиск коэффициентов возни­

кающей системы представляется достаточно сложной задачей

[107, 143]. При использовании другого подхода удается по­ казать, что при N £ 77" решения исходных уравнений в частных производных и N обыкновенных дифференциальных уравнений, полученных в результате применения метода Галеркина, в не­ которой норме близки. Обычно значение W в таких оценках оказывается достаточно велико [130].

334

р « W), с помощью которой хотелось бы предсказывать пове­ дение решений различных типов исходной задачи в некоторой области параметров. (Типичным примером здесь является сис­

тема Лоренца.) Применение таких моделей обычно опирается

на различные физические соображения и результаты вычисли­

тельного эксперимента. При этом важно, чтобы увеличение

числа гармоник в конечномерной системе не приводило к

качественному изменению ее поведения.

К сожалению, система Лоренца и многие другие упрощен­

ные модели, возникающие в задачах гидродинамики, этим

свойством не обладают [244]. (Хотя сама система Лоренца

может оказаться полезной моделью при анализе самых разных

между решениями исходной задачи и простейшей маломодовой системы может существовать не только качественное, но и

количественное соответствие. Примером такой задачи, кото­

рый далее мы рассмотрим более подробно, является поведение решений уравнения Курамото - Цузуки в случае небольших пространственных областей. Этот пример позволит выяснить, какие режимы в нелинейных средах могут соответствовать различным типам аттракторов упрощенной модели и какова область ее применимости, а также обратить внимание на ря, общих вопросов.

§8.1. Простейшие автомодельные решения

ипростые циклы

335

начальных данных использовались функции, не обладающие

пространственной симметрией

нейном приближении здесь устойчиво пространственно одно­

Это означает, что происходит выход на автомодельное решение изучаемой задачи. Справедлива следующая лемма [19, 24].

Л е м м а 8.1. Пусть W(x,t) - решение задачи (3.12). Необходимым и достаточным условием того, чтобы оно было автомодельным решением вида

336

цикл, 5 - четное решение, 6 - более сложные режимы. Сплошные линии при­ ближенно указывают положение границ, иа которых аттрактор меняет свой

тип

Таким образом, особым точкам упрощенной системы в ис­

ходной задаче соответствуют автомодельные решения. Типич­ ный вид функции u(x,t) (и =' ReUP) в таком решении показан

на рис. 8.2. Видно, что оно может описывать достаточно сложный колебательный процесс, в ходе которого локальные

337

Естественно сравнивать величины pJt) и pAt), харак-

ций. Примеры сравнения параметров автомодельных решений и

ласти параметров, в которой асимптотику определяет автомо­ дельное решение (участок QNP на рис. 8.1), также близка к границе устойчивости особых точек в упрощенной системе (участок QNP на рис. 7.12). На этой границе происходит би­ фуркация Хопфа. В приближенной системе рождается предель­ ный цикл. В исходной задаче появляются решения, у которых функции pQ(t) и Pj(f) меняются периодически.

338

ния двухмодовой системы (3.15) и уравнения в частных про­ изводных качественно ведут себя одинаково при изменении параметров с1 и с2. В обоих случаях плоскость параметров

ние решений, то на их положение оказывают влияние высшие

339

ко раз. Причиной того, что размеры не совпадают, является влияние второй гармоники [20, 25].

В упрощенной модели (3.15) в широком диапазоне изме­

блюдается та же закономерность, причем значения периода в

обоих случаях близки. Можно ожидать, что эффект постоянст­

ва периода характерен для многих двухкомпонентных систем в

окрестности точки бифуркации.

Во многих работах, где исследуются диссипативные структуры, отмечается независимость возникающих структур

от многих параметров, их соответствие внутренним свойствам нелинейной системы. Не раз подчеркивалась независимость от

цессов [121]). Здесь мы видим новый тип независимости про­

цессов от параметра. Величина с2 определяет частоту коле­

баний пространственно однородного решения (3.9). Диссипа­ тивные процессы приводят к тому, что частота модуляции ко­

§8.2. Другие автомодельные

ипространственно-симметричные решения

Мы рассмотрели несколько областей параметров, где

простым циклам и особым точкам двухмодовой системы удается сопоставить решения задачи в частных производных. Уменьше­ ние значения / приводит к улучшению количественного соот­ ветствия этих решений. Однако уже при / = п существуют об­ ласти параметров, которые не могут быть предсказаны с по­ мощью двухмодовой системы, учитывающей только нулевую и

340