Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

293

Рис. 7.10,в). Эволюция аттракторов системы (3.15) k = 1,

= 1,5

294

Вначале в системе есть единственная устойчивая особая

точка

= 1,

т) =

В точке

А происходит бифуркация

типа

«обмен

устойчивостью»

такая,

как

на

рис.

3.6,6.

Левее

точ

ки А на рис.

7.9

показано

только

одно

решение,

поскольку у

второго

т) < 0 и оно соответствует комплексным значениям р(.

точках Вj и В3 появляется пара состояний равнове

сия,

точке

Я2

исчезает. Бифуркацию такого типа мы

ви

дели,

рассматривая

изгиб

несимметричной

колонны (см.

рис.

3.4).

точке

происходит бифуркация

рождения

предельного

цикла, при этом в системе уравнений (4.4) возникает пери одическое решение. В разных комбинациях мы здесь встреча

емся с одними и теми же простейшими бифуркациями.

Из рис. 7.9 видно, что кое-где одновременно существу

ют две устойчивые особые точки. В зависимости от начальных

данных £(0),		Т)(0),	0(0) решение стремится к одной из них.
Есть	области,	где	устойчивых	точек	нет, и аттрактор	в сис
теме	должен быть		другим.
	Зафиксируем		параметр	= 3	и посмотрим, что	будет

происходить с решением при уменьшении с2 (рис. 7.10,а,б).

Вначале была устойчива особая точка (с2 = -3,10),										а	затем
появился		'	предельный			цикл	(с2 = -3,15).	Циклы	в	системе
уравнений		(3.15) могут быть разными. Их удобно различать
по	числу	оборотов			я,	которые они совершают вокруг				некото
рой	центральной			области. Из			формул (3.15)	видно,	что		если
функции		£	и	т)	меняются		периодически с	периодом			Т, то

cos 0, sin 0 и 0 будут иметь тот же период. А сама фаза 0

получает за это время приращение

2пт (т =

±1,

±2,

...):

Q(t +

Т)

0(0

= 2nm.

простейшем

случае

( т

циклам

соответствуют

замкнутые

кривые

пространстве

£,

т), 0

(рис.

7.11,а).

Если

пг

0, то £(/), 71(0. 0(0

определяют

спирали

(рис.

7.11,6). Цикл, который характеризуется

чис

лами

/ п и л ,

будем

обозначать S\

момент

бифуркации

Хопфа

появляется предельный

цикл

SQ, при уменьшении параметра с2 он переходит

в sj.

При

уменьшении

с2

амплитуда

устойчивого

цикла

растет.

По

мере приближения к точке перехода с* цикл приближается к

седлам

£ =

т) =

(см.

рис.

7.10).

После

перехода с2

< с* цикл от них удаляется.

При с2 = с2 цикл проходит че

рез две

особые

точки.

При

этом значении параметра и про

исходит переход от замкнутых кривых

спиралям.

Естествен

но ожидать, что при этом

происходят

бифуркации

удвоения

периода

—>

—» S j",

а также

переходы

—* S^+1.

Затем

возникают

хаотические

режимы

(см.

рис.

7.10,6,

с2 = -4,5).

При

уменьшении

с2 аттрактор

системы упрощает

ся. Здесь могут происходить обратные бифуркации удвоения периода [18, 20]. Наиболее сложные периодические решения

наблюдаются	при небольших	значениях	с^	1 s с s	2.	Они
могут иметь	релаксационный	характер.	Это	связано	с	тем,

что в окрестности цикла лежит особая точка динамической

системы. При одних и тех же параметрах здесь могут сущест

вовать два устойчивых предельных цикла. Типичная эволюция

аттракторов			в этой области		представлена	на	рис.	7.10, в.
Видно,		что	число	локальных	максимумов	функций		pQ(t) и
Pj(0	у	показанных		циклов может не совпадать с			числом вит
ков	цикла п.
			в		в

Рис 7.11

296


Рис. 7.12. Типы		аттракторов			для	системы уравнений (3.15)		при fe=		1. 1 —
решение	£ = 1,	Т) = 0; 2 —особая				точка	с^ > 0, Т) > 0;	3 —простой		цикл;
4 —цикл	; 5 - более сложные					решения; 6 —линия, на которой происходит
переход	S^ —>s \|.		QNP — линия			бифуркации Хопфа. Картина			получена в ре
зультате	численно о		решения		уравнений (3.15). По параметру				ша	=
= 1,0, по	параметру		С^	ша	= 0,5. В		окрестности границ		между	областя
ми ша	уменьшался до			0,1.	Начальными		данными для задачи с параметрами
( С1,с2—Л} ниже лииии				ЛВС служила точка, принадлежащая					аттрактору сис
темы уравнений (3.15) для значений {сj.^}- Расчеты начинались при										= 0

297

Как	было показано в работе [18], при	k = 1	система
(3.15) в	определенном интервале параметров	хорошо	описыва

ется семействами одномерных отображений. Пример тдкого се

мейства мы приведем ниже. Это глубокий и интересный факт.

Он говорит об эффективности ряда упрощенных моделей.

Сочетание численных и аналитических методов позволяет получить карту аттракторов, которая показывает тип решения


системы	(3.15)	при		различных значениях		с 1	и	с2	(рис.
7.12). Параметр		k всюду считается равным единице.							АВС
В	большой		области		параметров выше		кривой
(см. рис.	7.12)	устойчива особая точка £ = 1, т} = 0. С ней
граничит	область,		где	есть	другие особые	точки,		появление

которых мы проследили выше. Во многих случаях асимптотику

системы

(3.15)

при t

—» ю

определяют простой

или

двой-

ной

Области устойчивости

более сложных

циклов и

циклы.

те

области,

где есть

сразу

два аттрактора,

масштабе

рис.

7.12 не

видны,

и поэтому на нем не показаны.

Карта

аттрак

торов

дает

классификацию

решений

системы

уравнений

(3.15)

при

k =

по

их поведению при t —> со. Полученная

картина

является

достаточно простой.

§7.3. Странный аттрактор

вдинамической системе (3.15)

Рассмотрим более подробно одно из непериодических ре

шений системы (3.15). На	этом	примере удобно	проследить,
как обсуждавшиеся выше	методы	исследования	используются

при изучении странных аттракторов конкретных систем обык

новенных дифференциальных уравнений.

Число подробно изученных странных аттракторов к на стоящему времени невелико. Поэтому представления о систе

мах, в которых возможен динамический хаос, могут оказаться полезными при построении моделей различных физических яв лений.

298

7 /I

Рис. 7.13

299

Рис. 7.15. Двумерные функции, осуществляющие отображение Пуанкаре

В дальнейшем основное внимание мы уделим аттрактору

системы

уравнений

(3.15)

при

с2 =

-6 ,

k =

Его

проекция

на

плоскость

{£,

т)} показана на рис. 7.13, она

целиком

лежит

области,

где

система

диссипативна.

Видно,

что

траектория

может

попадать в

окрестность седел

£ =

т) =

следовательно,

проводить

вблизи

них

длительное

время. Среднее время Т одного оборота вокруг центральной

области примерно равно 1.63, а среднее значение П состав

ляет 4.189. Поэтому за один оборот фазовый объем уменьша ется почти в 900 раз.

300

Рассмотрим последовательные пересечения траектории с

плоскостью 0 = const. Поскольку £, т), 0 зависят только от

cos 0 и sin 0 (0 является циклической координатой), то не

обходимо		учитывать		пересечения со				всеми	плоскостями 0 =
= const + 2яп, п = 0, ±1,					±2, .... Наиболее простым оказы
вается	сечение		аттрактора		плоскостью			0 = 0 . Обсудим		неко
торые	его	свойства.
Система уравнений (3.15) однозначно определяет отоб
ражение этой плоскости в себя						(отображение			Пуанкаре):
				^1	-					(7.10)

				^ 1 = S ( ^ Q >VQ )-
Здесь		-	координаты		точки		первого		пересечения	траек
тории с начальными данными {£Q, T)Q, 0} с плоскостью 0 = 0.
Будем	рассматривать			только		такие	пересечения, при которых

0 > 0.

Можно выделить область в плоскости {£,т}}, которая при

отображении (7.10) переходит в себя, она		и содержит	ат
трактор.	*
		естественно	пе
Для исследования отображения Пуанкаре

рейти к новым координатам, одна из которых х близка к рас

тягивающему		направлению, другая у -						ортогональна		к ней
	х = [Щ		-	0,45)	-	7(т?	-	0 ,3 8 )]//5 8 ~ ,
	у = [7(€ -			0,46)	+	3(1}	-	0 ,3 8 )]//5 8 ~ .
Вид	области ABCD, переходящей в								себя, и	ее образа
А' В' С D'	в	старых	и	новых координатах показан на рис.
7.14, а и	б.	(Обратим		внимание			на	то,	что рис.	7.14,6 и в

сильно растянуты в направлении у). В этих координатах об разом прямоугольника является сложная криволинейная фигу ра, состоящая из двух частей (рис. 7.14,в). Область APQD

отображается в ее нижнюю часть. Соответствующие траектории

301

получают за один оборот приращение фазы Д0 = +2тг. Верхняя часть криволинейной фигуры является образом множества

BPQC. Приращение фазы для начинающихся здесь траекторий равно нулю. Отрезок PQ весь переходит в точку R. Обратим внимание на аналогию между этим отображением и подковой

Смейла.

f u g ,

Вид функций

определяющих отображение Пуанкаре

в новых

координатах х, у

f(*o'

Уд)’

(7.11)

У\

£(*о*

показан на рис. 7.15. Эти функции непрерывны,

но

имеют

разрыв производных на линии PQ. Значение функции / на этом

отрезке

равно

х -

координате

точки

R (см.

рис.

7.14,6);

у -

координата этой

точки,

определяет

значение

на

отрезке

PQ. Частные

производные

f u

неограниченно растут

ок

рестности линии PQ.

Сечение

аттрактора,

соответствующего хаотическому

ре

жиму, должно обладать сложной внутренней структурой. Для нескольких моделей расчеты позволили обнаружить такую структуру. Это удается сделать и для изучаемой системы.

Обратимся к рис. 7.16. Здесь в разных масштабах пока

зано расположение точек пересечения одной из траекторий с плоскостью 0 = 0. На рис. 7.16,6 в увеличенном виде изоб ражен прямоугольник, обозначенный на рис. 7.16,а. В свою

очередь, прямоугольник, помеченный	на	рис.	7.16,6,	в еще
более крупном масштабе представлен	на	рис.	7.16, в.	Сечение

аттрактора на верхнем рисунке состоит из двух линий. Уве личение разрешения в 500 раз приводит к тому, что каждая из них расщепляется еще на две. (Отметим, что расстояние между линиями очень мало, оно не превышает 4*10-7 ). Можно ожидать, что этот процесс происходит и на меньших харак терных расстояниях. То есть аттрактор по одному из направ лений обладает канторовой структурой.

302

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 5530 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги