книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

образия с этой плоскостью). Так как при г = г' существует |Ч>моклиническая траектория, то R попадает точно на линию

АР (рис. 7.6,6).

Изменение образа прямоугольника ABCD и симметричного ему ADEF в зависимости от параметра г показано на рис.

7.6.Система Лоренца определяет двумерное отображение

верхней грани кубика в себя.

ного и сжатие вдоль вертикального направления. Такое пове­ дение позволило использовать при исследовании модели Ло­ ренца идеи гиперболической теории [12, 44]. Поскольку пря-

283

моугольники определенным образом растягиваются и складыва­

показана на рис. 7.7. Исключим из рассмотрения все точки, итерации которых не попадают в эти квадраты. Тогда траек­ торию каждой оставшейся точки можно охарактеризовать по­

следовательностью из четырех символов 1, 2, 3, 4. Правила,

по которым можно комбинировать эти символы, чтобы они соответствовали траектории какой-либо точки, удобно пред­

ставить в виде схемы (рис. 7.7,6).

Понятно, что здесь, как и в подкове Смейла, можно по­

строить бесконечное множество периодических и несчетное количество различных непериодических траекторий. Это явле­ ние, происходящее сразу после появления гомоклинической траектории, получило название гомоклинического взрыва.

Гомоклинические взрывы в других системах с симметрией

могут отличаться от обсуждавшегося выше (их можно предста­ вить, если считать, что до взрыва треугольник А'В' R попа­ дает не внутрь ABCD, а внутрь ADEF). В динамических систе­ мах может происходить сложная последовательность гомокли-

нических взрывов [373].

Явления, характерные для модели Лоренца при г £ г ',

типичны для многих нелинейных уравнений. В самом деле, по­ ведение траекторий в маленьком кубике, содержащем начало

ниями и собственными векторами получающейся матрицы. Это важное обстоятельство существенно используется при анализе

284

ftO, чтобы три обыкновенных дифференциальных уравнения об­ ладали той же симметрией и чтобы собственные числа матрицы ^неаризованной системы вблизи начала координат были дей­

Рис. 7.7

Появившиеся инвариантные множества при г = г' как и в

Случае подковы Смейла, не являются аттракторами. В самом

кидает его. Однако существует значение г", при котором

ведение почти всех траекторий определяется странным ат­ трактором. В этой области параметров его часто называют

стандартным аттрактором Лоренца. Обратим внимание на то,

285

ний, в которых быстро уменьшается фазовый объем (большое

значение £2 в формуле (7.4)), одномерные отображения широко используются в качестве упрощенных моделей [136, 373,

382]. Обычно они дают важную информацию о качественном по­ ведении системы и помогают разобраться в наблюдаемой по­ следовательности бифуркаций.

При анализе модели Лоренца в различных областях пара­ метров было предложено несколько упрощенных моделей. В ка­ честве примера можно привести модель Мариока-Шимицу, пред­ ложенную для изучения динамики уравнения Лоренца в некото­ рой области параметров

* = У

у = х - Ху - хг

г= —иг + х2.

Всамом деле, модель Лоренца после замены переменных

Модель Мариоко-Шимицу получается из последней системы при /3 —» ю. Развитые при изучении системы Лоренца методы позволили детально проанализировать и эту модель [Д23].

Ряд интересных задач возник в связи с обобщением мо­ дели Лоренца. Среди них особенно важными представляются

286

ЙИетемы, не обладающие симметрией. По-видимому, наиболее Подробно изученной моделью такого типа является система Сравнений

ет не только количественные характеристики системы, но и сценарии возникновения в ней хаоса [Д24]. В частности, при исследовании движения жидкости в подогреваемом снизу торе, заполненном жидкостью [399], и при анализе неустойчивости Марангони. Неустойчивость Марангони связана с возникнове­ нием вихрей вблизи границы двух движущихся жидкостей с разными коэффициентами поверхностного натяжения [Д9]. Изу­

чение этой неустойчивости имеет большой прикладной инте­

рес. Многие технологические процессы связаны с адсорбцией

газообразных веществ в жидкой фазе. Если жидкость непод­

вижна, то скорость этого процесса определяется только диф­

фузионными процессами. Когда возникает неустойчивость М а-

раигони, то связанные с ней конвективные процессы могут значительно ускорить процесс адсорбции [Д9].

В частности, такая система возникает в физике лазеров [193]. Она описывает одномодовый, не зависящий от коорди­ нат режим для кольцевого лазера. Роль X, Y и Z при этом играют медленно меняющиеся амплитуды бегущих волн поля и поляризации, а также инверсия. Эта аналогия во многом и послужила основой для создания синергетики.

Проведенный анализ показал, что для системы Лоренца область параметров, в которой можно использовать для ис­ следования хаотического аттрактора методы гиперболической теории, сравнительно невелика [373]. Хаотические режимы наблюдаются в гораздо большей области.

287

Такое поведение многих динамических систем нашло от­ ражение во введенном Л.П.Шильниковым понятии квазиаттрак­ тора. Нетрудно представить себе семейство двумерных отоб­

ражений, у которых при изменении параметра рождаются не

только гиперболические подмножества траекторий, ио и раз­

личные циклы. Если области притяжения этих циклов доста­

описывать периодические движения в случае идеальной поста­ новки натурного или вычислительного эксперимента, а с ха­ отическим квазиаттрактором. Теоретический анализ таких объектов имеет большое значение.

Наличие гомоклинических траекторий оказывается важным не только при анализе модели Лоренца и других систем с симметрией, но и при изучении большого класса других урав­ нений. Например, в работе Л.П.Шильникова [202] были рас­ смотрены динамические системы вида

х = рх - и)у + Р(х, у, г)

z = Az + R(x, у, г),

где Р, Q, R - функции, равные нулю вместе с первыми произ­ водными в точке (0, 0, 0). Предполагалось, что особая точ­ ка в начале координат является седло-фокусом р < 0, А > 0,

288

также считалось, что Л > -р (рис. 7.8). Если одна из

ности Г0 содержится бесконечное количество периодических траекторий.

Кроме того, двумерные отображения, порождаемые урав­

§7.2. Усложнение аттракторов

вдинамической системе (3.15)

Посмотрим, как может происходить усложнение решений

при изменении параметров динамической системы. В качестве такой системы, следуя работам [19, 20, 24, 26], рассмотрим

характеризует диссипативные свойства системы и показывает, насколько быстро ее решения сходятся к аттрактору. В нашем случае

бых точек £ = 1, т) = 0: седло и устойчивый узел. Этот узел

Другое семейство частных решений можно получить, счи­

тая £ = 0. Полагая £, т), 0 равными нулю, можно получить уравнения, определяющие координаты особых точек £, т), 0. После замен переменных и алгебраических преобразований оно сводится к уравнению четвертой степени [19, 24]

290

Рис. 7.9. Картина появления особых точек при разных значениях Су Сплош­

сируем значение и будем уменьшать параметр с На ри-

291

точек с £ > О, т) > 0 и у точки £ = 1 , т) = 0, полученное в

292