книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

в10-мерное пространство. Скобками на графике отмечен

участок, наиболее близкий к линейному. Вычисленное зна­ чение v = 2,035 ± 0,019 согласуется с оценкой размерности,

Рис. 7.21. Зависимость, позволяющая найти корреляционный показатель:

в котором можно проследить подобие, гораздо меньше, чем в

313

Другой количественной характеристикой странного ат­

трактора может служить автокорреляционная функция

свидетельствующее о случайности рассматриваемого процесса. Экспоненциальное убывание корреляций оказывается одним из

наиболее сильных стохастических свойств.

Вычисление b(t) требует расчета средних значений по большим участкам траектории. В работе [26] дана оценка длины такого участка и приведена функция b(t) для этого аттрактора.

Автокорреляционная функция в этом случае имеет осцил­ лирующий характер. Период колебаний близок к среднему вре­

щую автокорреляционную функцию В^к). На рис. 7.22,6 и в

315

= const. Это следует из вида функции f. Для численного ин­

Для N = 19»2ю максимальный номер k имеет порядок 30.

316

вершину, что в них существуют шумящие циклы типа х2. Можно ожидать, что из-за острой вершины в целом интервале изме­

нения Cj будут существовать хаотические аттракторы, имею­

щие положительный ляпуновский показатель. Расчеты под­

k = 1, удовлетворяют условиям гиперболичности. Будем снова рассматривать сечен Не Пуанкаре плоскостью 0 = 2пп. Удобно ввести новые координаты, направив одну из них вдоль осо­ бенности (аналога линии PQ, см. рис. 7.14):

317

(см. формулу (7.12)), неравенства (5.13) можно проверить

|(3//Э*Г, Цс « 0,902 < 1,

|9g/d«/lc » 1,15088*10“ 2 < 1.

l(df/dx)~\dg/dx)lc * 7,43121 • 10“2 < 0,0744.

|df/dy\c ~ 2,41656*10_1 < 0,242.

Подставляя полученные значения в неравенства (5.13), можно проверить, что все они оказываются выполнены. Таким обра­ зом, для анализа стохастических свойств обсуждаемого ат­ трактора могут быть использованы многие результаты гипер­ болической теории.

$ 7.4. Странные аттракторы в системах более высокой размерности

Исследование систем трех обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений показало, что они представляют собой сложные математические объекты. В них реализуется несколько сцена­ риев перехода к хаосу, гистерезис, перемежаемость, кризисы аттракторов, метастабильный хаос, большинство явлений, изученных с помощью одномерных и двумерных отображений. Однако при исследовании некоторых явлений в качестве упро­ щенных моделей приходится рассматривать еще более сложные системы.

318

w

200

1 5 0 -

100

SO ■

0 '■

Рис. 7.25. Вариация числа пятен по Вольфу W(t), характеризующая солнеч­ ную активность, построенная по результатам наблюдений [400J. Характерны­ ми являются одиннадцати или двадцатидвухлетний цикл, а также колебания с

периодом около 57 лет

Приведем два типичных примера.

Ккрупномасштабным долговременным характеристикам

ется с основным периодом в 22 года. Специальный анализ по­ казал, 4to поле промодулировано колебаниями с характерным

319

еще одним периодом, порядка 360 лет [389]. Кроме того, на­ блюдалось глобальное ослабление солнечной активности (ми­

нимум Маундера).

Такое сложное временное поведение позволило предполо­

жить, что наблюдаемые колебания имеют стохастический ха­

рактер, и высказать гипотезу о наличии странного аттракто­

ра в динамической системе, определяющей солнечную актив­

ность [362].

Следуя работам [113, 117], будем приближенно рассмат­

ривать конвективную оболочку Солнца как плоский слой тол­ щины Л. Пусть координата г направлена перпендикулярно слою, а координаты х, у лежат в его плоскости. Бездивергентное магнитное поле можно описать двумя скалярными фун­ кциями: у - компонентами вектор-потенциала и магнитной ин­ дукции

В = rot(i4(x, г, f)ey) + В(х, г,/)еу.

Уравнения динамо представляют собой систему параболи­ ческого типа для А и В с источниками, пропорциональными этим компонентам и определяемыми градиентом угловой ско­ рости вращения плазмы и средней спиральностью - величиной, связанной с нарушением отражательной симметрии турбулент­ ных движений из-за действия кориолисовых сил и неоднород­ ности. При учете влияния магнитного поля на спиральность уравнения в безразмерной форме можно представить в виде

= (а + С)В + ДА,

= —vC + рАВ — у{о. + С)В?,

С - изменение спиральности, вызванное магнитным полем. Параметр D пропорционален произведению источников,

т. е. характерных значений угловой скорости и средней спи­ ральности, и обратно пропорционален квадрату коэффициента

320

турбулентной диффузии; D служит основным параметром, опре­

деляющим бифуркации решений системы (7.14). Остальные па­ раметры можно фиксировать, полагаясь на теоретические и феноменологические оценки.

Усредняя систему (7.14) по г и учитывая только одну гармонику по х, можно получить систему семи дифференциаль­

При У0 » v можно рассматривать систему трех комплексных уравнений

а - -era + ab + cb*/2 .

Подчеркнем, что даже для качественного описания на­ блюдений нужно рассматривать системы более чем трех дейст­

вительных уравнений. Наличие двух частот в наблюдаемой

картине солнечной активности дает основание полагать, что

решение находится в окрестности тора, А. инвариантный тор обычно наблюдается в системах с четырьмя и большим коли­

чеством степеней свободы.

В работе [141] равсмотрено усложнение аттракторов при увеличении параметра D в системе, содержащей только квад­

11 Т.С. Ахромеева и др

321

еще одним периодом, порядка 360 лет [389]. Кроме того, на­

блюдалось глобальное ослабление солнечной активности (ми­

нимум Маундера).

Такое сложное временное поведение позволило предполо­ жить, что наблюдаемые колебания имеют стохастический ха­

рактер, и высказать гипотезу о наличии странного аттракто­

ра в динамической системе, определяющей солнечную актив­

ность [362].

Следуя работам [113, 117], будем приближенно рассмат­

ривать конвективную оболочку Солнца как плоский слой тол­

гентное магнитное поле можно описать двумя скалярными фун­ кциями: у - компонентами вектор-потенциала и магнитной ин­ дукции

В = rot(Ддс,г,0еу) + B(x,z,t)e^.

Уравнения динамо представляют собой систему параболи­ ческого типа для А и В с источниками, пропорциональными этим компонентам и определяемыми градиентом угловой ско­ рости вращения плазмы и средней спиральностью - величиной, связанной с нарушением отражательной симметрии турбулент­ ных движений из-за действия кориолисовых сил и неоднород­ ности. При учете влияния магнитного поля на спиральность уравнения в безразмерной форме можно представить в виде

С - изменение спиральности, вызванное магнитным полем. Параметр D пропорционален произведению источников,

т. е. характерных значений угловой скорости и средней спи­ ральности, и обратно пропорционален квадрату коэффициента

320