книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

= W + (1 +

icj (Wxx + U y

-

(1 + ic2) \W\2 W.

(10.1)

Это

уравнение

используется

в

теории ветровых волн на

воде [5],

при

исследовании

диссипативных структур в

активных

средах

и

в колебательных химических

реакциях

уравнение (10 .1 ) описывает более узкий

класс

двухкомпо­

нентных систем, чем уравнение Курамото -

Цузуки

в одномер­

только

длина,

но

и

направление

волнового

вектора, то

неустойчивых мод становится больше, и

возникают более

сложные модели,

чем

уравнение (10.1)

[346].

В ряде исследований основное внимание было уделено

задаче

Коши

для

этого

уравнения.

Большая

библиография

таких

работ

приводится

в [290]. В

них

обычно рассматри­

ности фазы (т. е. такие

точки, где

|UP|

—» 0 и

фаза <p(W =

=

Р ^ )

не определена

[390]). При сопоставлении результа­

тов

анализа таких решений с данными

вычислительного или

натурного

эксперимента

возникает

ряд

проблем.

Во-первых,

обладает

свойством

локализации.

Поэтому представляет интерес альтернативный подход -

анализ

решений

(10.1)

для

случая небольших

двумерных

областей.

При этом можно было бы использовать результаты

изучения

упрощенных

моделей

и представления,

полученные

при исследовании

одномерного

уравнения. В рамках такого

основные

типы

упорядоченности,

которые

бы

представляли

интерес в более сложных задачах.

Следуя работам [19, 20], рассмотрим следующую краевую

задачу:

Wt = W +

(1 + fc,)

(Wxx + Wyy) -

(1 +

fc2)

\w\2

w,

0 & x * l .

0 & y *

l,

Щдс.у.О)

= WQ(x,y),

(10.2)

Wx(0,y,t) = Wx(l,y,t) = Wy(x,0.t) = Wy(x,l,t) = 0.

Нас

будет

интересовать

поведение

ее

решений

при

раз­

ных

значениях

и с2

в

случае небольших

областей.

В

при­

водимых ниже численных расчетах I = п, а начальные данные

несимметричны

и имеют

вид

W

= ио

+ iv

= 0,1

£

cos

^

cos

ЦУ- [1 +

i/(m +

1)].

W (x,y,t) = exp{ - ic 2t).

(10.3)

б)

одномерные

решения

W{x,y,t) = W(x,t)

или

W(x,y,t) = W(y,t)-,

в)

решения,

симметричные

относительно диагоналей

W(x,y,t) = W(y,x,t)

или

W(x,y,t) = W(l - у,l - x,t). •

моделей в двумерной

задаче

удобно

представить ее решение в

виде

=

оо

amn(t)

c o s

^

c oЦУs -,

u(x.y.t)

Е

т , л=0

=

оо

co s

™

cos ппу

v ( X , y , t )

Е

Ь

i t )

Фурье a

(t)

и b (t):

**

mnV '

mrr 9

=6

п2) -

(С„и

(10.4)

Ь

-(С1“

+

Ь

) к 2

( т

2

( т

+

т п

т п

т п

т п 9

'2 т п

k =

n/l,

где

и

и

v

-

известные

функции {а..} , {Ь..\. В

дальнейшем

будет

использоваться

обозначение р *

=

+

+

.

Упрощенные

модели

можно

получить

из этой

бесконеч­

моники а

, Ь с номерами, у которых т ^ р или п ^ р. П о-

т п

т п

лученную таким

способом

упрощенную систему мы будем назы-

вать системой

с

N = р, она содержит 2р

л

уравнений.

Далее

мы

будем

рассматривать

упрощенную модель с

Число входящих в нее уравнений можно на единицу

уменьшить,

если перейти к переменным ртп, втп по формулам

а

= р

cos ср , Ь = р

sin © , в

= <р

- <рпп.

функции

a (t), b

(t) изменяются более сложно, чем р

(t)

и в

(().

В частности, особым точкам р

= const,

0

=

=

const

соответствуют

периодические

решения

a

(t),

bmn(t)> предельным

циклам -

двухчастотные

режимы.

Поэтому

ствует особая точка pQ0

= 1 , ртп = 0,

т +

п

*

0. Однород­

ным по оси v решениям

задачи (10.2 ) -

такие

решения

упро­

щенной системы, у которых атп =

0, Ьтп = 0

при

п * 0.

•

Решениям задачи

(10.2),

симметричным

относительно

кривые,

на которых а

тп

= а

пт

,

b

= Ь . Такие

решения

r

г

тп

пт

v

Рис. 10.2. Устойчивые предельные циклы в

упрошенной системе. Сверху

-

на линии

= 1,5, снизу -

на линии с^ = 3,0

Проследим, как меняется тип решений упрощенной систе­

мы при уменьшении

параметра с2.

Рассмотрим линию с1 =

1,5.

однородное решение теряет устойчивость,

при этом

появля­

ется устойчивая особая точка с р00 * 1.

Значение

с2, при

появившейся особой точке р

= 0

при т *■ 0. Заметим, что

одновременно

в системе

появляется

и

другая

особая

точка,

у

которой Ртп =

0, если

п * 0.

В этом

случае

система

с N =

2

циальных

уравнений

(3.15),

которая

рассматривалась

в

гл.

7

^ = а00 +

^ 00' 4 =

а 01 +

0 =

^ 0 0 “

^ 01^ '

ртп =

0

При дальнейшем уменьшении с2 точка, у которой

при т * 0, также теряет

устойчивость,

и

асимптотику

опре­

деляет особая точка

с р

* 0

(рис.

10.1 ,

сплошные

линии).

метричное решение aQ1 = a1Q,

= &10.

При с2 » -3 ,3

происходит

бифуркация

Хопфа, и

рожда­

ется симметричный

предельный

цикл (Р01(0

= Р10(0)-

Поло­

показаны на

рис.

10.2,6.

Наблюдаемую

последовательность

бифуркаций можно условно представить следующей схемой.

Однородное

р е ш е н и е с

О с о бая

т о чка

с

Р00=

Р т л = ° - т+ П > 0

р - 0

,

т * 0

О со б а я

точка

с

О соба я

т о ч к а

с

Р

*0

р

=р

к т л

г т п

г п т

Симметричный

цикл

Несимметричный

цикл

Симметричный

цикл

Схема 10.2

Проекции устойчивых

предельных

циклов

на

линии

Cj = 3,0 представлены на рис. 10.2.

Важно отметить,

что

особая точка с

р01 =

р10

появля­

маркерами на рис. 10.1. При /

—»

со асимптотику

определяют

решения с ртп =

const, т,

п =

0, 1, 2, ... На

линии

=

= 1,5, как и в упрощенной модели с N = 2, возникающее ре­

шение одномерно,

на линии

= 3 оно оказывается симмет­

лива следующая

Л е м м а

10.1.

Если автомодельное решение вида

W(x,y,t) = R(x,y) exp [Ш + ia(x,y)]

(10.5)

удовлетворяет

задаче

(10.2),

то

у

него

pmn

=

const,

0

= con st,

т,

п =

0,

1,

2,

. . . ( р

и в

определяются

по

коэффициентам Фурье атп, Ьтп так же, как в упрощенной сис­

теме).

Верно и

обратное

утверждение:

если

амплитуды

гар­

моник и сдвиги фаз между ними в решении задачи (10.2)

постоянны,

то его можно представить в виде (10.5).

Автомодельные решения, возникающие после потери

устойчивости

однородного решения,

близки

к

ниму.

Поэтому

для

их

анализа

естественно

воспользоваться

асимптотически­

ми

методами.

1.

Запишем

уравнения

(10.2)

в

переменных

р, i

и

= pcos<р, и = psin<p:

р (

=

р

-

р3

+■ (рхх -

р<р\ +

Pw

-W >J) -

-

с,(2рЛ

+

рхрхх +

2pyipy +

р<руу),

( 10. 6)

p<pt

=

—с2р 3

+

(2 рх<рх

+

р<рхх

+

2pyipy +

р<руу)

+

+ слр

-

pip2 +

р

-pip2).

v r xx

г уу

у

Решение

будем

искать

в

виде

ряда

по

малому

параметру

е,

характеризующему

отклонение

с2

от

критического

значения

с2,

при

котором

решение (10.3)

теряет устойчивость:

р

=

1

+

сг^(х,у)

+

с 2г2(х,у)

+

с 3г3(х,у)

+ . . . .

<Р =

( - с 2

+

<pf + 1р2е 2

+

1р3с3 + ...) /

+

+

са^х.у)

+

с 2а2(х,у)

+ . . . .

с2 =

с2 +

WjC

+

w2e 2 +

w3e3 +

....

<рри>. =

const.

(Ю.7)

уравнений

для

последовательного

определения

гп(х,у),

ап(х,у).

В

нулевом

порядке

по

е

уравнения удовлетворяются

тождественно.

В первом

порядке их можно привести к виду

Дг,

+ k2rx =

сх((рх +

ш,)/( 1

+

<ф,

( 10.8)

Да, = 2Lrx + (ф,

+ w ,)/(l

+ с2).

где k2 = -2(1

+

с,с2)/(1

+

с\),

L =

(с2 -

с ,)/( 1

+ с\).

Структура уравнений л-го порядка аналогична: гп и

ап

входят в них так же,

как

и

г,,

а,

в

формулы (10 .8 ),

но

правые

части

гораздо сложнее.

Из граничных условий задачи (10.2) следуют равенства

дг

п

/дх\

„ ,

= 0,

дг

л

/ду\

„ . =

0,

1х=0,1

'

9 ' u=0,f

(Ю.9)

да

п

/дх\

=

0,

да

п

/ ду|

„

, =

0.

1х=0,1

’

* '</=0,1

Можно

проверить,

что

задача

(10.8),

(10.9)

разрешима

толь­

ко

при

условии

<рх +

= 0. Ее решение имеет вид

= т Е, п

Ч ^л “ Н М^

-J

а,

=

2

const,

2

2

2

2

2

(10 1°)

- 2 L r ,//r +

тс(т2+гГ)/12 =

я ,

где

т,

п

-

целые

числа.

Из

формулы

для

kо

следует,

что

в

точке первой бифуркации т = 0,

п = 1 либо т = 1, п = 0. В

жальнейшем будем считать, что k

=

п/l,

г, и а, имеют вид

г,

=

A cos kx +

В cos

ky,

а,

=

2

+

( 10. 11)

-2 Lr^/k

const.

Q,

=

Л2[0,25

+ 2L2/(3 * 4)],

Q2 =

B2[0,25

+

2L2/(3 * 4)],

Q3

=

3 AB,

Q4

= - (A2 +

B2)(L2/k2 +

fe2/ 4

+ 5 /4 ),

B,

=

/12[L /(4 /J2)

-

L3/(3ft6)],

B3 =

-4

ЛВВ/fe2.

B2 =

B2[L /(4 /S2)

-

L3/(U 6)],

С и D -

новые неизвестные константы.

Условия разрешимости для уравнений третьего порядка

позволяют

определить

значения

А

и В.

Малый

параметр е

е = \с2 ~ C2\U2 +

•••

■

(10.14)

Это упростит соотношения для А и В:

А (ХА2 + YB2 -

aZ)

= 0.

В (YA2 + ХВ2 -

aZ)

= 0,

(10.15)