p(f) |
~ arm |
при r —* 0, |
Sr(0) |
= 0, |
(10.36) |
p(r). |
Sr(r) |
ограничены |
при г - |
+00, |
(10.37) |
а здесь произвольная |
постоянная. |
Таким |
образом, |
для # дан |
ного значения с2 построение m-витковой спиральной волны
сводится к выбору постоянных а(с2), k(c2), при |
которых ре |
шения |
(10.35) |
будут |
удовлетворять |
краевым |
условиям |
(10.36) |
, |
(10.37). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
силу симметрии задачи без ограничения |
общности |
можно |
считать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cg — 0, |
|
* > |
0. |
|
|
|
|
(10.38) |
Чтобы представить типичные решения задачи |
(10.35)- |
(10.37) |
и их зависимость от параметров, удобно |
рассматри |
вать |
плоский |
аналог |
этой |
задачи |
[290, |
|
309]. |
Ее |
решения |
имеют |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = р(х), |
<р = |
- с 2(1 - |
|
k2) |
t + $(х), |
|
(10.39) |
где k |
- |
постоянная. |
Подставляя |
формулу |
(10.39) |
в |
уравнение |
(10Г6 ). получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рхх + |
Р(1 |
- |
р2 |
- |
S2) |
= |
о, |
|
|
|
|
(10.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s xx |
+ |
2 |
f |
s x |
= |
- с 2(1 |
|
- *2 - р2). |
|
|
Аналогом |
краевых |
условий |
(10.36), |
|
(10.37) |
будут |
условия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, р(х) |
~ |
ах |
|
при |
х |
—» 0, |
Sx (0) |
= 0, |
|
(10.41) |
|
|
р(х), |
|
S^(x) |
ограничены |
при |
х |
—» ± |
со. |
|
|
|
|
Задача (10.40), (10.41) |
имеет |
аналитическое решение |
|
|
|
|
р(х) |
= |
(1 |
- |
k2)v2 |
tanh |
|
|
|
|
|
(10.42) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sx(x) = k tanh Зу,
где k(-c2) определяется |
соотношением |
|
- с |
|
= |
- 3* |
(10.43) |
|
2 |
VZ(\-k2) |
|
Зависимость k(-c2) показана |
на рис. |
10.16. Зависимости та |
кого типа являются очень важными в теории спиральных волн. Они показывают, как зависит скорость бегущей волны от час
тоты, с которой происходят колебания в сосредоточенной
системе. Кривая на рис. 10.16 и формулы (10.42), (10.43)
показывают, что наибольшую скорость и амплитуду |
волна бу |
дет иметь при уменьшении |
|с2 |. |
Напротив, |
при |
|с2 | —* со |
скорость волны и ее амплитуда |
будут |
стремиться |
к нулю. |
2. |
Вернемся |
к |
задаче |
(10.35)—(10.37) |
и еще боле |
упростим |
ситуацию, |
положив |
с2 |
= |
0. |
Из |
второго |
уравнения |
(10.35) следует, |
что Sr |
= |
0, |
а |
функция |
р(г) определяется |
соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ргг + |
f |
Рг + Р(1 - |
^ |
- |
р2) |
= 0, |
|
|
|
р(г) ~ |
агт |
при |
г —» 0. |
|
|
(10.44) |
|
|
|
|
Было показано [285], что эта задача имеет некоторое критическое значение а = такое, что
1) при 0 < а < решения задачи (10.44) р(г,а) ос циллируют по г,
2 ) при a = |
решение монотонно и p(r, a^) —» const |
при г—> +ю; |
p(r,a) —» +со, г— » +ю. |
3) при a > |
Решения первого типа неустойчивы. В этом можно убедиться, если рассматривать нелинейное параболическое
уравнение для |
функции |
R(t,r),ip |
= |
тв |
+ const, R(Q,r) = |
= P(r, a ) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
R t |
= |
R r r + |
7 R r |
+ R |
V |
~ |
7 2 - *2) |
(10-45) |
Можно |
показать |
[285], |
что, так же как в уравнении |
(2.1 ) с источниками, |
явно |
не |
зависящими |
от |
пространствен |
ной координаты, стационарные |
решения р(г,ос), |
осциллирующие |
по г, неустойчивы. Напротив, монотонные стационарные реше
ния уравнения (10.44) устойчивы. Отсюда следует, |
что |
они |
могут быть устойчивы и в |
исходном |
уравнении |
(10.40). |
Поэтому далее мы уделим основное внимание |
спиральным |
волнам, |
у которых |
функция |
р(г) |
монотонно |
возрастает |
с |
ростом |
г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В работе П.Хагана [290] были численно построены реше |
ния, описывающие |
m-витковые |
спиральные |
волны |
при |
= 0: |
|
p(r. |
< ) |
= |
p jr ), |
Sr(r) |
S 0. |
|
|
|
|
Вид нескольких таких решений показан на рис. 10.17. |
Амплитуда решений уменьшается с ростом т. |
|
|
|
3. |
Решения |
Рт(г), |
определяющие спиральные волны при |
с2 = 0, оказываются очень полезными. С их помощью удается получить асимптотические выражения для решений при малых значениях |с2|.
При таком подходе решения ищутся в виде |
|
|
р(г) ~ |
PV ) |
+ с\ P(V ) |
+ |
с\ р{2)(г) + |
... , |
|
|
|
|
о |
з |
ш |
|
+ •■■ |
■ |
|
(1 0 4 6 ) |
Sr( r ) ----- c2v°(r) |
-с* |
о( )(г) |
|
|
В качестве |
|
первого |
приближения |
для |
р(г) |
возьмем |
р(г) = Рт(г) +..., тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
,Лг) ■ Т р к ^ |
I spljs) а |
' |
/>” (s)1 ds' |
|
|10'47) |
|
г т 'г' |
О |
|
|
|
|
|
|
|
Эти выражения в свою очередь могут быть использованы |
для построения асимптотик |
в |
различных |
областях |
изменения |
г. Например, при |
г |
» |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
р(г) |
~ |
1 - |
^ |
+ |
- |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
logr+C |
|
|
|
(10.48) |
5г(г) ~ |
- с 2т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где величины Ст могут быть найдены с помощью численных методов.
Рис. 10.18. Кривая 1 соответствует зависимости, полученной численно; кри
вые 2 и 3 - зависимостям, полученным с помощью асимптотических методов
Sr(r) |
Рассматривая |
асимптотические выражения |
для р(г) и |
при малых, больших и промежуточных значениях г, а |
затем |
«сшивая» эти |
асимптотики, можно получить |
приближен |
ное выражение, определяющее зависимость скорости вращения спиральной волны от параметра с2 [290]:
|
|
|
* = |
\ |
еХР |
{ш |
|
г2 |
- |
* |
+ С т } ' |
|
|
(10.49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
у - |
постоянная |
Эйлера |
(у |
= |
0,5772...). |
|
|
|
|
|
|
Соответствие |
между |
зависимостью |
(10.49) |
|
и функцией |
&(—Cg), |
рассчитанной |
численно, |
|
показывает |
|
рис. |
10.18. |
Видно, |
что |
при |
небольших |
значениях |
\с^\ они |
действительно |
хорошо |
согласуются. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптотические методы можно применять и в противо |
положном случае, |
когда |
величина |
|с2| велика. |
В |
этой |
облас |
ти |
параметров |
естественно |
рассматривать |
разложения |
изуча |
емых функций |
по |
степеням |
|с2 |-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p(r) |
= (1 |
- |
*2),/2 [р°(г) |
- |
|
|
1 *\ ) + |
4 |
^ 2)(0 + |
•). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
С2 |
|
|
|
|
|
|
Sr(r) |
= |
ft[v°(r) - |
4 H V ) |
+ 4 v{2)(r)+...], |
|
(10.50) |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
c„ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
A ° - |
|
Л0 )+4 л2)+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2( l - * 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2 |
|
|
|
|
|
|
Подстановка |
этих |
рядов |
|
в |
|
формулы |
(10.35) - |
(10.37) |
дает |
следующие соотношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ргг + 7 р °г + Я°(1 |
- |
Ц |
- У0*) = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
V0 + 2 |
^ |
|
И3 |
= |
А°(1 |
- |
Р°2), |
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
Г |
|
|
р\) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
~ |
aQrm |
при |
г -> |
0, |
п |
|
= 0, |
|
|
(10.51) |
|
|
|
Р°(г) |
П О ) |
|
|
|
|
|
|
|
Я°(г) |
|
1, И (г) |
- » |
1 |
при Г |
—» +09. |
|
|
|
|
|
Нелинейная |
задача |
на |
собственные |
значения |
(10.51) |
мо |
жет |
быть решена |
численно. |
Роль |
собственного |
значения |
|
здесь |
играет |
величина |
А°. Для |
одновитковой |
спиральной |
волны |
m = |
= 1, А0 = 2,338..., |
для двухвитковой т = 2, А0 = 1,355; |
Если |
учесть только |
первый член в последней из формул |
(10.50), |
то окажется, |
что |
осЛк2- 1 )
Соответствие между формулой (10.52) и зависимостью k(-c2),
полученной |
численно, показывает рис. |
10.18. |
Видно, |
что |
уже |
при |
|с2 | = |
2 соответствие |
оказывается достаточно хорошим. |
|
|
4. |
|
|
|
Таким |
образом, |
для |
уравнения |
Курамото |
- |
Цузуки |
двумерном случае с помощью численных и аналитических мето |
дов может быть построен большой класс автомодельных реше |
ний, описывающих спиральные волны. Поэтому большое значе |
ние приобретает исследование их устойчивости. |
|
|
|
|
|
|
Изучение |
этого |
вопроса |
было |
начато |
в |
работе |
[290]. В |
частности, |
было |
показано, |
что |
многовитковые |
спиральные |
волны |
при |
0 |
< |
- с 2 |
« |
1 |
неустойчивы, |
а |
одновитковая |
волна |
при |
с2 |
= |
0 |
устойчива. |
|
Было |
высказано |
предположение, |
что |
при |
- с 2 « |
1 решение с т = 1 устойчиво. |
|
|
|
|
|
|
|
При г —» со асимптотику спиральных волн определяют |
обычные |
плоские |
волны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(Г) |
—» |
(1 |
“ |
* V , 2))1/2, |
Sr(r) |
—» |
± |
k(~C2) |
ПрИ |
Г —» +09. |
|
|
|
Поэтому |
если |
плоская |
волна |
неустойчива, |
то |
неустой |
чивым будет и все решение. Условие неустойчивости плоской волны будет определяться неравенством
Пользуясь последней формулой и зависимостью k = = k(-c2), показанной на рис. 10.17, можно найти, что этот
|
|
|
|
|
|
|
|
|
критерий |
будет |
выполнен, |
если |
- с 2 |
> 1,397. Аналогичная |
за |
висимость |
для |
двухвитковой |
спиральной |
волны показывает, |
что она будет |
неустойчива, |
когда - с 2 |
> 0,925. |
|
Можно ожидать, что многовитковые спиральные волны |
неустойчивы |
и |
при других |
значениях |
параметров. |
По- |
видимому, |
близкие результаты |
могут |
быть |
получены для |
не- |
больших |
значений |
с1 |
|с1 1 |
« |
1 |
в |
области |
параметров, где |
устойчиво |
|
пространственно |
|
однородное |
|
решение |
(10.3) |
1 + |
> |
0. / |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример расчета для уравнения (10.2), в котором про |
исходит выход на решение, близкое |
к |
одновитковой |
спираль |
ной |
волне, |
приводится |
в |
работе |
[313]. |
Однако |
системати |
ческие исследования |
таких |
решений, |
анализ |
|
некоторых |
методических |
вопросов, |
возникающих |
в |
этой |
связи, |
|
расчеты |
иа достаточно подробных сетках пока не проводились. |
|
|
|
Рассматривая |
установившиеся |
режимы |
в |
|
уравнении |
Курамото |
- |
Цузуки |
в |
небольших |
областях, |
мы видим, |
что в |
определенном |
диапазоне параметров |
реализуются |
двухчастот |
ные и хаотические режимы. Можно ожидать, что такие режимы будут наблюдаться и в больших областях при некоторых
значениях с^ и с2. Естественно предположить, |
что эти реше |
ния, так |
же |
как и спиральные волны, будут в некоторых |
случаях |
иметь |
особенности фазы (т. е. точки, |
в которых фа |
за функции W = ре® не |
определена). |
Анализ |
таких решений |
представлял бы |
большой интерес. |
|
|
Изучение |
двумерных |
решений (10.3) |
позволило сформули |
ровать оригинальную гипотезу, касающуюся возникновения
хаотических |
режимов в двумерных |
осциллирующих |
средах |
[313]. |
|
|
|
|
|
Обратим внимание на рис. |
3.8 и |
10.15. |
Они показывают, |
что вблизи |
точки особенности |
фазы |
(|№| = |
0) линии |
уровня |
функции W(x,y,t) имеют достаточно сложный вид. Пусть в на
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чальных |
данных |
|
задана особенность фазы |
в |
точке |
(х*,у*). |
Эта |
точка |
лежит |
на |
пересечении |
контуров |
u(x,y,t) |
= 0 |
и |
v(x,y,t) |
= |
0 |
(рис. |
10.19, а). |
Естественно |
ожидать, |
что |
в |
окрестности |
точки |
(х*,у*) в течение некоторого времени ли |
нии |
уровня |
будут изгибатьея, |
как |
если |
бы |
формировалась |
спиральная волна (рис. 10.19,6). (В отдельных расчетах наблюдается именно такая картина [313].)
Пусть спиральная волна при данных |
и с2 |
неустойчи |
ва. В этом случае линии уровня u(x,y,t) |
= 0 и v(x,y,t) = 0 |
будут сложным образом искривляться. |
Например, |
так, как |
показано на рис. 10.19,в. Это может привести к появлению новых точек с особенностями фазы (на рис. 10.19,в их уже
пять).
Т = 1 0 , 5 0 |
Т = 1 2 , 0 0 |
г |
Рис. 10.19, а), б), в) Размножение |
особенностей фазы. |
Возможное изменение |
линий уровня и = 0 (сплошная линия) и v = 0 (пунктирная линия) на три момента времени; г) пример численного расчета исходной задачи [313]
|
Такие точки появляются при пересечении контуров и, |
следовательно, |
рождаются |
парами. В окрестности каждой из |
них |
контуры |
|
опять |
могут |
искривляться, |
у |
них |
могут |
появляться |
пересечения, |
где |
будут |
возникать |
особенности |
фазы |
и |
т. |
д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
«Размножение» особенностей фазы приводит к усложнению |
решений |
и, |
возможно, |
к |
появлению |
хаотических |
режимов. |
Близкая |
картина |
наблюдается |
в |
численном |
расчете, |
обсужда |
емом |
в |
работе |
[313] |
(см. |
рис. |
10.19,г). Описанный |
взгляд |
на развитие неустойчивостей в двумерных осциллирующих сре дах привлекает своей наглядностью и ясным геометрическим
смыслом. Однако он ставит много вопросов. Неясно, будет ли
происходить неограниченный рост числа особенностей фазы в бесконечной области. Каковы будут установившиеся режимы в
таких системах? Как характеризовать |
эти процессы? Точки, |
где фаза не определена, представляют |
собой топологические |
особенности решений нелинейных уравнений в частных произ
водных. Такие особенности до настоящего |
времени |
практичес |
ки не исследовались. |
|
|
5. Выше мы рассматривали спиральные волны |
только для |
уравнения Курамото - Цузуки. Однако |
спиральные волны |
характерны и для более широкого класса осциллирующих не
линейных |
сред. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Самым простым обобщением уравнения (10.2) |
является |
класс |
так |
называемых Л-ю |
- |
систем, |
в |
которых |
нелинейные |
источники |
зависят |
более |
широким |
образом от |
функции |
R = |
\WW | . Уравнения, |
описывающие |
их, |
можно |
представить |
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rt = |
V2tf |
- |
R Vp |
4<p + |
R Л |
(R), |
|
|
|
|
R<pt = |
R V2<p + |
2 |
4R 4<p |
- |
c2 Ru{R). |
|
|
При анализе этих уравнений может быть развит тот же подход, который был использован при изучении спиральных волн в уравнении Курамото - Цузуки.
Спиральные волны были обнаружены и в системах, кото рые описываются уравнением (10.2 ), куда вместо W входит член, явно зависящий от пространственной координаты [397]:
[1 + icQ + io>Q exp(-rV rJ )] W.
Спиральные волны рассматривались также в системах реакция - диффузия [307, 308]. Для них были получены неко
торые усредненные уравнения, описывающие амплитуду и фазу
волны. Оказалось, что для большого |
класса |
нелинейных сред |
эти уравнения будут одними и теми |
же. Их |
анализ показал, |
что возможна более сложные аналоги спиральных волн, в ко
торых |
особенности фазы находятся не в центре, а по окруж |
ности |
[307, 308]. |
§ 10.5. Спиральные волны в некоторых возбудимых средах
Выше мы обсуждали спиральные волны в средах, где в сосредоточенной системе при t —* со происходил выход на
предельный |
цикл. |
Пользуясь |
радиотехнической аналогией, |
можно сказать, что |
в |
каждой |
точке такой |
среды |
находится |
генератор |
автоколебаний. |
Однако. существует |
другой |
важный |
класс систем, где также обнаружены спиральные волны. Это возбудимые среды. Они устроены таким образом, что если амплитуды воздействия на них превышают некоторое критичес
кое значение, то по среде начинает распространяться им
пульс возбуждения, а затем система возвращается в исходное состояние. Аналогичные системы широко используют в радио
технике (это так |
называемые блокинг-генераторы; |
их относят |
к генераторам, работающим в ждущем режиме). |
|
Библиография |
работ, посвященных спиральным |
волнам в |
возбудимых средах, насчитывает сотни названий. На многие
важные работы |
обращается внимание в |
книгах |
[97, |
103, 390] |
и обзорах [118, |
385]. В течение более |
чем 40 |
лет |
исследо |
ваний волн в возбудимых средах были построены содержатель ные модели различных типов, теоретически предсказан и
