книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

Кых моделей, показывает, что такое поведение является не

Если учесть симметрию, то в двумерном случае формулу можно упростить:

m+p—ч е т н ы е

1

1* p S p

где скорости определяются по функции тока формулами

и = дф/дг, w - -дф/дх, М = -тр- М.

Для того чтобы выяснить влияние числа гармоник на тип установившегося режима, рассматривались аттракторы в галеркинских системах, соответствующих различным значениям

М и Р при <г = 20.0; Ra = 120 Rac в двумерной области.

Решения уравнения Лоренца (Af = 1, Р = 2) ведут себя в

этом случае хаотическим образом. Система с М = 2, Р = 3 описывает двухчастотный режим. Решение вновь становится

хаотическим при М = 3, Р = 4.

381

В обсуждаемой работе авторы судили о типе режима по временной зависимости одной из функций, входящих в галеркинскую систему, и по частотному спектру этой функции. В этом случае частотный спектр достаточно хорошо характери­ зовал тип режима.

которого практически не зависят от дальнейшего увеличения числа гармоник в упрощенной модели. Описанное поведение оказалось типичным для уравнений Буссинеска. Вначале при

увеличении М и Р в формулах (9.16) поведение системы усложняется, решения становятся все более хаотичными, за­ тем происходит резкий переход к периодическому или квазипериодическому решению, которое далее не меняется при уве­

личении М и Р.

Исследование отображений, порождаемых применением методов Эйлера, Рунге - Кутта, Адамса - Башфорта для чис­

ленного интегрирования обыкновенных дифференциальных урав­

нений [355, 386] показало, что при сравнительно больших

шагах по времени (т. е. при плохом разрешении временной производной) даже в простейших нелинейных уравнениях воз­ можен «ложный хаос». «Ложный хаос» может наблюдаться в целой области параметров при t —» со. Тем не менее он не

имеет отношения к установившимся режимам в исходных урав­

нениях, а является следствием их неудачной дискретизации.

В обсуждаемой ситуации мы также имеем дело с «ложным

хаосом», который обусловлен плохим разрешением пространст­ венных производных функций, входящих в уравнение. Полу­ ченные результаты на первый взгляд представляются парадок­

М2 > Му Р2 > Р1 тем более будет наблюдаться хаотический режим. Расчеты дают иную картину.

382

Однако на это явление можно посмотреть и иначе. Увеличение числа гармоник позволяет лучше передавать

Ибгут сыграть роль «демпфера» для динамической системы, в которой учитывается взаимодействие только первых мод.

Наряду с исследованием зависимости упрощенных галеркинских систем, в обсуждаемой работе Дж.Карри, Дж.Херинга,

Дж.Лонкарика и СОрзага исследовалось изменение типа реше­

ния при увеличении числа Рэлея для сг = 6,8.

Использование быстрого преобразования Фурье позволило сократить время расчета. При таком подходе потребовалось ~ МР log2MP действий на один шаг по времени в двумерном случае, а в трехмерном ~ MNP log^MNP (М, N, Р определяются

выше, чем те, которые характеризуют трехмерный случай.

двухчастотный при Ra ~ 50 Ra^. Возникновение хаотического

режима оказывается связано с появлением в спектре третьей

независимой частоты при Ra £ 65 Rac. Таким образом, в

трехмерном случае переход от упорядоченного к хаотическому режиму согласуется со сценарием Рюэля - Такенса.

383

Анализ линий тока и поля температур показывает, что

они слабо зависят от у-координаты. Тем не менее эта зави­

симость меняет поведение системы.

Еще более наглядными оказываются результаты при уме­ ренных числах Прандтля и, в частности, при <r = 1. В дву­

мерном случае здесь не удается найти даже периодического

режима, в то время как в трехмерном при Ra £ Rac наблюда­

ется сложный хаотический режим.

Анализ конвективной неустойчивости показывает, что сценарий перехода к хаосу и наблюдаемые режимы оказываются

такими же, как в случае динамических систем небольшой раз­

мерности. Поэтому естественно ожидать, что здесь могут

быть построены упрощенные маломодовые системы, связывающие

Поиск параметров порядка, описывающих различные явления в нелинейных средах, вывод уравнений, связывающих эти вели-' чины, в настоящее время является важной нерешенной пробле­ мой.

Большой интерес представляет изучение количественных характеристик турбулентных режимов в гидродинамических

трехмерном случае.. Расчеты проводились на сетке 32x32x32.

Было показано, что близкие вначале решения изучаемых урав­ нений экспоненциально расходятся, т. е. система обладает чувствительностью к начальным данным. По результатам расчетов был оценен старший ляпуновскнй показатель.

Этот результат, а также анализ конвективной неустой­ чивости согласуется с представлениями о турбулентных режи-

384

Цах, появившимися при анализе странных аттрактор08 в

Хотя система Лоренца неприменима к той физи<,еск°й ситуации, для описания которой она была предложена, ^ же

дифференциальные уравнения могут служить эффективной моде-

лью в других задачах, в частности в физике лазеров [193].

Интерес представляет исследование нелинейных сред и физи­

тикальном направлении (см. рис. 9.15). Движение жид*00™» различные режимы конвекции в таком торе представляют инте­

а распределение температур - уравнением теплопроводности

-д у + v-7 Т = х V2 Т.

13 Т.С. Ахромеева и др.

385

Эти уравнения исследуются с помощью метода Галеркина

(в простейшем приближении он дает систему Лоренца). Дока­ зывается ряд утверждении о свойствах возникающих систем уравнений.

Независимо от числа гармоник, хаотические режимы хо­ рошо описываются с помощью таких же одномерных отображе­ ний, как и в системе Лоренца.

§9.5. Пространственно-временной хаос

всистемах, близких к интегрируемым

Стохастические пространственно-временные режимы ха­ рактерны и для ряда задач нелинейной оптики. Большой класс таких нелинейных сред рассмотрен в обзоре [208]. Их осо­ бенностью является близость к вполне интегрируемой системе - кубическому уравнению Шредингера. Само это уравнение с помощью метода обратной задачи теории рассеяния может быть сведено к некоторому линейному уравнению, а его решение в неограниченной области при t —* со представляет набор солитонов. Появление источников и диссипативных членов в таких уравнениях может приводить к очень сложному пространствен­ но-временному поведению решений.

х

t z

Рис. 9.16

386

Вычислительный эксперимент показал, что в кольцевых резонаторах, в которых интенсивность падающей волны А постоянна, переход к хаосу может быть связан с каскадом бифуркаций удвоения периода, с перемежаемостью или со

при этом появляются диссипативные члены), в случае, когда амплитуда падающей волны была промодулирована по времени

A(t) = AQ £ sech(f - ntf) [222]. При изучении кольцевых

п

резонаторов потери энергии и накачка определялись краевыми условиями, а сама нелинейная среда могла быть описана интегрируемыми уравнениями. Однако представляют интерес и нелинейные среды, близкие к вполне интегрируемым системам, в которых есть диссипативные процессы и источники, явно зависящие от времени. Таково, например, уравнение синусГордона с вынуждающей силой

вение стохастического временного режима и как меняется пространственная упорядоченность в системе при увеличении

ле 0 < еГ < 0,116 усложнение решений происходило следующим образом.

меняется по времени с частотой вынуждающей силы. Далее она теряет однородность, и возникает профиль, типичная форма и расположение которого показаны на рис. 9.17а. Однако это решение по-прежнему меняется с частотой о>.

389

Затем при увеличении параметра Г появляются квазипериодические режимы, и начинает расти амплитуда четвертой

пространственной гармоники. При дальнейшем увеличении

параметра Г возникает временной хаос, в котором турбулент­

ные всплески перемежаются с ламинарными участками. Ампли­

Вработе [221] вычислялись ляпуновские показатели,

строились аналоги сечения Пуанкаре, временной спектр реше­

ния, другие характеристики стохастических решений.

Корреляционный показатель изученных хаотических режи­ мов меняется в пределах 3,5 < v < 4,5.

При анализе задачи (9.20) использовалось то обсто­

ятельство, что система близка к вполне интегрируемой. В

методе обратной задачи теории рассеяния строится линейное

собственные значения Л. Они уже меняются со временем. По зависимости \(t) можно судить о том, насколько близко

решение к набору солитонов. Это позволяет строить эффек­ тивные упрощенные модели.

390