книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

В 1948г. 'Джон Нейман высказал предположение, что при

моделировании этих явлений наиболее эффективны клеточные автоматы и непосредственная имитация таких процессов с по­ мощью компьютера. Построенная им теория самовоспроизводя-

Они пришли к выводу, что некоторые реальные системы могут быть устроены так же, как игра «Жизнь». В зависимости от начальных данных в них могут реализоваться процессы любой сложности.

Здесь можно воспользоваться понятиями и представле­

ниями теории алгоритмов. Поведение любой системы можно в

принципе смоделировать, имитируя шаг за шагом ее эволюцию.

Но в большинстве случаев можно найти более простой способ.

Например, чтобы умножить число с помощью компьютера на 2", нет необходимости 2” раз складывать его с самим собой, можно просто сдвинуть его представление в памяти ЭВМ на п

мыми. Именно это свойство помогает при описании явлений природы выделять небольшой набор параметров порядка или переходить к более простому статистическому описанию.

Гипотеза С.Уолфрэма состоит в том, что многие физи­

физический или вычислительный эксперимент. В работе [348] было показано, что существует система 10 нелинейных урав­ нений в частных производных, описывающая некоторую среду,

тов может существовать упорядоченность любой сложности. Эволюция некоторых конфигураций может выглядеть как воз­

493

действие и т. д. Если после какого-то этапа конфигурация оказывается локализованной в ограниченной области, то раз­ витие прекращается, и происходит выход на установившиеся режим.

положены вдоль прямой [395]. Правила, определяющие их эво­ люцию, могут быть записаны в виде

возможных правил является очень широким. Однако основные

типы автоматов могут быть1 изучены с помощью более узкого

класса так называемых правильных суммирующих автоматов.

где k - число состояний, в которых может находиться каждая клетка.

При анализе диссипативных динамических систем и асимптотических режимов в нелинейных средах были выделены процессы, развивающиеся в течение конечного времени, пери­ одические и стохастические режимы. Их аналоги существуют и среди автоматов. В работе [395] были выделены четыре типа суммирующих правильных автоматов.

494

личество шагов происхрдит переход к однородному состоянию

стационарным конфигурациям или ЛУ-циклам. Это аналог особых

ция каждой клетки может быть предсказана с помощью доста­

495

ющую картину часто можно рассматривать как фрактальную структуру. Пример такой эволюции показан на рис. 11.11, где также указаны коды соответствующих автоматов.

Рис. 11.11. Пример возникновения фрактальной структуры у автоматов третьего типа (коды 16 и 28)

4. Для автоматов четвертого класса (к которым отно­

сится и игра «Жизнь») не существует простого алгоритма, позволяющего предсказать эволюцию локализованных начальных

конфигураций. Одним из первых признаков автомата такого

типа является множество различных' типов поведения при раз­ личных начальных данных.

Результаты, приведенные в работе [395], показывают,

что автоматы четвертого класса встречаются довольно редко. Среди правильных суммирующих автоматов 6% при k = 2, г=2; 7% при k = 3, г = 1. Однако с ростом сложности автоматов (при увеличении k и г) доля таких автоматов растет. Пример

такого автомата показан на рис. 1 1 .12 .

Так же как при анализе фракталей или странных аттрак­ торов, удобно характеризовать различные автоматы с помощью количественных характеристик. Обсудим некоторые из ннх.

496

Рис. 11.12. Пример автомата четверто о типа (код 20): а) случайные на­

чальные данные; б) несколько типов упорядоченности в такой дискретной среде

497

следуя работе [395]. Рассмотрим последовательность X эле­ ментов, полагая, что каждая клетка находится в одном из k

состояний, и введем величины

kX

Будем называть величины s^x\X) и s^.x\X) пространственной

соответственно размерностью множества и размерностью меры.

Неупорядоченная начальная конфигурация, в которой все воз­ можные множества элементов встречаются с ненулевой вероят­ ностью, дает № = 1; для однородной конфигурации 0.

- По аналогии с величинами, характеризующими простран­ ственное поведение конфигураций, можно ввести временные характеристики клеточных автоматов

кТ

s(t){T) = L _ log (£ 0 (Р{р )),

498

и пространственно-временные характеристики

на расстояние гТ. Однако для многих автоматов на больших

Между количественными характеристиками автоматов существу­ ет ряд соотношений, обсуждаемых в работе [395].

Значения характеристик (11.4) - (11.9) для больших

характерных времен и установившихся режимов оказываются различными для разных классов клеточных автоматов.

венные и временные размерности стремятся к нулю. Среднее

== 0, равно нулю на больших временах. Вместе с тем,

пространственные размерности в случае нерегулярных началь­

ных данных будут отличны от нуля.

499

Для автоматов третьего класса средняя скорость рас­ пространения возбуждения А положительна, и изменение сос­

больших временах обычно стремятся к постоянным значениям.

Поведение автоматов четвертого класса может быть совершен­

но различным в случае различных начальных данных. Поэтому количественные характеристики различных конфигураций в та­ ких автоматах могут быть точно такими же, как в любом из

первых трех классов.

Поведение клеточных автоматов очень разнообразно, по­

этому их теория быстро развивается. Интересен этот класс математических объектов еще и потому, что они представляют

собой точно решаемые модели. Их можно изучать, не исполь­

зуя приближенные методы (при исследовании с помощью ЭВМ) и

упрощенные модели.

Обратим внимание на два класса физических явлений,

при анализе которых используются клеточные автоматы. Экс­

ческие режимы. Их изучение с помощью систем типа реакция -

диффузия оказывается достаточно сложным из-за необходимос­

ти учитывать большое число компонент, неполноты данных о скоростях различных реакций и наличия нескольких малых па­ раметров в получающихся уравнениях. Это привело авторов работы [349] к мысли использовать в качестве феноменологи­ ческой модели клеточный автомат.

Так же как при исследовании диффузионного хаоса, они предположили, что сосредоточенная система обладает автоко­ лебательной кинетикой, а причиной сложного пространствен­ но-временного поведения оказываются диффузионные процессы.

Будем считать, что в одномерном случае систему можно разбить на одинаковые клетки. Состояние п—й клетки в мо-

500

мент t определяется неотрицательной функцией А(п, t). Зна­ чение A(n,t + 1) определяется по предшествующему состоянию

циента диффузии. В отсутствие диффузии (а = 0) система

(11.10) описывает колебательный режим. (Считая, что М > 1,

шиеся режимы при различных значениях М и а. Было показано, что в такой системе могут существовать циклы с периодом 3, волновые процессы и сложные турбулентные режимы. Их даль­ нейший анализ, изучение количественных характеристик диф­ фузионного хаоса в этой модели представляет большой инте­ рес.

Другое направление исследований, в котором все более важную роль начинают играть клеточные автоматы, связано с новыми методами исследования сплошных сред. Вычислительный эксперимент в настоящее время широко применяется для ис­ следования сложных многомерных задач аэродинамики и физики плазмы. При решении этих задач используются самые совер­ шенные численные методы и наиболее мощные компьютеры. По­ вышение точности расчета экспериментальных установок, оп­ тимизация аэродинамических аппаратов обычно связаны с рез­ ким увеличением объема вычислений.

Одним из методов, позволяющих ускорить расчеты и пе­ рейти к анализу более сложных объектов, являются парал­ лельные вычисления. Вместо одного большого процессора при

501

решении многих задач математической физики выгодно исполь­

зовать большое количество более простых и дешевых, работа­

ющих одновременно. Если число таких процессоров достаточно велико, и они заняты выполнением простейших операций, то вычисления можно рассматривать как эволюцию некоторого клеточного автомата. Встает вопрос, с помощью каких авто­ матов можно моделировать системы нелинейных уравнений в частных производных (прежде всего уравнения обычной и маг­ нитной гидродинамики). Поскольку в уравнениях фигурируют

ствии с законами сохранения импульса», энергии и момента импульса. Вводится набор частиц, каждая из которых может находиться в одном из узлов квадратной (или шестиугольной) решетки. Обычно считается, что в каждом узле не могут на­

ходиться две одинаковые частицы. Далее определяется, по

каким законам происходят столкновения таких частиц, и ука­ зывается способ, с помощью которого можно находить по по­

моделировать уравнение Навье - Стокса и может быть исполь­

зован для создания параллельной вычислительной машины. Там же приведена библиография ряда предшествующих работ. Наде­

ляя частицы квантом векторного потенциала, вводя более

502