книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

первую гармоники. Они показывают, какие типы пространст­ венно-временной упорядоченности могут быть характерны для

В системе (3.12) может наблюдаться интересное

явление. С начальных данных общего вида, не обладающих

и обозначена на рис. 8.1 как область четных автомодельных решений. В отличие от большинства открытых нелинейных сис­

сложные симметричные решения, соответствующие распаду на большее число невзаимодействующих частей, могут оказаться устойчивыми в областях большей длины.

341

Объяснение этого явления, опирающееся на более слож­

ную трехмодовую систему (учитывающую изменение нулевой,

первой и второй гармоники), было предложено в работах

[20, 22, 24]. Типичная картина изменения параметров авто­

ные линии соответствуют решениям трехмодовой системы, мар­

ет определить с", с"', а их координаты с высокой точностью определяют Р0(с i ) и P2(c j) в обсуждаемом диапазоне пара­ метров. Эти результаты хорошо согласуются со значениями, найденными для задачи в частных производных.

Вуравнении Курамото - Цузуки существуют аналоги

и циклов. Ответ оказывается положительным. Приведем не­ сколько примеров.

Оказывается, независимо от длины области / существует бесконечно много типов решений, обладающих пространствен­

ной симметрией. В работах [19, 22] были сформулированы ус­

образом: если п e {L} , то Рп(0) = 0. Другими словами, {Ц

342

данных могут возникнуть только четные решения. Лемме 8.2

удовлетворяет последовательность {1,3,5,7,...}.

Что же произойдет, если в области заданной длины пос­

тавить начальные данные, соответствующие различным после­

то может возникнуть пространственно неоднородное решение, соответствующее разбиению области на пг одинаковых невзаи­ модействующих частей. Если m достаточно велико, то при / —* со решение, сохраняя свою пространственную симметрию,

будет стремиться к пространственно однородному решению (3.9). Чем больше значение /, тем больше разных m удовлет­

ладающих различной пространственной симметрией. Как прави­ ло, они неустойчивы. Однако решения, соответствующие .одной последовательности {L}, выходят на одно и то же предельное

343

§ 8.3. Пространственно-временная упорядоченность, не имеющая аналога в двухмодовой системе.

Задача построения полного набора ав'гомодельных решений

устойчивая особая точка, в распределенной системе устойчив

оказываются близки. Несмотря на то, что пространственно однородные решения последнего уравнения неограниченно воз­ растают при t —» ю, его анализ может оказаться очень по­

лезным.

Поскольку |U?| ~ |с2 |— 1/2 при С2 —» -ю, то pQ(t) и

р,(f) близки к нулю. Аналог такого решения в двухмодовой системе должен лежать вблизи начала координат, там, где

344

величина П (см. формулу (7.6)) строго положительна и, сле­ довательно, устойчивых циклов нет. Этим обусловлено разли­ чие в поведении решений исходной задачи и упрощенной моде­ ли.

Вработе [361] была подробно исследована упрощенная

ния различных типов. Возможно, их аналоги существуют и в

345

Re [WyO.f)] = Re [W ^M )] = Im [Щ 0.0] = Im W l .O ] = 0.

ф= 1 уравнения

Ф( = фхх - 2п(в - k)Vx + [а - п2(в - к)2]ф - \Ь\А2ф\ф\2,

коэффициент Ь можно сделать единичным, от этого параметра устойчивость не зависит. Из рисунка видно, что при больших

а устойчивы несколько решений. Однако проведенные числен­

ляет указать, какое из устойчивых решений будет реализо­ вываться. Так как при а = const их существует несколько

(см. рис. 8.5), то обсуждаемое уравнение обладает чувстви­ тельностью по отношению к малому параметру: при е —» 0 вид решения многократно меняется.

346

Выше обсуждалось изменение решений задачи (3.12) при различных значениях Су с2, когда длина области была фиксирована. Вместе с тем, во многих случаях важно пред­ ставлять, как меняется решение при изменении /. Анализ стационарных диссипативных структур для Систем реакция - диффузия в такой постановке привел к обнаружению зонной структуры: при увеличении длины области структуры могут многократно появляться и исчезать (в последнем случае пространственно однородное решение вновь становится устой­ чивым) [104]. Зонная структура была обнаружена при иссле­ довании модели гетерогенной каталитической реакции на про­ волочке

dt = D10~ " 9е + К1" 7») ехР(в/(1 + 30)).

Vt = D2nxx - щ + k(1 - Г)) ехр(в/(\ + 30))

347

(0 здесь характеризует температуру, 7) - глубину превра­ щения).

наибольшие амплитуды имеют нулевая и первая гармоники. По­ ведение системы хорошо описывает упрощенная модель (3.15). Затем первая гармоника убывает, но модель (3.15) можно ис­ пользовать, положив k = 2п// . Начиная с / ~ 18, число гар­ моник с близкими амплитудами быстро возрастает. Прн I ~

* 22 в системе наблюдается сложный колебательный режим. Вопрос о простых и эффективных упрощенных моделях в этой области параметров пока остается открытым.

Выше обсуждались аналоги простейших аттракторов дина­ мических систем в задаче (3.12). Но в динамических систе-

348

дох различные аттракторы могут сосуществовать при одних и

jex же значениях параметров. Естественно полагать, что в нелинейных средах также могут одновременно существовать

более ста различных устойчивых режимов. Среди них периоди­

ческие и многочастотные режимы и несколько типов хаоса

[376]. Поэтому возникает вопрос о том, каков полный набор диссипативных структур, возможных в данной распределенной системе. Ответ на него требует построения полного набора решений определенного типа в изучаемых уравнениях и выяс­

нения «правил отбора» - решения вопроса об устойчивости

каждого из них. Важной и трудной задачей является опреде­ ление областей притяжения различных решений.

Примером нелинейных диссипативных систем, для которых эти вопросы решены, являются среды, описываемые уравнением (2.1). В этом случае при t —* со могут существовать только

неограниченные решения или стационарные структуры. Послед­ ние определяются решениями уравнения

которое представляет собой простую консервативную динами­ ческую систему (описывающую движение материальной точки в заданном потенциале). Как мы уже упоминали, вопрос об ус­ тойчивости различных решений также решается аналитически - все решения, имеющие несколько экстремумов во внутренних

тических интегралов получены аналитические решения. Однако поиск всех решений краевой задачи требует специальных

349

алгоритмов. Графический метод решения этой задачи был

самое простое решение, у которого функция /?(х) имеет мини­

мальное количество экстремумов [2 1].

Важной задачей было бы построение численных алгорит­

мов или приближенных аналитических методов, позволяющих

сложными. Динамические системы, описывающие автомодельные решения, могут иметь странные аттракторы. В этом случае

говорят о пространственном хаосе в нелинейных системах.

Пример такого хаоса дают решения уравнения Курамото -

венно и имеет коническую форму. С помощью численного анализа было установлено, что при промежуточных значениях с9

во множество хаотических решений, чередующихся с бесконеч­ ной последовательностью профилей и(х) конической формы.

Пространственный хаос может возникать в диссипативных нелинейных средах, в которых источники и стоки периоди-

350