книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

вертикальными штрихами

264

Вид этого спектра показан на рис. 6.27. Хаусдорфова размерность в этом случае не превышает 3, что позволяет

небольшой выборке удается только грубо оценить, какова фрактальная размерность, выяснить, имеем ли мы дело с пе­ риодическим режимом, инвариантным тором или странным аттрактором.

Пример такой постановки дает работа [69], в которой рассматриваются данные о вариациях продолжительности суток

в период с 1656 по 1984 г. В изучаемой выборке около 700 элементов. В этой и многих других системах возможность от­ личить хаотический режим от периодического зависит от от­ ношения Ы/Т. Обычно для этого требуется дополнительная

информация. В частности, в обсуждаемой работе было показа­

но, что методика, связанная с определением корреляционного показателя, оказывается эффективной, если основной период

колебаний лежит в интервале от 2 до 25 лет, и не дает ин­ формации о колебаниях, период которых превышает 100 лет.

Распространенной процедурой при обработке эксперимен­

тальных данных является исключение медленно меняющейся

составляющей - удаление тренда. Например, в данных о вари­

ациях длины суток амплитуда низкочастотных гармоник поряд­

лены не поведением динамической системы, а другими факто­

[329] удаляется квадратичный тренд. По имеющимся данным с

266

AT(f) ~ z(t). Ha PHC- 6.28 показан спектр данных, получен­

ных в результате удаления тренда. Заметно уменьшение амп­

литуд низкочастотных колебаний.

Вместе с тем видно, что удаление тренда с помощью квадратичного полинома (см. рис.6.28) не позволяет в дос­

таточной мере избавиться от таких составляющих. Это можно сделать, если непосредственно исключить несколько низко­

частотных гармоник (удаление спектрального тренда). В дан­

ном случае гармоник, соответствующих периодам, превышающим 100 лет (где zs(t) - 330, 165 и 110 лет), а также постоян­

ную составляющую. Обработка этой последовательности дает

го показателя. Поэтому для того, чтобы определенным образом обрабатывать экспериментальные данные, нужно либо иметь информацию о том, какая их обработка допустима, либо в яв­

ном виде формулировать сделанные предположения. Были пред­ ложены и другие способы обработки данных, чтобы наилучшим образом определять корреляционный показатель V.

Другой распространенной процедурой является фильтра­

ция, обычно помогающая избавиться от аппаратного шума или

малых флуктуаций, не связанных с поведением динамической системы. Остановимся подробнее на этом вопросе.

Обычно при экспериментальном исследовании динамичес­ кого хаоса в той или иной мере присутствует шум. Он может

быть связан с несовершенством аппаратуры, малыми флукту­ ациями изучаемого процесса или другими факторами.

Анализ одномерных отображений с шумом позволяет выяс­

нить, как будет влиять шум на притягивающее множество [57, 328]. Допустим, мы имеем дело с аттрактором, который обла­

дает канторовой структурой (для определенности - аттрак­

тором Фейгенбаума). В случае без шума, увеличивая уровень разрешения б, мы будем наблюдать все большее количество

267

корреляционного интеграла 1пС от величины 1п е, имеет ли­

нейный участок. В этом интервале значений е геометрию при­

примером [69]. Пусть в системе реализуется простейший двухчастотный режим, на который накладывается равномерно

(мы считаем, что выборка достаточно велика).

Рис. 6.29. Двухчастотный режим, а ~ 6, шум отсутствует

268

Когда 6(0 = 0 и о ~ Ь, то зависимость логарифма кор­ реляционного интеграла от log е имеет вид, представленный на рис. 6.29 слева (справа показан локальный наклон этой кривой),

смещаться вдоль оси loge. Это может приводить к неверной оценке корреляционного показателя. Поэтому в ряде случаев

Рис. 6.30. Двухчастотный режим, Ь <L а, шум отсутствует

269

Дифференцирование данных и их сглаживание может су­ щественно изменить результаты вычисления фрактальной раз­ мерности аттрактора даже при отсутствии шума. Чтобы про­

270

иллюстрировать этот факт, в работе [217] был предложен следующий наглядный пример. Пусть, для определенности, изучается динамика процесса, описываемая системой трех дифференциальных уравнений, имеющей странный аттрактор:

Пусть этот аттрактор характеризуется ляпуновскими показа­ телями Х2, Х1 > О, Х2 = О, Х3 < 0 , Х1 + Х2 + Х3 < < 0.

271

ся.) Измерительный прибор в этой ситуации естественно мо­ делировать с помощью интегрирующего фильтра

х = f (х),

В отличие от исходной, эта система имеет ляпуновские пока­ затели Xj, Л2, Л3 и d. Ляпуновская размерность аттрактора, вычисленная по формуле Каплана - Йорке, равна

Проведенные расчеты для ряда конкретных динамических систем хорошо согласуются с этими формулами [217]. Таким

образом, в идеальном случае в отсутствие шума Сглаживание данных может изменить измеряемую размерность аттрактора.

Это приводит к необходимости методических исследований, позволяющих выяснить, какие способы обработки данных до­ пустимы в изучаемом случае.

В случае с шумом ситуация оказывается еще более слож­ ной. Например, в работе [69] приведен следующий пример. На синусоиду накладывается равномерно распределенный шум не­ большой амплитуды. Далее производится численное дифферен­ цирование и сглаживание с параметрами, которые использова­ лись при обработке экспериментальных данных [329]. Корре­ ляционный показатель, рассчитанный по обработанным данным, близок к двум. Поэтому вместо того, чтобы установить, что изучается одночастотный режим с шумом, данные будут интер­ претироваться как двухчастотный режим или странный аттрак­ тор.

272