Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

§ 6 .8 .	О з а д а ч а х	прогн оза поведения
	хаоти чески х систем
Рассматривая	системы	с хаотическим поведением, мы

сталкиваемся с необходимостью сравнивать результаты пред сказаний с наблюдениями. Если система обладает чувстви тельностью к начальным данным, то со временем предсказыва емая и наблюдаемая траектории будут расходиться, даже если модель хорошо описывает систему. Кроме того, во многих би ологических и химических системах неизвестны уравнения или

отображения, определяющие их поведение. В тех же случаях,

когда уравнения известны (например, в гидродинамических задачах), часто неизвестны начальные данные, что также

затрудняет предсказание.

Поэтому интерес представляют модели, позволяющие по

данным наблюдений предсказывать на определенный промежуток

времени поведение системы на основе ее	предыстории.	Приве
дем простейший пример такой феноменологической модели.
Пусть динамика некоторой системы	с хаотическим	пове

дением определяется одномерным отображением *n+1 = f(xn) с

положительным			ляпуновским		показателем,	и	нам	известна
часть	последовательности			{хп}	х^.......... хп. Чтобы пред
сказать	хп+у	можно поступить			следующим	образом.		По	точкам
xv ....	хп	на	плоскости	(хп,	*п+1) строится		кривая		*п+1 =

= 7 ( хп) (при этом можно воспользоваться тем или иным алго

ритмом интерполяции).				Кривую		J(x)		естественно		рассматрива
ть как приближение			кривой f(x). Тогда отображение
				X .	=	f (х		)
				П+1		1 '	TV
представляет собой			некоторую			модель			изучаемого		процесса.
Она позволяет		приближенно				предсказывать				*п+1	(х' п+\ ~
/ч/
= /(* „)).	хп+2'	••••		xn+k	и	т-		д-	Однако,	если	среднее
значение	производной			(^£)	>	1	в	точках траектории (что

типично для хаотических режимов), то ошибка предсказания с ростом k будет расти. Это же свойство характерно и для ис-

273

ходной	системы,	если хп известно с некоторой погрешностью.
Тем не	менее,	несколько ближайших значений величины х

могут быть предсказаны с помощью этой модели. Таким обра зом, мы получаем прогноз поведения рассматриваемой нели

нейной системы.
В работе [260] аналогичный подход	был развит для сис
тем более высокой размерности. Чтобы	предсказывать	значе
ние хп+1 по хп, хп-1, ... предлагается	строить так	называ

емые локальные предикторы. В пространстве векторов выбира

ется некоторая норма, затем ищутся 5 ближайших по этой

норме соседей, далее по ним проводится линейная (или более

сложная)		интерполяция функции		/(xfe+1	=	/(хй),	^	= 1. •••
..., п)\	это	дает	приближенное значение /(хп)
В	статье		[260] этот подход	был	применен		к	анализу

экспериментальных ■’энных, характеризующих течение Куэтта -

Тейлора,		конвекцию		Рэлея		- Бенара и уравнение			с запаздыва
нием	(в		первых	двух		случаях		фрактальная	размерность
аттрактора			менялась	от	2	до	3).	Проведенные	тесты	показа
ли,	что	в	тех случаях,		когда		размерность вложения			сущест

венно больше, чем фрактальная размерность аттрактора, ло кальные предикторы дают лучшие результаты, чем стандартный подход, связанный с глобальной аппроксимацией по всем N

точкам	выборки.	В этой	работе также приводится оценка по
грешности полученных таким образом предсказаний.
Таким образом, знание фрактальной размерности				позво
ляет не	только	оценить	число параметров порядка,	которые
необходимо учитывать при			построении упрощенных моделей, но

и помогает построить феноменологические модели, дающие прогноз поведения нелинейных систем.

Г /1 А В А 7

ПЕРЕХОД К ХАОСУ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ

В прошлом веке основное внимание при построении мате матических моделей уделялось гамильтоновым системам, кото рые характерны для задач небесной механики. Однако в трид цатые годы нашего века появился большой класс задач, свя занных с исследованием диссипативных систем. Их появление было обусловлено быстрым развитием радиотехники и теории колебаний. Эффективной моделью, позволяющей объяснить мно гие наблюдаемые явления, оказалась система двух обыкновен ных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра:

3 7 = Р(Х, У, А),

(7.1)

§= (&Х, Y, А).

Класс нелинейных функций Р и Q может быть очень широ ким, однако при моделировании реальных систем естественно использовать такие Р и Q, при малых возмущениях которых решение качественно не меняется. Их и надо рассматривать в первую очередь. Математическая формулировка таких пред ставлений была дана А.А.Андроновым и Л.СПонтрягиным и привела к понятию грубости или структурной устойчивости

системы [4].

Это понятие является общим для многих разделов мате матики и пояснить его можно на простом примере семейства

275

функций, зависящих от одного параметра:

			F(x,e) = 0.							(7.2)
	Рассмотрим для примера две различные функции F (рис.
7.1,а,б). Легко			видеть, что		число	корней первой		функции		не
изменится		при	малых	деформациях кривой. Во втором					случае
все	происходит		иначе.	Уравнение		F(x) = 0	имеет	два	реше
ния,	F(x)	+ е	= 0 -	одно	(рис.	7.1,в), a	F(x)	- е	=	0 -

три решения, сколь малым мы ни выбирали бы положительное число е. Систему, описываемую уравнением (7.2), в которое

входит	функция,	показанная	на рис.	7.1,6, естественно	от
нести	к негрубым.	Две другие	функции	F характеризуют	гру

бые системы. Грубые случаи иногда также называют случаями общего положения.

F(x) F (X )

Рис. 7.1

Рассматривая какую-нибудь конкретную модель, всегда

можно считать, что она является грубой. Но если нас инте

ресует	целое	семейство	моделей,	зависящих		от	параметра А,
то нам иногда будут встречаться				и	негрубыё		ситуации.		На
пример,	при	изменении	параметра	е	мы переходим			от	одной
грубой системы (см. рис. 7.1,а)				к	другой	(см.		рис.	7.1.в)
через негрубую (см. рис.			7.1,6).

Понятие грубости связано с разбиением множества дина

мических систем на некоторые классы (обсуждая рис. 7.1, мы сравнивали функции по числу нулей). Кажется естественным

отнести	в один класс все системы, которые	переводятся	друг
в друга	простейшими заменами переменных.	Приняв такое	оп

276

ределение,		мы вынуждены		считать различными системы х = ах
и х =	(а	+ е)х, а и	е	-	постоянные,	которые		качественно
ведут	себя	аналогично.	Это		обусловлено	тем,	что	производ
ная правой		части дифференциального уравнения					в особой точ

ке является инвариантом. Она не меняется при невырожденной замене переменных. Поэтому вводится иное определение, опи

рающееся на топологические представления. Исходя из него,

две динамические системы относят к одному классу, если су ществует некоторое взаимно однозначное соответствие между

фазовыми кривыми первой и второй системы [8,		177].	Понят
но, что при таком подходе две	упоминавшиеся	системы	попа
дут в один и тот же класс.
Можно привести примеры	грубых динамических систем на

двумерных поверхностях. К ним относятся уравнения, у кото

рых	аттрактором является особая точка, если нуль не явля
ется	собственным		значением	линеаризованных	уравнений		в
этой	точке.	Таковы, например,		устойчивый фокус		или узел
(рис.	7.2, а).	Для	грубых систем характерны также седла
(см.	рис. 7.2,6),		неустойчивые фокусы (см.		рис.	7.2, в)	и
узлы.	Если	нуль является собственным значением, то				при	ма

лом изменении параметра обычно изменяется число точек и их устойчивость.

У предельных циклов в грубых системах отображение Пуанкаре не имеет собственных значений, равных единице по модулю. Негрубыми же являются системы вида (7.1), в которых существуют гомоклинические (см. рис. 7.3, а) или

277

гетероклинические траектории (см. рис. 7.3,6). Точка, ле

жащая	на	гомоклинической		траектории,		стремится		к	одной
особой	точке	как при	t —> оо,	так и	при	/	—> -	оо.	Гетеро-
клиническая		траектория	соединяет две		особые		точки.

а	б
	Рис. 7.3
Было доказано, что	уравнения (7.1) определяют струк

турно устойчивые системы, если они имеют конечное число невырожденных особых точек и циклов, а также не имеют го-

моклинических

и гетероклинических траекторий.

Оказалось,

что

структурно

устойчивые

системы

вида

(7.1) в пространстве всех таких

систем образуют открытое

всюду

плотное

множество [8].

Этот важный результат согласуется с интуитивным пред

ставлением о том, что сколь угодно

близко

негрубым

сис

темам

пространстве

параметров

должны

существовать

гру

бые.

Подробно

рассмотрев

грубые

системы,

можно

выяснить

все основные

типы

качественного

поведения

моделей

типа

(7.1).

Встает

вопрос,

можно

ли

получить

аналогичные

результаты для

систем

более

высокой

размерности.

При обобщении условий грубости был введен

важный

класс

грубых

многомерных

систем

системы Морса

Смейла. В

уравнениях, которые их определяют, все решения стремятся к

периодическим	траекториям	или особым точкам,	как при
t —» оо, так и	при t —» -оо.	Число периодических	траекторий

и неподвижных точек конечно, все они гиперболичны, и их устойчивые и неустойчивые многообразия пересекаются только трансверсально (под ненулевым углом). (Точка называется

гиперболической, когда действительные	части	всех	собствен
ных значений линеаризованной системы	отличны	от	нуля. Цикл

278

В ы з ы в а е	т с я гиперболическим, если		отображение Пуанкаре для
Вето не	имеет А^. с \|Л	\| = 1.)
Принципиальные		результаты,	касающиеся свойств динами

ческих систем в многомерном случае, были получены С.Смей—

лом. Они подробно обсуждаются в обзорах [7, 177].
Оказалось, что не все грубые системы являются	систе
мами Морса - Смейла. Например, У-системы структурно	устой

чивы, однако имеют бесконечное число замкнутых траекторий.

(Простые примеры	У-систем были приведены в гл.			5.)	Кроме
того, ССмейлом	был	построен	пример динамической	системы,
в окрестности которой нет нч одной грубой [8].
Такое поведение		связано с	наличием хаотических		режи

мов и с возникновением сложных инвариантных множеств (та

ких, например, как в подкове Смейла).

Эти результаты показывают, что задача полной тополо

гической классификации дифференциальных уравнений доста

точно большой размерности не может быть решена. То есть

здесь не приходится рассчитывать на построение такой же

качественной теории, какая была создана для динамических

систем вида (7.1). Это приводит к тому, что изучаются либо модельные уравнения и ситуации, для которых удается полу


чить	строгие	результаты	[8	-	14],	либо анализируются базо
вые	модели,	отражающие		характерные			особенности той или
иной	области	исследований.		3	качестве		примеров можно при
вести	систему Лоренца		в	гидродинамике [136],				уравнения
Ресслера в		химической	кинетике			[65], систему		Рикитаки в

теории земного динамо [Д14], ряд систем в радиофизике и

электронике [6, Д7].

Изучение хаотических режимов в динамических систе

мах с непрерывным временем оказалось очень интересной об ластью исследований. Этот анализ является достаточно слож ным и требует широкого использования вычислительного экс перимента. Поэтому число подробно исследованных систем с хаотическим поведением невелико. Тем не менее здесь были обнаружены интересные явления, разработаны новые приемы и методы исследования, развиты важные представления, приме

279

нимые ко многим моделям, возникающим при анализе нелиней ных диссипативных сред. Обратим внимание на некоторые из них.

§ 7.1. Система Лоренца. Гомоклинический взрыв

По-видимому, системой обыкновенных дифференциальных уравнений, вызвавшей наибольший интерес в последние годы,

является система Лоренца. При ее анализе широко использо вались методы качественной теории обыкновенных дифферен

циальных уравнений, топологии, гиперболической теории,

других разделов математики. Это позволило развить методы и

представления, полезные при изучении странных аттракторов

в других динамических системах. Обширную библиографию ра

бот, посвященных модели Лоренца, можно	найти в	книге [373]
и обзоре [12].
Система Лоренца была предложена в	качестве	упрощенной

модели для описания конвекции Бенара в подогреваемом снизу

слое жидкости. Движение жидкости в этой задаче											зависит от
двух		безразмерных			параметров.			Первый параметр -			это число
Рэлея								,
							OLgdrbT
							R =	Ш
Здесь		а -	коэффициент				объемного расширения жидкости; g -
ускорение			свободного			падения;		d	- толщина	слоя	жидкости,
АТ -		разность температур					между нижним и верхним слоем жид
кости,		v	-	вязкость,			к -	коэффициент теплопроводности.
Второй параметр -					число		Прандтля
							Рг =	V /	K .
		Уравнения, описывающие движение жидкости, имеют рав
новесное			решение,		когда		жидкость покоится, а ее температу
ра	линейно			меняется		с	глубиной. Рэлей обнаружил, что при
R	>		= 27JT4/4 это				решение		неустойчиво,	и	развивается
конвекция.

280

Применяя метод Галеркина, в простейшем случае можно нолучить систему трех обыкновенных дифференциальных урав нений [136]:


X = -			<хХ +	о¥
Y =		-	XZ +	гХ -	Y	(7.3)
Z =		XY - bZ,
где г = R/Rc,	Ь -		8 /3 .	Наиболее подробно		исследовались
аттракторы на линии о* = 10.
Система (7.3)	диссипативна.				Объем V малой	области фа

зового пространства, каждая точка которой движется в соот

ветствии с (7.3), меняется по закону

V = ПК,	8к	д9	8I	(7.4)
V = ПК,	Я = —	+ —	+ — = - (<г + Ь + 1).	(7.4)
	дХ	BY	8Z

Она обладает следующей симметрией: преобразование

	X -> -X,	Y —> -У,	Z —> - Z
не меняет	вида уравнений.
При г < 1 начало координат является глобально притя
гивающим,	X —* 0, Y —»	0, Z —> 0,	t —* «и. Конвекция от
сутствует.

При г = 1 у линеаризованной задачи, определяющей ус

тойчивость точки (0, 0, 0), появляется нулевое собственное

значение. Происходит		бифуркация,	в	результате	которой		точ
ка (0, 0, 0) теряет устойчивость,			и	появляются два		симмет
ричных состояния равновесия:
X = ± Щ г -1) , Y = ± Щ г-Г Г , Z = г - 1.
Пример	такой	бифуркации	показан на		рис.	3.2.	При

дальнейшем увеличении г у устойчивых состояний равновесия появляется пара комплексно-сопряженных собственных зна

чений.
Начало координат при г > 1 является седлом,	оно имеет
два устойчивых и одно неустойчивое направление.	Траекто

281

рии, входящие в него, вблизи нуля принадлежат некоторой


поверхности -		устойчивому	многообразию. Из				него выходят
две симметричные траектории				-	неустойчивые		многообразия
нуля. Далее они по спиралям					наматываются		на	устойчивые
точки (рис.	7.4, а).
При	увеличении параметра				г витки	спиралей		становятся
все больше, и при значении			г	=	г' ~ 13,926 появляется пара
гомоклинических		траекторий,	двигаясь по			которым		точки как

при / —» ю, так и при t —> -<в стремятся к началу координат (рис. 7.4,6).

	a			if
			Рис.	7.4
Появление таких траекторий оказывается очень важным.
Удобно	проследить,	как	их возникновение меняет динамику
системы,	рассмотрев	маленький		кубик вблизи нуля и две
трубки, окружающие неустойчивые многообразия нуля.
Следуя книге [373],			можно	пояснить происходящее с по

мощью нескольких схем. Рассмотрим маленький прямоугольник

ABCD на верхней грани кубика. Точки А и D принадлежат ус

тойчивому многообразию начала координат, и траектории, проходящие через AD, стремятся к нему при t —» оо. Поэтому

интегральные кривые,		проходящие через ABCD, будут пересе
кать боковую	грань	кубика	внутри	треугольника	MNP	(рис.
7.5).
При движении вдоль трубки от боковой грани					кубика	до
верхней на пути траектории			нет особых точек. Поэтому треу
гольник MNP не будет «сильно деформироваться». Образом
прямоугольника	ABCD	после	первого	возвращения	траекторий

282

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 5528 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги