книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

+ c3qxx -

en

00

7^

E exp(2rcmf/T).

n = — CO

некоторую конечномерную систему,

аттрактор

которой

был

бы

в определенном смысле близок к

аттрактору

исходной

задачи.

По-видимому, таких результатов

в настоящее время

нет.

понять особенности хаотических режимов в

нелинейных

зада­

чах. Обратим внимание на некоторые из

них.

1. Первоначально большинство

результатов в

этой

нения

Навье

-

Стокса. Однако развитые подходы оказались в

достаточной

мере универсальны

и

применимы к

большому

классу

систем

реакция -

диффузия

[28], уравнению Кура-

мото -

Цузуки

[232,253]

и ряду

других уравнений

в частных

V-v = О,

(9.21)

где v

=

характеризует скорость жидкости,

р - дав­

ление,

v -

вязкость, f - объемная сила, которая

считается

Из-за наличия вязкости система является диссипатив­

ной,

поэтому естественно ожидать, что характеристики тече­

ния

будут определяться ее аттрактором.

По-видимому,

цесса.

Этот вопрос подробно исследовался для уравнения

Навье -

Стокса.

чение, определяется

как

N ~

( / / / / ,

(9.22)

где d = 2 или d -

3, в зависимости

от

размерности

прост­

ранства,

в котором

рассматривается задача, lQ -

характер­

ный линейный размер

области,

занятой

жидкостью;

-

малый

масштаб,

начиная

с

которого

эффекты,

связанные

с

вяз-

костью, полностью определяют

движение.

Было

показано, что

в

трехмерном

случае

/с =

v3/4/cV4,

где

е = у< Vu

>2,

(9.23)

в

двумерном

1с =

(ц3/% )1/6,

X =

v< Ды >2,

(9.24)

+ vAu + В(и,и) = Pf,

(9.25)

где

v -

безразмерный

коэффициент

кинематической

вязкости.

При

этом

рассматривают

функциональные

пространства векто­

ров

Н и V, Н -

замыкание множества

V =

{

w е

IR2 ,

(о е

С " | Я

, d i v

о> =

0

}

в пространстве

о

функций,

интегрируемых

с

квадратом, со

L

скалярным

произведением

2

dx'

и = (« г ы2);

v

=

(or

v2).

(«.

»)

= Е._1

£ Y /

2

ди. dv.

<u’ v> =

Е. , I

ЯхГЯГ. dx’

Р в

формуле

(9.25)

-

оператор

ортогойального проектирова­

ния

из Z.2 на

Н\ А =

-ЯД, а В(и,и) = Р(иЧ)и.

div w = 0,

(9.26)

где

на

функцию

w

накладываются те

же

граничные

условия,

что

и

на

функцию

v в уравнении Навье -

Стокса. Так

же как

градиент

давления

определяется

уравнением (9.21),

градиент

величины

g определяется задачей (9.26).

Домножим

уравнение

(9.21) на

функцию w с div w = 0

(это

может быть

одна

из

собственных

функций

задачи

(9.26)).

Тогда

(Vp*w)

= Г div(pw)

dx = J р w п ds,

Q

ds

/->ю

Лп+1

> у-2

lim

sup Af2,

(9.26)

/->00

An+1

> у-1

lim

sup М2,

/->00

где

и Af2 -

максимальные

амплитуды v и rot v во всей

области

Q в данный момент

времени. Тогда

V ~ v(n)

= Е сIt)

w /r)

/= 1

‘

*

в том

смысле,

что

если

при

t

—>

оо

v является постоянной,

исследования вязкой

жидкости. Из

них следует, что

измере­

ние конечного набора

величин,

зависящего

от

числа

Рейнольдса, позволяет получить информацию о типе

течения.

2. Следующий

вопрос

связан с

оценкой сложности

наблю­

довании вводится важное понятие максимального

аттрактора

[29].

Полугруппой {S<t t £ 0}, отвечающей уравнению (9.21),

называется семейство

операторов S(,

действующих

в банахо­

вом

пространстве

Е,

S(: Е —>

Е,

причем S(uQ =

u(t),

где

u(t)

- решение

задачи (9.21).

При

этом предполагается,

что

1 ) свойством

инвариантности:

S(U = И для / ^

0;

2)

свойством

притяжения:

для

любого

ограниченного

множества В с

Е

расстояние

dist£

(S((B),

11) —» 0

при

t —* «,

где

dist

(X, Y) = sup

inf IIx

- y\\ .

*€*

yGY

E

Т

е о р е м

а

9.1.

Пусть

полугруппа {S(}

удовлетво­

ряет следующим условиям:

1 ) полугруппа {S^ равномерно ограничена, то есть для

любого

R > 0 существует C(R) такое, что IIS^II <

C(R), если

Hull

£

R 0 £ / £ со;

2) существует компактное в Е поглощающее множество

В^,

т.

е. для любого

ограниченного множества В с

Е

сущест­

вует такое число Т,

что при t г Т

SfB с

3) операторы

S(E —*

Е непрерывны при t 2:

0.

Тогда у

ЭТ = - «(“ ) Ш’ “ <“ ) > °-

(9-28)

где

{г^}

-

множество

стационарных

решений

уравнения

(9.28), s

-

число

таких

решений, М(г!)

-

максимальное

неустойчивое

инвариантное

многообразие,

проходящее

через

точку

г..

Многообразие

М(г^

состоит

из

всех

траекторий

ц(т), выходящих при возрастании т из точки г .

Таким

образом,

наряду

со

стационарными

точками

макси­

трактор,

как

и

те

множества,

которые характеризуют

поведе­

ние

решений

при

t —* со в случае типичных

начальных данных.

Условия

теоремы 9.1

могут быть

проверены

для

уравне­

ния

Навье

-

Стокса

[27,29].

Например,

для

функции u(x,t)

выполнено

неравенство

ехр(-Л vt) +

« г » ,

llu(r,0H

о -

IIып(г)Н „

— — ,

(9.29)

L

и

LT

1

v\x

где

Aj—

первое

собственное значение задачи (9.26). Следо­

вательно,

при

t —» со траектории

будут

лежать

внутри шара

Sf :

Hull

9 s

||/||

/A.W.

(9.30)

'

1Г

Г

1

Рассматривая

конечномерные динамические

системы, мы

размерностью. Эта связь определялась формулой

Каплана-

Йорке

[259]. Оказывается, эта

связь существует и для урав­

нений

в

частных производных.

Именно она и дает ключ к

оценке хаусдорфовой размерности максимальных аттракторов.

3. В конечномерной системе сумма первых k показателей

Ляпунова

определяла скорость

уменьшения A-мерных

фазовых

объемов. Обобщая это свойство,

Ю.С.Ильяшенко

ввел понятие

Л-сжимающих систем.

О п р е д е л е н и е .

Отображение области евклидова

или гильбертова пространства в

себя называется

k-сжимающим

пространства в

себя.

Тогда отображение g

имеет притягива­

ющее множество (аттрактор) А =

gnB,

хаусдорфова

раз­

мерность которого не превосходит k.

Оказалось,

что

утверждение

теоремы

естественно

обоб­

ных

уравнений

[27,

29].

Например, в работе [27] приведен следующий результат.

Пусть

полупоток

S( таков,

что

IIS/и )

-

S/»)ll

2 — Ии-оИ

2

exp(Bt)

(9.31)

(в

случае

уравнения

Навье

-

Стокса

В

=

A^/4v, где

Ап=

шах

шах

|ы(х)|),и выполнено

неравенство

иеи

х бП

II (Е -

Pn)(Sfu -

S(t>)ll

2

£

и

llu

— v\\ 2,

w <

1 ,

(9.32)

где

Р -

оператор

ортогонального

проектирования

на

конечно­

мерное

подпространство,

натянутое

на

векторы

w1......w^.

(В случае уравнения

Навье

-

Стокса

w -

собственные

векторы

задачи

(9.26),

а

неравенство

(9.32)

было

установлено

О. А.Ладыженской).

Тогда

хаусдорфова

размерность

максималь­

ного аттрактора

полугруппы

S( конечна.

Более

того,

П.Константином

и И.Фояшем было показано,

что

предельную

емкость

и

хаусдорфову

размерность

макси­

\(и

) =

lim

(1 / 0

log

m(t,uQ).

1

t-*a>

1

Пусть аттрактор лежит внутри шара

радиуса

р

В"(0).

Введем

величины

/ у о

=

sup

PN(t,u0),

N i l ,

v V 0)

mlt)

=

sup

mU,uQ).

V

V

°

>

Глобальные ляпуновские показатели Д. и fi. определя­

ются следующими

формулами. Для / а 1 и л/ 2: 1

Д. =

lim

sup

т-

log

1

1

t-* oo

1

Яд, = lim

}

log

/у * ) .

00

P] = nv

PN =

В работе

[237]

были

доказаны следующие утверждения.

I е

о р

5 м

а

9.3.

Пусть

X -

инвариантное

множество,

которое

является

ограниченным

в

V, например,

X

-

макси­

£ /о

(9.33)

руют,

что фрактальная размерность странного аттрактора,

если он

наблюдается, не превышает данной величины.

максимального

аттрактора

уравнения Навье

-

Стокса,

оказа­

лись в полной мере применимы к уравнению Курамото -

Цузуки

[232,

253].

Рассмотрим

эти

результаты

более

подробно,

следуя

работе [232]. Перепишем уравнение Курамото

-

Цузуки

в

виде

А( =

RA +

(1

+

i»)Axx -

(1+/д)4|Л|2, х €

[0,1],

4(*,0) = AQ(X),

4(0,/)

= 4(1,/),

(9.41)

считая,

что оно

задано

в

области

единичной

длины

с

перио­

дическими краевыми условиями.

функций). Аттрактор X уравнения (9.41) лежит

в шаре

радиу­

са R в пространстве L2>

X удовлетворя­

Норма функции 114(х,/)11г

на

аттракторе

ли

ет неравенству

lim

supll4112 £ R + 28R2{\ + [1

+

(1 + 6 )/S 2fl]1/2},

(9.42)

t->a

X

00