Первые две бифуркации совпадают с бифуркациями в упрощенной системе с N = 2. При этом параметры особой точки с Ртп = 0 при л * 0 с точностью до нескольких про центов совпадают с характеристиками одномерных автомодель ных решений. Однако в целом в задаче (10.2) последователь
ность |
переходов |
проще: в ней нет аналогов симметричных |
особых точек и симметричных предельных циклов. |
|
|
|
|
|
|
На |
линий |
= |
3 |
последовательность |
бифуркаций |
в упро |
щенной |
системе |
и исходной задаче одна и |
та |
же |
- |
такая, |
как |
на |
схеме |
10.2. |
Параметры автомодельных решений и особых |
точек |
|
здесь |
также |
хорошо |
согласуются |
между |
собой |
(рис. 10 .1 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
такие решения задачи в частных производ |
ных, |
у которых |
функции R и а периодичны |
по |
времени. Можно |
убедиться, |
что |
в |
этом |
случае |
Pmn(0 |
также |
периодичны: |
р |
(t |
+ |
Т) |
= р |
(Л, |
0 |
(t |
+ |
Т) |
= в |
(t) |
+ |
2пр |
, |
р |
= |
0, |
±1, ±2........... Такие решения |
|
являются |
аналогами |
предельных |
циклов в системе с N = 2. Отметим, что. функции и и о не |
являются |
периодическими |
- |
в |
системе |
будет |
наблюдаться |
установившийся двухчастотный режим. Аналогичная ситуация имела место и в упрощенной модели.
Одно из этих решений представлено на рис. 10.8. Раз
ность /6 - |
/j |
близка |
к |
периоду, |
поэтому |
R(x, y,tj ~ |
~ R(x,y,t6). Другой пример |
показан на рис. 10.9. Здесь ли |
нии уровня |
меняются гораздо |
сложнее. |
В момент |
13 они близ |
ки к линиям в моменты |
|
и /g, симметрично |
отраженным |
относительно |
диагонали квадрата. |
|
|
Двумерные |
решения, |
наблюдаемые |
в этом диапазоне пара |
метров, являются достаточно сложными. Для того, чтобы выяснить характер их качественной перестройки, необходимо рассматривать проекции на некоторые конечномерные про
странства. В |
данном случае наиболее показательны проекции |
на плоскость |
(p1Q, pQ1). Они представлены на рис. 10.10, |
10.11 вместе с |
графиками функций Ртп(0- |
Рис. 10.9. Линии уровня решения типа II, у которого функция R(x,y,t) пе
риодична по времени. Параметры расчета |
с^ = 1,5, с^ = -3,5, I = 7Г, |
А = 7Г/20, Т = |
10-2 |
Рис. 10.10,а) Зависимость |
Р („(/); б) проекция на |
плоскость (Р ^Р д^) Ре_ |
шения, |
показанного на рис. |
10.8 |
Рис. 10.11. Зависимость р „ (/) и |
проекция |
и плоскость {Рщ.Рд^} решения, |
представленного |
на рнс. |
10.9 |
Решение, изображенное на рис. 10.8, проектируется на
кривую, целиком лежащую выше диагонали p1Q = pQ1. В тече-
ние |
всего |
периода |
направления х н у |
«неравноправны». |
Назо |
вем |
его |
решением |
типа I. Решению, |
показанному на |
рис. |
10.9, соответствует замкнутая кривая, которая лежит по обе стороны от диагонали (см. рис. 10.11). Эта линия почти
симметрична относительно |
прямой |
p1Q = |
Р01Направления -х и |
у |
через |
время |
Т/ 2 |
«меняются |
местами»: R(x,y,t + Т/2) ~ |
~ |
R(y,x,t). |
Это |
видно |
и |
на рис. |
10.12, |
где |
показаны |
видо |
вые проекции |
функции |
R(x,y,t) |
на моменты |
времени |
= |
= 30,963 и /2 = 37,333. Будем называть такой аттрактор ре
шением типа II. Важно подчеркнуть, |
что решения типа |
I и |
типа II качественно отличаются друг |
от друга. Переход |
меж |
ду ними внешне похож на бифуркацию удвоения периода: при малом изменении параметра с2 период решения увеличился
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
примерно в два раза, функция Р00(0 |
близка к |
pQ0(/ + |
7V2) |
(см. |
рис. |
10. И, а, б). |
Однако |
Р01(0 |
и |
Р10(0 |
|
ведут |
себя |
иначе: часть периода функция Р10(0 |
на |
рис. |
10.11 |
(решение |
типа |
II) |
повторяет ход |
Р10(0 |
на |
рис. |
10.10, |
оставшуюся |
часть |
- ход функции |
Рр1(/). При приближении |
к |
точке |
пере |
хода период циклов резко возрастает. |
|
|
|
|
|
|
В упрощенной системе с N = 2 такие переходы не наблю |
дались. Однако причину их появления |
можно пояснить, |
исходя |
из представлений о конечномерной модели. |
|
|
|
|
|
Пусть при некотором значении параметра с2 у системы с |
достаточно большим числом N есть |
две |
устойчивые |
особые |
точки, |
расположенные |
симметрично |
относительно |
плоскости |
Ртп = |
Рпт> |
но не лежащие |
на ней. При уменьшении |
с2 |
проис |
ходит бифуркация Хопфа, появляются два предельных цикла, переходящие друг в друга при отражении относительно той же плоскости. По мере уменьшения с2 амплитуда колебаний будет возрастать и циклы с разных сторон будут приближаться к плоскости симметрии. В силу единственности решений они мо гут. коснуться друг друга, а значит, и плоскости ртп = рпт,
только в особой точке. Период каждого из циклов при при ближении к этому значению параметра с2 = с* должен неогра ниченно расти. После перехода (с2 < с*) циклы качественно перестраиваются. Если раньше, находясь на предельном цик-
ле, точка вращалась вокруг одного состояния равновесия, то теперь она бывает поочередно в окрестности каждого из них.
Рис. 10.12
Обратим внимание на то, что при с2 = с* в конечномер
ной системе возникает гомоклиническая траектория, а сама
система |
обладает |
специальной симметрией |
(если |
{р (/), |
0mn(O) - |
решение, |
то и {Рпт(0> 0ляг(О} будет |
решением, |
т. е. индексы т и п |
можно поменять местами). |
Это |
позволяет |
предположить, что здесь могут быть эффективно использованы методы, развитые при анализе системы Лоренца [373].
Напомним, |
что |
наряду |
с решением, |
показанным на |
рис. |
10.1 1 , |
существует |
симметричное |
ему |
решение |
/V |
= W(y,x,t). |
Поэтому |
усложнение |
решений |
задачи |
W(x,y,t) |
(10.2 ) может и дальше идти по тому же пути, существенно связанному с симметрией.
Такой механизм, иногда называемый ^аномальными бифур
кациями удвоения», является достаточно общим |
и характерен |
для многих систем с симметрией [312]. |
|
|
|
Совершенно другая картина наблюдается при с1 = 3. Это |
связано |
с тем, |
что бифуркацию Хопфа в этом |
случае |
претер |
певает |
симметричное автомодельное |
решение, |
как |
это |
было и |
в упрощенной |
системе с N = 2. На |
рис. 10.13 |
и |
10.14 |
показа- |
Но несимметричное решение с периодической функцией R, ко торое нельзя отнести ни к типу I, ни к типу И.
То обстоятельство, |
что |
асимптотику двумерной |
задачи |
(10.2 ) могут определять |
аналоги предельных |
циклов, |
явля |
ется очень важным. В |
самом |
деле, широко |
распространено |
представление о том, что основными формами упорядоченности
в активных нелинейных средах являются ведущие центры и
спиральные волны. |
В задаче |
(10.2) |
они являются частным |
случаем двумерного |
автомодельного |
решения, |
в котором еще |
раз разделились переменные. |
И действительно, |
в определен |
ном диапазоне параметров именно автомодельные решения определяют асимптотику процесса. Однако в большой области значений Су с2 и I они неустойчивы, здесь возникает более сложная упорядоченность. Ее описывают решения с периоди чески меняющимися функциями R и а. Естественно ожидать, что такие решения будут наблюдаться во многих открытых диссипативных системах вблизи точки бифуркации.
15 Т.С. Ахромеева и др.
Рис. 10.14. Изменение функции R{x,y,t) в решении, представленном на рнс. 10.13
При дальнейшем уменьшении параметра с2 решения одно
мерной и двумерной задач становятся непериодическими. В
одномерном случае |
как |
на линии |
= 1.5, так и на линии |
= 3 усложнение |
было |
связано с |
последовательностью би |
фуркаций удвоения периода. В двумерной задаче также наблю даются решения, в которых за время расчетов не удается обнаружить никакой упорядоченности. Примеры таких решений
обсуждаются в работах [19, 20]. Однако диффузионный хаос
в двумерных системах, сценарии его возникновения требуют
дальнейшего исследования.
§ 10.4. Спиральные волны в системах реакция - диффузия
Выше мы рассматривали простейшие типы упорядоченности
в окрестности точки бифуркации, которые описывались дву
мерным аналогом уравнения Курамото - Цузуки в небольших
областях. Однако представляет интерес и другой предельный
случай - задача в неограниченной области.
Для этой задачи с помощью численных и асимптотических методов были исследованы спиральные волны. Существенные результаты, касающиеся спиральных волн в системах реакция-
диффузия с автоколебательной кинетикой, были получены во
многих работах, но мы обратим внимание только на типичную
постановку задачи и на некоторые свойства |
решений, |
в |
основном следуя |
работам [285, 290, |
307, |
308, 313]. |
|
|
I. |
Начнем |
с |
простейшего |
случая |
= |
0. |
Перейдем |
в |
уравнении |
(10 .6 ) |
к |
полярным |
|
координатам |
х |
= rcosO, у |
= |
= rsinO, |
0 £ |
0 |
^ |
2тг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р, = |
р „ |
+ |
г |
е , + |
д |
Р ее |
+ Р<1 |
- р 2 - |
(К2, - |
^ |
»>е). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.33) |
р<р, = |
Р1Р„ + |
7 Р<РГ + ^ |
и>ее |
+ |
2Р Л |
- с2р3 + |
-| ре<ре. |
|
Будем искать решения в виде |
|
|
|
|
|
W = |
ре*?, р = p(r), |
<р = -с 2(1 - |
k2)t |
+ |
тв + |
5(г), |
(10.34) |
где k - |
действительная |
постоянная, |
т |
- |
целое |
положительное |
число. |
|
|
|
|
|
|
|
Рнс. 10.15. Пример многовитковой спиральной волны [290]
Решения с т = 1 соответствуют одновитковым спиральным
волнам |
(рис.3.9), |
с т > |
1 |
- |
многовитковым. |
Типичный вид |
многовитковой |
спиральной |
|
волны |
показан |
|
на рис. |
10.15 |
(здесь т = 2 , что соответствует двухвитковой спирали). |
|
Подставляя |
формулу |
(10.34) |
в |
уравнение |
(10.33), |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ргг + |
\ рг + Р(1 - |
|
-1 |
" |
Р2) |
= |
°. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.35) |
|
|
|
7 - V + 2 |
|
Sf |
= - с 2(1 - |
k2 |
- |
р2). |
|
Это уравнение второго порядка для. функции р и первого |
для Sr. |
Будем |
требовать, |
чтобы |
решение |
было |
конечно |
при г |
= 0 и ограничено при г —> +ю. Рассматривая наибольшие по
величине члены при г —* 0 и при г —» со, |
можно убедиться, |
что это требование приводит к следующим |
граничным усло |
виям: |
|
