рт двумерных сред [119, 391]. Развитие этого направления, вероятно, в значительной мере будет определяться возмож ностями вычислительного эксперимента.
3. При изучении линейных волн, и в частности, рас
пространения света, очень полезным оказывается принцип
Гюйгенса. Он позволяет находить положение фронта волны
через определенный промежуток времени, если известен фронт волны в начальный момент. Использование этого принципа
оказало глубокое влияние на развитие оптики и способство
вало созданию ряда математических методов теории волн.
Представляется заманчивым развить подход для исследо
вания сниральных волн в возбудимых средах. Такой подход,
получивший |
название кинематического метода, был предложен |
и активно |
используется в настоящее время [99, 101]. Прежде |
чем приступить к его обсуждению, напомним некоторые элементарные сведения из дифференциальной геометрии [79].
Рассмотрим кривую г = r(t), х = |
x(t), у = y(t) на |
евклидовой плоскости |
{х,у} |
с |
базисными |
ортами е1 и е2 |
(рис. 10.24) |
|
|
|
|
г(/) = |
x(t) е, |
+ |
у(0 е2. |
(10.62) |
Длина кривой определяется интегралом
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
^ |
ь |
л, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= j |
|
|
(10.63) |
|
|
' |
= |
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где dl |
- |
дифференциал |
длины |
дуги, |
dl |
= \v\dt, |
v |
= |
хе. |
+ |
• |
= |
Ит |
v |
можно |
назвать |
вектором |
скорости, £0 = А |
|
+ уе2 |
|
|
ускорением. |
Во |
многих |
случаях |
удобно |
считать, |
ЧТО |
кривая |
задана |
с |
помощью |
|
натурального |
параметра I: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
*(/), |
у |
= |
«/(/). |
|
|
|
|
(10.64) |
При |
таком |
задании |
кривой |
|о|=1. |
Кроме того, |
вектор |
v |
и ш = |
37 |
°Ртогональны- В самом деле, |
|
|
|
|
|
|
d(v,v) |
|
'dv |
v |
|
+ |
v, |
dv' |
= |
|
v, |
dv' |
d\v\i2 |
= |
0 |
(10.65) |
dt |
|
|
— , |
J |
— |
2 |
— |
dt |
|
[dt |
|
|
L |
dt J |
|
|
L |
dt |
|
|
|
|
(круглые скобки в этом выражении обозначают скалярное
произведение) |
fv, |
= |
0, а |
значит, |
векторы |
v и и ортого |
нальны. |
|
|
|
|
|
|
Будем называть кривизной кривой г(t) величину вектора |
ускорения k = |
|и(/)|, |
если |
I - |
натуральный параметр |
|
dv |
kn = ^ 4 , |
|
(10.66) |
|
_ |
= |
|
|
dt |
|
dl2 |
|
|
где n - единичный вектор |
|
|
|
|
£<) |
|
|
|
|
d2x |
d2y |
п = ТшТ |
|
rd2x'12 |
гЛ |
dl2 *1 + |
dl2 *2 |
|
|
|
|
d у |
|
|
|
|
dV |
dl2 |
|
|
Радиусом кривизны R называют число \/k. Кривизна прямой
равна |
нулю. Кривизна |
окружности |
радиуса R постоянна и |
равна |
1 //?. Можно также |
убедиться, |
что |
|
э т = -* v- |
(ю.67) |
|
|
В самом деле, |
п - единичный |
вектор, |
и |
выписывая |
соот |
ношения, |
аналогичные |
(10.65), |
можно |
|
проверить, |
что |
|л, |
|
g y j = |
0. |
Но |
из |
соотношений |
(10.65) |
и |
(10.66) |
следует, |
что |
вектор |
п ортогонален |
к v, |
и, |
следовательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Й |
|
= |
<xv. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10 .68) |
|
|
Поскольку |
|v | = |
1, |
|ос | = |
I g jl- |
Чтобы |
определить |
вели |
чину |
а, |
воспользуемся |
соотношением |
(v, |
|
п) |
= |
0: |
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
= |
dv |
n |
+ |
v, |
dn |
= |
k + a(v, |
v) |
= |
k + a, |
0 |
= —(v, n) |
— , |
— |
|
|
|
dl |
|
|
dl |
|
|
|
|
d l . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
следует, |
что |
а |
= |
|
-k |
и |
справедливо |
соо/гношение |
(10.67). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношения |
(10.66) |
и |
|
(10.67) |
получили |
|
название |
формул |
Френе [79]. |
Геометрический |
смысл |
этих |
формул |
состо |
ит |
в том, |
что |
ортонормированный |
базис (v, п}, связанный с |
кривой |
х = х(1), у = |
</(/), |
при |
переходе |
и? точки I в точку |
I + |
Д/ |
поворачивается на |
угол |
|
и |
k(Д/) |
= |
Д<р, |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d<p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10.69) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
теперь, |
следуя |
работе |
|
[101], |
приближенные |
уравнения, описывающие движение фронта волны в возбудимой
среде. |
Длину дуги изучаемой кривой будем |
отсчитывать |
от |
конца |
спиральной волны (точка Q на рис. 10.24), а ее форму |
представим в виде натурального уравнения k |
- k(l,t). Каса |
тельный вектор к кривой обозначим через т, |
нормальный |
че |
рез п, а перемещение точек фронта в направлении нормали
назовем действительным. |
Через |
X(/,f) обозначим радиус- |
вектор точки кривой (см. рис. 10.24). |
На траектории действительного |
перемещения |
dX |
= П 0 . |
(10.70) |
Ж |
|
|
Рассмотрим полную производную
dX(l,t) |
дХ(l,t) |
dX(l,t) |
dl |
dX(l,t) |
dl |
(10.71) |
----------dt |
= |
+ ------------------- |
dt |
= -------------- |
+ т — |
dt |
dl |
dt |
dt |
|
Подставляя |
выражение (10.71) в формулу (10.70), получим |
|
|
n0 |
8X(l,t) |
+ т |
dl |
|
(10.72) |
|
= ------------ |
— |
|
|
|
at |
|
dt |
|
|
После домножения этого уравнения скалярно на единичные векторы п и т получаются два уравнения
|
(зт- |
т ) |
+ |
з г |
= |
“ ■ |
|
<10-73> |
|
(зт- |
” ] |
- |
0 |
= |
°- |
|
<10-74) |
Уравнения |
(10.73), |
(10.74) |
показывают, что |
на |
траек |
тории действительного перемещения точки фронта |
ее коорди |
ната I будет |
изменяться |
со |
скоростью dl/dt. |
Из-за |
этого |
видимое перемещение точки фронта, кроме перемещения по нормали со скоростью 0, будет включать и смещение в на правлении касательной со скоростью v = -^ у . В некотором
смысле эти соотношения аналогичны формулам перехода от лагранжевых координат к эйлеровым в газовой динамике.
Чтобы найти соотношение, связывающее форму кривой,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задаваемую функцией k(l,t) и скоростью |
Q(l,t), будем пре |
образовывать соотношения (10.73) и (10.74). |
|
|
|
Продифференцируем по I уравнение (10.73): |
|
|
a |
rax |
_ i |
dv _ |
гэт |
_ i |
. |
rax |
Эт| |
dv _ |
n |
т |
[яг- |
Т) |
~ вт ~ |
[яг- |
TJ |
+ |
[ат* |
a r j - |
з т - |
0 |
Поскольку т - единичный вектор, то из соотношений, анало гичных (10.65), следует, что [5 7 *Т1 = 0-
Учитывая формулы Френе и формулу (10.74), получим
[эТ’ *"] “ 37 = кв ~ 37 = 0 |
(10.75) |
Отсюда |
следует, |
что |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
о(1,t) |
= oQ(t) + J kQ dl‘ . |
(10.76) |
|
|
|
0 |
|
Это соотношение описывает скорость изменения коорди |
наты I |
фронта, |
т. е. |
ее тангенциальную скорость. |
Изменение |
может быть вызвано смещением начальной точки отсчета длины дуги со скоростью oQ(t) и изменением длины дуги фронта.
Продифференцируем теперь по / уравнение (10.74):
а |
|
|
|
|
|
|
- |
ав |
_ |
|
Ш |
|
|
|
|
|
|
37 - |
|
Используя |
выражение (10.73), |
получим |
соотношение |
|
|
|
- к о |
37да |
= |
0. |
|
|
Здесь |
угловая |
скорость поворота |
касательной |
|
|
|
|
|
и |
да |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 37* |
|
|
|
где a(l,t) - |
угол наклона |
касательной. Следовательно, |
|
ST |
+ kv = |
I f ' |
|
|
|
|
(10.77) |
Дифференцир>уя последнее |
выражение |
по |
/, и учитывая |
|
, |
дОС |
получим |
|
|
|
определение кривизны к = ду, |
|
|
|
|
д2в |
дк |
„ |
|
к |
до |
= |
дк |
|
|
|
д12 |
37 |
и |
|
37 |
37’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставив выражения для скорости о |
(10.76), |
полуцим основ |
ное уравнение кинематики спиральной волны на плоскости |
ВТ = ЭТ «“о*') + |
I |
« |
■"') |
+ |
А |
+ |
Л . |
(10.78) |
|
|
0 |
|
|
|
|
91 |
|
|
|
Обсудим теперь дополнительные условия для уравнения (10.78). При исследовании спиральной волны в неограничен ной однородной среде естественно требовать, чтобы
lim k(l,t) = 0. |
(10.79) |
/-»00 |
|
Вблизи центральной области линия фронта обрывается в
некоторой внутренней точке среды. В этой точке создаются
особые, |
критические |
условия распространения |
фронта. Кри |
визна |
в ней близка |
к значению k : при k |
= k |
точка О |
(рис. 10.24) не смещается в тангенциальном направлении.
Поэтому |
естественно считать, |
что |
|
|
|
* = * ( * к р . - |
V - |
*0 = |
* ( ° ) ' |
( Ю . 80) |
где к - |
положительная |
постоянная, |
зависящая |
от свойств |
среды. Чтобы определить ее положение в пространстве, нужно
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задать |
закон движения |
точки |
Q. |
Проектируя векторы 0^ и v |
на координатные |
оси |
х |
и у |
(рис. |
10.24) |
и учитывая формулу |
(10.69) |
для кривизны, |
можно |
показать, |
что |
|
|
|
|
= |
0Q cos ф + |
v sin ф, |
|
|
|
|
I/Q = |
0Q sin ф - |
v cos ф, |
(10.81) |
|
|
ф = |
30(0, t)/dl |
+ vk. |
|
|
|
Для того чтобы воспользоваться соотношениями (10 |
.78)- |
(10.81), |
нужно |
задать |
функцию |
0 |
= |
6(k(l,t)), исходя |
из |
свойств среды и особенностей решения. Например, в случае
стационарной |
циркуляции |
и |
близких |
режимов |
0 |
= 0(£,Г), |
где |
Т - |
промежуток времени после предыдущего прохождения вол |
ны. |
Если |
полагать, что рефрактерность среды пренебрежимо |
мала, |
то |
можно |
представить |
зависимость |
0 |
= |
Q(k(l,t)) в |
ви- |
де 0 |
=■ 0 |
+ |
D^k, |
где 0 - |
постоянная, |
D1 - |
коэффициент |
диф |
фузии первой компоненты (см. (10.56)). В обоих случаях применение кинематического метода оказывается эффективным
[101].
Поскольку кинематический подход опирается на общие
геометрические представления и использует простейшие
характеристики нелинейной среды, он обладает большой
универсальностью. Кроме того, он позволяет моделировать
ряд процессов в возбудимых средах с небольшими затратами машинного времени, что при анализе спиральных волн оказы вается существенным.
Применение кинематического метода позволило предска
зать два интересных эффекта [74]. Пусть параметры среды
периодически |
меняются |
со временем |
с частотой |
близкой |
к частоте и, с которой вращается спиральная |
волна. |
В этом |
случае критическая кривизна будет меняться |
по |
закону |
|
k |
(t) = Ъ |
+ k. cos(u>.t + <p), |
k. |
« |
E ‘ |
|
Оказалось, что в такой среде центр циркуляции будет смещаться по окружности. Это явление получило название
резонанса спиральных волн.
Если критическая кривизна возбудимой среды меняется вдоль оси х ,по закону
k (х) = ~k + |
Вх, • Вх « k |
, |
|
то центр циркуляции будет смещаться вдоль оси |
х. Этот |
эффект, названный дрейфом |
спиральной волны, |
был |
обнаружен |
не только в вычислительном эксперименте (связанном с реше нием уравнений вида (10.56)), но и в натурном эксперименте по изучению колебательных химических реакций в нелинейных средах, свойства которых меняются в зависимости от осве щенности.
Г Л А В А И
НОВЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ТЕОРИИ
ДИССИПАТИВНЫХ СТРУКТУР
При исследовании нелинейных диссипативных процессов большую помощь может оказать построение упрощенных моделей явления, включающих минимально возможное число степеней
свободы, и их подробное исследование. Важное место в сов
ременных представлениях о процессах в нелинейных системах
занимают результаты, полученные при исследовании одномер
ных и двумерных отбражений, систем нескольких дифферен
циальных уравнений. Они оказались очень |
полезны |
при |
анали |
зе упорядоченности в нелинейных средах. |
|
|
|
Встает вопрос, существуют ли сейчас другие простейшие |
модели, которые могут сыграть важную |
роль |
при |
анализе |
сложной упорядоченности и хаотических режимов в нелинейных средах. Обратим внимание на некоторые из них.
§ 11.1. Сложные упорядоченные и стохастические
режимы в дискретных системах
Дискретные системы широко используются для моделиро
вания |
процессов |
в непрерывных средах. При решении уравне |
ния |
в |
частных |
производных часто применяют разностные схе |
мы, |
в |
которых |
производные заменяют конечными разностями |
(при этом дискретны как временная, так и пространственная координаты). Но могут ли сами дискретные системы описать
р*акие типы упорядоченности, с которыми мы пока не встреча лись? Можно ли их непосредственно использовать как модели
каких-либо явлений? Для ответа на эти вопросы естественно рассматривать простейший случай, когда дискретны не только
пространственная и временная координаты, но и сама функция
принимает только дискретные значения. Представление о том,
насколько богат и необычен мир таких систем, дает игра
«Жизнь», предложенная в 1970 г. математиком из Кембриджс
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кого университета Джоном Конвеем [220]. Название |
связано с |
тем, |
что |
она |
имитирует |
рост, |
распад |
и |
различные |
изменения |
в популяции живых организмов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассматривается |
бесконечная |
плоская |
решетка |
|
квадрат |
ных |
ячеек-клеток. |
Время в |
этой |
игре |
дискретно |
(t |
= 1, |
2, |
...). |
Клетка |
может |
быть |
живой |
или |
мертвой. |
Изменение |
ее |
состояния |
в |
момент t + 1 определяется |
состоянием |
ее сосе |
дей в момент времени t (соседей у |
каждой |
клетки |
восемь, |
четверо имеют с ней общие |
ребра, |
а |
четверо |
только |
верши |
ны). |
Правила |
таковы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если клетка мертва в момент времени t, она оживает в |
момент |
t |
+ 1 |
тогда |
и только |
тогда, |
когда трое из |
ее восьми |
соседей |
были живыми в момент t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если клетка жива в момент времени t, она погибает в |
момент |
t |
+ |
1 тогда и только тогда, |
когда |
меньше |
чем |
две |
или больше чем три соседние клетки были живы в момент t. |
|
|
Эти |
правила очень |
просты. |
Имея |
лист |
бумаги |
в клетку, |
можно проследить эволюцию простейших конфигураций. Компью тер позволяет следить за поведением больших сообществ иа больших временах.
Как мы убедимся далее, есть глубокая аналогия между
'процессами в нелинейных диссипативных средах и этой диск ретной системой. Поэтому естественно поставить следующие
вопросы. Какие основные типы структур (т. е. конфигураций, определяющих поведение сообществ на больших временах) мо гут существовать в такой системе? Какие здесь законы орга низации структур? Могут ли они взаимодействовать и к чему это приводит?
16 Т.С. Ахромеева и др. |
ЛЯ1 |
4« |
• |
• |
• |
• |
• |
•• |
• • |
• |
• |
• |
• |
.. |
• |
|
• • |
|
• |
• |
•• |
|
|
• ft |
|
*• ft |
|
• |
•ft• |
|
|
|
|
•Р |
|
Рис. 11.1. Примеры стационарных структур в игре «Жизнь»
Простейшими являются стационарные, то есть не завися щие от времени, структуры. Их примеры показаны на рис.
11.1 (в центре живой клетки мы ставим кружок. По краям об
ластей |
нанесены |
деления с интервалом в две клетки.). |
С |
помощью |
этих стационарных структур можно получить |
множество других. В самом деле, если мы имеем такую струк
туру, |
то конфигурация, полученная поворотом на 90°, |
также |
будет |
стационарной. Че. ыре конфигурации справа в |
нижнем |
ряду на рисунке показывают, как можно достраивать опреде ленные структуры до любых размеров. Важно подчеркнуть, что эти структуры локализованы. Будучи разделены двумя белыми клетками, они не влияют друг на друга. Можно считать, что стационарные структуры повторяют себя на каждом шаге по времени. Но есть и другие конфигурации, повторяющие себя
через N шагов. Для краткости |
будем |
|
называть их Af-циклами. |
I |
I |
I |
I |
I |
I |
I I |
I |
I |
| Ч |
. • |
•• |
|
|
|
••• |
|
• |
•• |
•• |
• |
|
|
|
••• |
|
•• |
• |
|
• |
|
|
|
••• |
|
|
• |
|
|
• |
|
|
|
|
|
• |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
• |
|
|
|
♦ |
♦♦ |
|
|
• |
♦ |
♦♦•• |
|
|
♦♦ |
|
♦ ft• |
♦ |
|
|
|
|
|
♦ |
|
♦ |
|
■ |
■— » |
I |
* |
I |
I I |
I |
I |
I |
I , |
Рис. |
11.2. |
|
Примеры |
циклов |
Примеры циклов - 2 показаны на рис. 11.2. Поскольку циклы - 2 также локализированы, то все они представлены в
