Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5538 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Таким образом, в системе (3.27) возможны периодичес

кие и двухчастотные режимы, а также диффузионный хаос. Изменение аттракторов при других значениях параметров обсуждается в работе [Д4].

Как и в случае системы			уравнений (3.26),			параметр	0
здесь тоже играет важную роль			- его	изменение		приводит	к
качественному	изменению аттрактора			системы	(3.27). Здесь
вновь одной	исходной	системе	типа	реакция	-	диффузия
соответствует	целое	семейство	модельных		уравнений' '		с
различными значениями		0.

371

§9 .2 . Хаотические режимы в нелинейных средах

иуравнение Курамото - Сивашинского


Применение			многомасштабных			разложений	позволяет
перейти	от	уравнения		Курамото	-	Цузуки к	уравнению
Курамото	-	Сивашинского, если			предположить,		что модуль
функции UP практически не меняется, и рассматривать только
градиент	фазы	функции		UP. Такое поведение может			наблюдаться

в пространстве параметров вблизи линии потери устойчивости

пространственно однородного решения [312].

Аналогичное уравнение возникает, если рассматривать

диффузионную неустойчивость ламинарного фронта пламени в направлении распространения [371]. Это уравнение было получено и при анализе течения слоя жидкости на наклонной

поверхности [319], а также в других гидродинамических

задачах. Обширная библиография работ, посвященных его

решениям, содержится в обзорах [296, 297]. Обратим внима

ние на несколько важных моментов, связанных с хаотическими

режимами

в таких

системах.

Уравнение

Курамото

Сивашинского обычно записывают в

одном из

двух

видов:

и4

О,

хххх

хх

А (ы )

х'

(9.4)

и(х,

0) =

uQ(x),

и(х

и(х,

t), 0 < * <

или

4и

хххх

[ы

хх

п- ( и) 2]

= 0,

х'

(9.5)

х — 2л,

и(х

2п,t)

u(x,t),

и(х,0) = uQ(x).

первом

случае

бифуркационным

параметром

является

L = L/(2ny/v), во втором а = 4L . Среднее значение функции

u(x,t)

2П

m(t) = 2п I “ <*•*) dx

\| уравнении (9.5) определяется формулой
	2Л
"W	= ~Ш I <“ /	dx-
	О
Решая уравнение (9.5) численно, можно перейти к функ-.
дням без дрейфа среднего значения v(x,t) =			u(x,t) -	m(t):
Vt + At,xxxx + “	t Vxx + \	+	= ° -	( 9 -6 )

При этом функция v будет изменяться в некотором фиксиро

ванном интервале.

Обсуждая уравнения Курамото - Цузуки, мы обращали

внимание на глубокую аналогию между решениями этого урав нения в частных производных и поведением некоторой динами ческой системы. В частности, особым точкам упрощенных ко

нечномерных моделей, у					которых		часть	координат обращалась
в нуль,	соответствовали				симметричные			решения	исходной за
дачи.
Аналогичные решения были найдены и для уравнения
Курамото -		Сивашинского
и.(х) =	ar	cos	jx +	ca^j	cos 2jx	+	е2а3. cos 3jx		+ ... .
‘	‘						'		(9.7)
В	работе		[297]	они	были	названы		q-модальными клеточ

ными состояниями. Существуют интервалы параметров, где

именно они являются аттракторами системы. Обычно е ~ 0,1,

ау ~ 0(1).

Результаты Л.П.Шильникова. для системы обыкновенных

дифференциальных уравнений показывают [6, 202, 289], что в окрестности гомоклинических траекторий при определенных

условиях диссипативные системы могут вести себя			хаотичес
ким образом.		При этом хаотические режимы обладают следую
щей	особенностью: в течение длительного времени		траектория
имеет	простой	регулярный вид (что соответствует	длительно

му движению вблизи седла), затем происходит «турбулентный всплеск» (движение вдали от седла) и далее вновь начинает-

373

ся движение к седлу. Такое же поведение характерно и для

многих хаотических решений уравнения Курамото - Сивашинского. Его можно проследить, если наблюдать за изменением

во времени квадратов амплитуд различных гармоник. Для них характерны редкие «всплески» малой ширины и большой ампли

туды. Анализ таких режимов предъявляет жесткие требования

к методике расчетов. В работах [296, 297] использовались псевдоспектральные методы, обеспечивающие хорошую аппрок

симацию пространственных производных, и специальные методы

решения обыкновенных дифференциальных уравнений с перемен ным временным шагом, позволяющие уменьшить ошибки интегри-

рования до 10 + 10 за единицу времени. Использование

более грубых методов может привести к появлению ложных ре шений.

Типы аттракторов, обнаруженные для уравнения Курамо-

то-Сивашинского в различных областях параметров и подробно описанные в работах [296, 297], показаны в табл. 9.1.

Для системы типично наличие нескольких аттракторов, среди которых есть бегущие волны и инвариантные торы. Интересным оказалось поведение бегущих волн. Обычно они

имеют	несколько «горбов».		При	изменении		параметров,		как
показали расчеты,		амплитуда	одного		из «горбов»		может	на
чать	периодически	меняться,	в	то	время	как	амплитуда

остальных остается практически постоянной. Для системы ха рактерны длительные переходные процессы, предшествующие

выходу на аттрактор.

Уравнение Курамото - Сивашинского представляет боль

шой интерес еще и потому, что с его помощью удается иссле

довать поведение системы в больших областях (а > 400), где необходим переход к статистическому описанию системы. При больших значениях L спектр мощности S(k) определяется фор мулой

< u(k,t) u(k',t) > = Sik') 6(k-k'),

где скобки < > означают усреднение, a u(k, t) - Фурье - образ решения.

Т а б л и ц а

9.1

Аттракторы уравнений Курамото - Сивашинского [296]

О б л а с т ь п а р а м е р о в

Т и п а т т р а к т о р а

0	—	(X	—	4
0	—	L	—	1
4	<	(X	£	1 7 , 3	0
	£	<v
0	£	L	£	2 , 0 8

1 7 , 3 0 £ а £ 2 2 , 5 0

2 , 0 8	£ L £ 2 , 3 7
22,50	£	а		£	43
		«V
2 , 3 7	£	Z. £ 3 , 2 8
43 £	а	<	54
		/"V
3 , 2 8	£ L £ 3 , 6 7
54 £	а	£		68
		/■V
3 , 6 3	£ L £ 4 , 1 2
68 £	а	£		94
		/■V
4 , 1 2	£	L £ 4 , 8 5
94 £	а	£		117,3
		-V	•
4 . 8 5	£ L £ 5 , 4 1 5
1 1 7 , 3	£	а		£	?
5 , 4 1 5	£	L		£	?

0 -	г л о б а л ь н ы й			а т т р а к т о р
г л о б а л ь н ы й		а т т р а к т о р ,					с о о т в е т с т -
в у ю щ и й о с о б о й			т о ч к е				„
	a j C o s x + £ a 2 C O s 2 x + e a g C o s 3 x + . . .
п е р и о д и ч е с к о е			р е ш е н и е
Ч е т н о е р е ш е н и е ,				с о о т в е т с т в у ю щ е е
о с о б о й т о ч к е							„
	а Л с о s 2 х + € а л c o s 4					дс+С	a fi с о s 6 * + . . .
	2		4				6
к о л е б а т е л ь н ы е			и /		и л и х а о т и ч е с к и е
р е ш е	н и я
с и м м е т р и ч н о е			р е ш е н и е ,				с о о т в е т с т -
в у ю щ е е о с о б о й				т о ч к е			„
	а « с о s 3 х + € а с с о s 6 * + c а Л с о s 9 х + . . .
	3			о			9
п е р и о д и ч е с к и е				и /	и л и х а о т и ч е с к и е
р е ш е н и я
с и м м е т р и ч н ы е			р е ш е н и я , с о о т в е т с т —
в у ю щ и е о с о б о й				т о ч к в д
а . c o s 4 x + £ a 0 c o s 8 x + £						a , „ c o s 1 2 x + . . . +
4		о				1 2
х а о т и ч е с к и е		р е ш е н и я

	Расчеты позволили обнаружить интересную особенность
этого	спектра:	существование	области	больших	масштабов
(к <	0,4), где S(k) практически не меняется с				ростом к.
Это	сближает поведение решений уравнения (9.4)				с поведе
нием	систем,	находящихся в	термодинамическом		равновесии,

где энергия равномерно распределена по степеням свободы.

375

Такое поведение позволяет надеяться на построение упрощенных моделей, определяющих статистические свойства решений уравнения Курамото - Сивашинского в больших облас тях. Одна из таких моделей обсуждается в работе [297].

9 .3 .

Хаос в системах с переносом

Обратим внимание на одно обобщение уравнений

Курамо

то

Цузуки.

работах

[248

250]

была

предложена фено

менологическая

модель

так

называемых

«открытых

течений»

(их

примером

могут

служить

течения

трубах,

каналах

т.

д.). Она

представляет собой уравнение

Ф( =

аф -

ифх + Ьфхх - с\ф\2

ф,

со,

0(0,0 = е ( 0 ,

Ф(х,0)

ф0(х).

(9.8)

где

e(t)

малый

случайный

шум,

о1

ta2>

Ъ =

iby

с1

/с2

комплексные,

действительный

коэффициент,

которые

предполагаются

кусочно-постоянными,

но могут

быть различными в различных областях.

При с = 0 ,

е ( 0

= 0 в задаче Коши

-со <

со

решение

определяется

явной формулой

0(-М) =

------

a t

exp[-(x

vt -

х')/Ш \

г>2

Лх'фЛх') х

(2я&0

Из этой формулы следует, что существуют три типа

поведения

решений линейной задачи при

—» со.

При

а<

решение

абсолютно

устойчиво:

|0(х,/)|

—»

—» 0

равномерно

по

х. п

2.Когда а1 - v b^/(4\b\ ) > 0, решение абсолютно не

устойчиво: 0(х,<) —» со в каждой точке х. 9 9

3. Если а1 - v b^/{A\b\ ) < 0, решение пространствен

но или конвективно неустойчиво.

376

При этом

lim \|0(х,О\| —» О,	lim \ф(Х + vt,t) \| —* со
<-♦00	t-*oo

для некоторого значения v и фиксированных произвольных значениях х и X.

з -

~ 3

______ ■

I______ I______ 1______ I______ I______ ■

I______I

L. —

I---------1— » -

5 0

100

1 5 0

2 0 0

2 5 0

3 0 0

Рис.

9.14.

Типичная

зависимость

а) действительной

б)

мнимой

части

функции

0(*,<)

иа

одни

из

моментов

времени

= 200,

а =

v = 5,2,

Ь =

1,8

—

/, с = 0,05 +

амплитуда

шума

£(<)

не

превышает

^[248])

Если в	задаче (9.8) вблизи	точки х = 0 есть область,
где решение	пространственно	неустойчиво, то	малый шум
играет принципиальную роль. В		его отсутствие	ДОх.О —♦ 0 в
			<-♦ со

каждой точке. При наличии шума возникают волны, бегущие вправо, амплитуда которых растет со временем. Нелинейность


становится существенной,	и	возникает хаотический		режим
(см. рис. 9.14). Численные		расчеты показывают,	что,		не
смотря на сложный вид и непериодичность решения,			все		ляпу-
новские показатели могут	быть	неположительными [249,		250].

377

Описание таких режимов потребовало введения новых количественных характеристик хаоса, и в частности ляпунов-

ских показателей, зависящих от скорости Л(у',	ху х2):
^(у, ,х1,х2, 0
£ (y ',x j,* 2,0)	’
	(9.9)
	1/2

где	бifi(x,t)	-	решение уравнения,		которое,	описывает эволю
цию	малого		возмущения	дф(х,0),	заданного		в области (х^,
х2) (аналога		уравнения в вариациях).
	Расчеты,		проведенные	в работах [248		-	250], показыва

ют, что возможны пространственно временные хаотические ре жимы различных типов в нелинейных диссипативных средах с

переносом (у *	0). Представляло	бы интерес	эксперименталь
ное исследование	такого поведения	в открытых	системах.

§9.4. Маломодовый хаос в двух гидродинамических задачах

Выше мы обсуждали диффузионный хаос, который описыва ется уравнением Курамото - Цузуки. По-видимому, такие ре

жимы будут характерны для многих систем типа реакциядиффузия и некоторых задач гидродинамики. Важную роль играют стохастические режимы и в других диссипативных сре дах. При их исследовании очень полезными оказываются представления, развитые при изучении динамических систем небольшой размерности. Многие из них связаны с анализом

гидродинамических задач. Рассмотрим	две такие	системы.
В настоящее время детально исследована		модель Лорен
ца, поэтому полезно выяснить, как	соотносятся упорядочен

ные и хаотические режимы, описываемые этими уравнениями, и установившиеся режимы в подогреваемом снизу слое жидкости.

378

Ведь именно для этой задачи в качестве упрощенной модели

была предложена система Лоренца. Такой вопрос детально

рассматривался

работах

[ 2 7 ,

244,

245].

Подогреваемый снизу слой жидкости может быть описан с

помощью

уравнений

гидродинамики

в приближении

Буссинеска

э т

w -

7(р

v2) + а Т z

+ v

ят

v -7

Т =

V*v

О,

(9.1°)

k чТ,

где v

(и,

поле

скоростей

в точке

= (х, у,

г),

w =

Vxv -

завихренность,

отклонение

температуры

от

термодинамической

ветви

(которая

определяется

формулой

Т =

= TQ -

Э0г),

V -

кинематическая

вязкость,

к -

коэффициент

теплопроводности,

коэффициент

теплового

расширения.

Течение рассматривается

в области

Оi ri ЛЯ,

цЯ,

0 < г < Я.

Предполагается,

что

течение

периодично • по

координатам

х н у

v(x

+ m\H,

+ n\iH,z,t)

= v(x,y,z,t)

(9 .11)

для

всех

целых

т и п .

Граничные условия

по

определяются

формулами

I f

0 .

(9 .12)

при

z = 0 и z = Я.

Линейный

анализ

показывает,

что

решение,

котором

v = 0 и Т = 0, становится неустойчивым при значении числа Рэлея

	Rac “ Г~	*	657	(9 13)
(в	этих обозначениях Ra = а\|Э\|H4/(vk)),			которое реализует-
ся	при Л2 + ц2 = 2л, независимо		от числа	Прандтля <r = v/k
при	Э > 0.

379

Модель Лоренца представляет	собой	галеркинскую		систе
му для двумерного случая 0 £ х £	п/у/2,	0	£ г £ л, в	кото-
рой
ф = X(/)sin----- sin г,
v ?				(9.14)
Т = Y(t)cos-^~ sina	+ Z(t)sin		2г.	(9.14)
Т = Y(t)cos-^~ sina	+ Z(t)sin		2г.
v ?

Для того чтобы модель могла быть использована при исследовании неустойчивости в исходной нелинейной среде, естественно требовать, чтобы при увеличении числа гармоник не менялась качественная зависимость решений от параметров задачи.

Вработе Дж. Карри [244] рассматривалась галеркинская

система для уравнений Буссинеска в двумерном случае, в

которой учитываются 14 гармоник. Анализировался сценарий возникновения хаоса при изменении параметра г = Ra/Ra^ при фиксированном значении сг = 10,0.

Так же как в системе Лореица, при г < 1 устойчиво ну левое решение. При г > 1 происходит бифуркация и возникает

стационарное	решение, которое остается устойчивым до г =
43,50. При	этом значении параметра происходит .бифуркация

Хопфа. Возникающий предельный цикл остается устойчивым вплоть до г - 44,40. Здесь происходит одна бифуркация уд воения периода, а при г = 44,85 вблизи двойного цикла по является тор-2, описывающий двухчастотный режим. При даль нейшем изменении г удается найти области, в которых проис

ходит захват частоты; наблюдаются также квазипериодические

режимы с	двумя несоизмеримыми частотами. При г -					45,18
имеет место	хаотический		режим.
Переход к хаосу		в	этой модели	согласуется	со сценари
ем Рюэля -	Такенса,	следовательно,		увеличение	числа	гармо

ник в галеркинской модели принципиально меняет наблюдаемую картину.

Работа [245], в которой предпринято подробное иссле дование системы (9.10) - (9.12) и соответствующих упрощен-

380

<<< < Предыдущая 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 3738 / 5538 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги