Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

14.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5531 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

0,1552 0,1555 0,1554 х

Рис. 7.16. Сечение аттрактора в разных масштабах

303

На рис. 7.17, а изображена зависимость jen+1 от хп. В

масштабе рисунка точки ложатся на непрерывную однозначную кривую F. Отметим, что |dF/dx | > 1 везде, кроме одного

участка на левом конце отрезка.

Одномерное отображение *n+1 = F(x ) можно рассматри вать как некоторую упрощенную модель для задачи (3.15).

При ее анализе можно использовать многие результаты теории

отображений отрезка в себя.

уп.

Посмотрим теперь, как связаны у

Результаты

соответствующего расчета приведены на рис. 7.17,6.

Полу

ченная

картина

является

более сложной,

чем

для

координаты

х. Поскольку

одному

значению

соответствует

одна,

две,

три

или

четыре

точки,

лежащие

на

аттракторе

(см.

рис.

7.16),

то

зависимость

t/n+1

от

уп

также

будет

неоднознач

ной. Одному уп могут соответствовать от одного

до четырех

уп+х

(Разумеется,

все

сказанное

справедливо

на

тех

масш

табах,

где

не проявляется тонкая структура аттрактора.)

Сопоставим

рис.

7.16, а

7.17,6.

Образы точек,

лежа

щих на ветви АВС на первом рисунке, определяются с помощью

кривой	А'В'С, показанной на втором. Ветвь				С' R'		позволяет
найти,	куда	переходят точки		с участка CR,	точно		так	же
ветвь	R 'D 'Е'		соответствует	линии RDE. Точка		В	на	рис.
7.16, а	лежит	на	пересечении	дуги АС аттрактора		с	отрезком
PQ (см.	рис.	7.14,6).

Таким образом, результат действия двумерного отобра жения (7.11) для точек аттрактора можно достаточно точно

предсказать с помощью нескольких одномерных отображений.

Рис. 7.13 показывает, что проекции различных витков траектории на плоскость {£, т)} качественно не отличаются

друг от друга. Однако, проследив за их изменением в прост

ранстве {£, 7), 0},					можно выделить		витки	двух	различных		ти
пов.		В	одних при		возвращении	на плоскость 0			= 2юг,	п =	О,
1 ,	2,		....	фаза изменяется на		2тг, в других она не				меняет
ся.		В	одномерном		отображении	(см.	рис.	7.17)	виткам	перво
го	типа			соответствует левая		часть	кривой,		виткам	второго
типа		-	ее	правая	часть.

304

305

Рис. 7.18, а),б). Качественная картина поведения траекторий в	окрестнос
ти особых точек; в) проекции двух траекторий, начинающихся	вблизи осо -
беиности отображения Пуанкаре

Правые части системы (3.15) представляют собой диф

ференцируемые функции, гладко зависящие от параметра. Если Шремя возвращения на плоскость Пуанкаре для всех витков ХВнечно, то оно будет непрерывно зависеть от координат на

чальной точки. Тогда функции f и g в	отображении (7.11)
будут непрерывны, а приращение Д0 не	будет претерпевать
Окачка. В нашем случае это не так.' Можно	предположить, что

Причиной является влияние одной из особых* точек динамичес

кой	системы (3.15),	в окрестности которой время витка
может неограниченно		возрастать.
	Исследование поведения траекторий в		окрестности осо
бых	точек позволяет	также выяснить, какого	типа особеннос-

fH будут иметь возникающие двумерные и одномерные отобра

жения.	Важное	свойство		системы (3.15) состоит в том, что
плоскость 7) =		0 является инвариантным многообразием: если
"4(0) = 0, то и		%t)	= 0.		В	этой плоскости есть две особые
точки	А и В с	£ 2 +	т)2	*	0.	Рассматривая линеаризованную в

их окрестности динамическую систему, можно найти собствен ные значения и собственные векторы возникающей матрицы. Из

такого анализа следует,	что точки А	и В	- седла, имеющие
по одному неустойчивому	направлению.	При	этом линия £ = 1,

т) = 0, 0 = 0(7), соединяющая точки А и В, является интег ральной кривой системы уравнений (3.15) при всех значениях параметров. На рис. 7.18,а,б показано примерное расположе ние особых точек А и В, а также собственных векторов соот ветствующей им матрицы. Собственные векторы пронумерованы

таким	образом,		что At < Л2	< А3,	A't <	А'	<	А'.	Поверх
ность	М -	это	двумерное устойчивое многообразие						точки	А.
Неустойчивым многообразием является прямая £ = 1, т) =										0.
Устойчивым многообразием точки В является						плоскость Г) =				0.
Ее неустойчивое			многообразие	пересекается		с	плоскостью 0			=
= 2тг в точке		R.
	Исходя	из	рис. 7.18, а,	можно	представить			интегральную

кривую, начинающуюся около поверхности М (выше нее), сле дующим образом. Вначале точка на траектории вблизи М дви жется к точке А и далее по отрезку £ = 1, 7) = 0 к седлу В.

307

Затем

она

проходит

по дуге

BR и

пересекает

плоскость

= 2тг в точке Q,

лежащей

окрестности

точки

(кривая

см.

рис.

7.18, а).

Заметим,

что

траектория

не

может

выйти

из

точки

В вниз,

область

Г) < 0, так как для этого

ей

пришлось

бы пересечь

плоскость

т)

= 0,

целиком

состоящую

из интегральных

кривых.

Пусть теперь траектория начинается ниже поверхности М

(кривая

//,

см.

рис.

7.18, а).

В этом случае точка движется

вдоль М, но вблизи точки

А поворачивает

влево.

Она

подхо

дит

седлу

В'

и затем попадает на плоскость 0 = 0 по

кри

вой

В' R '.

В первом

случае

фаза изменилась на 2п, во

вто

ром

не

изменилась.

Приращение фазы

на следующем

витке

зависит

от

взаимного

расположения

многообразия

точек

Q'.

В' R'

получается из BR сдвигом по 0 на 2тг, поэто

Дуга

му точки R и /?'

имеют одинаковые координаты £ и т). Точки

и Q ',

лежащие

в их окрестности, оказываются также близки

по

т).

Этим

фактом и

обусловлена непрерывность

функций

f и g

отображении (7.11).

Поверхность М пересекается с плоскостью 0 = 0 по не

которой линии TS . Образом

всей этой линии

является

точка

R (или

/?').

Формально отображение

Пуанкаре

не

определено

на

TS,

поскольку

траектории

проходят через две

особые

точ

ки,

что

требует

бесконечного времени. Однако его можно до

определить по непрерывности. Отрезок PQ на рис. 7.14 явля

ется частью

дуги

TS.

Все

сказанное

полностью

подтверждают

расчеты.

Соот

ветствующий пример представлен на рис. 7.18,в. На нем по казаны две траектории, начинающиеся вблизи особенности


отображения		Пуанкаре.		Несмотря	на	совершенно различный
путь	траекторий		к плоскости 0 =		2пп,	точки их	пересечения
с плоскостью		оказываются близки.
	Из описанной качественной картины ясно,						что»	по	мере
приближения		начальной		точки на плоскости 0 =			2пп	к	линии
TS	время витка		будет	неограниченно		возрастать.	Исследова
ние	траекторий,		близких	к особым	точкам, дает		возможность

308

Определить	зависимость	Т(с),	где Т -	время возвращения		на
плоскость Пуанкаре, е		- расстояние		от начальной	точки	до
поверхности	М (устойчивого		многообразия седла		А). Такой

диализ позволяет также вычислить показатель а, характери зующий особенность возникающих двумерных и одномерных ото бражений.

Для получения этих результатов нужно рассмотреть по ведение траекторий в малой окрестности точек А и В (внутри Сфер 5^ и Sg малого радиуса г, см. рис. 7.18,6). Задача упрощается тем, что при малых г (хотя и намного превыша


ющих	е)	вместо	исходной		задачи	можно	рассматривать ли
неаризованную систему.				В	работах	[20,	26], где проведено
такое	исследование,		показано,		что
		Цс) =		(1	+

Таким образом, функция 7(e) имеет логарифмическую

особенность, что подтверждают и проведенные расчеты. Функ

ции J и g в окрестности линии

PQ (см.

рис.

7.14) могут

быть

представлены в

виде

*п+1

Хп’ Уп)

^0 + ^ * п ,у Д * п

’

Уп+\ =

8(ХП'УП)

80 + В(ХП'У Л ХП

* 0( ! /„ ) ] “

(7 - 1 2 )

где

m i n

{ ^ Л

| /Л 3Л ' , \\\/

|Л,Л' |/

Л3Л ' } .

При

ct =

с2

k = 1, а = 1/2.

расчете

значение

показателя

вблизи

особенности для

функции f(x,y)

при у =

0 получилось примерно равным 0,51, что говорит о хорошем

соответствии				численных результатов и аналитических оценок.
Из	формулы			(7.12)	следует важный качественный		вывод.		При
с„	>	с0,	где		( с 2+ I ) * 4 + 6 k2+ 8		возникаю-
				с 0 = ------------------- „------------ , вершина
2		2		2	2 cxk2
щего		одномерного			отображения должна быть	гладкой,		а	>	1 ,
при		с2 <	72	- острой. Изменение характера		вершины,		как		мы

309

видели, обсуждая одномерные отображения, может приводить к совершенно различным сценариям перехода к хаосу. Это также

согласуется с		результатами расчетов.
Как	мы	уже	упоминали, проекция траектории	на плос
кость {£,	т)}	не	дает полного представления о	геометрии

аттрактора в трехмерном пространстве. На рис. 7.19 изобра жена часть интегральной кривой системы уравнений (3.15) в координатах х = £ cos0, у = £ sin0, г = Т). Она ложится на

некоторую поверхность, так как в масштабе рисунка тонкая

структура аттрактора не видна. Поверхность состоит				из	двух
частей,	которые	«склеиваются» в	верхней1 области.	Из		этой
области	точка	начинает двигаться	в направлении	седла		А,

затем	вправо или влево, в зависимости от начальных данных.
Потом,	пройдя		мимо	седла	В, она вновь попадает в верхнюю
часть	аттрактора. За один такой оборот правая лента рас
тягивается		и	меняет	свою	ориентацию.	Левая часть поверх
ности	также	растягивается,			но ориентации	не меняет.

Рис. 7.19

310

Рис. 7.20. Гистограмма, построенная для странного аттрактора

	Отсюда ясно, что аттрактор в этом пространстве можно
представить		как	склеенные друг	с другом	лист Мебиуса (пра
вая	часть)	и обычное кольцо (левая часть). Совершая оборот
по	правой	части	аттрактора, траектория		увеличивает	фазу на
2тг,	по левой - оставляет неизменной.
	Такое	поведение позволяет		дать символическое		описание

траектории, сопоставляя ей бесконечную последовательность

символов	R	и L. При этом на n-м		месте будет стоять R, если
траектория		на п-м	витке двигалась	по правой части поверх
ности, и	L,	если	по левой. По-видимому, здесь также могут

быть использованы топологические методы, развитые при ис следовании» аттрактора Лоренца [373].

Обратимся к количественным характеристикам обсужда

емого аттрактора.

Будем следить за значениями координаты £ последова тельных точек пересечения траектории с плоскостью 0 = 2пт.

Построим гистограмму по последовательности (£п) и отнормируем ее так, чтобы площадь под кривой была равна единице. Расчеты показывают, что при увеличении длины выборки N эта

кривая		становится все	более гладкой	и перестает	меняться.
На	рис.	7.20 приведена гистограмма,		построенная	по N	=
=	20480	точкам. Число	N зависит от	выбранного интервала		е

311

вдоль оси £. Чем мельче шаг мы выбираем, тем больше стано вится значение N, при котором гистограмма практически пе

рестает меняться. При других начальных данных была получе

на та же самая функция р(£). Этот факт дает основание по

лагать, что	и в трехмерном фазовом пространстве существует
инвариантная	мера, которая определяет	статистические	свой
ства всех траекторий, притягивающихся		к странному	аттрак

тору.

Типичным свойством странных аттракторов является

чувствительность к начальным данным. Об этом свойстве го

ворит		существование положительных ляпуновских показателей
у	изучаемого решения.
		Изучаемый аттрактор	системы	уравнений (3.15)	(с 1 = 7,
с2	=	- 6, k = 1 ) характеризуется следующими показателями:
Aj	=	+0,234, Л3 = -4,423,	А2 близок к нулю в пределах точ
ности		вычислений. Эти значения А;		были получены	в расчетах

при различных начальных данных. Сумма показателей дает

среднее	значение	величины П:	+ Л2 + А3 = <д£/д£ +
+ дт)/дт)	+ дв/дв>, которая определяет скорость изменения
фазового	объема системы.

Важной характеристикой аттрактора является его раз

мерность. Зная показатели Ляпунова, пользуясь формулой

Каплана -		Йорке, можно оценить вероятностную размерность
аттрактора		(размерность		естественной меры)		[259]. В	нашем
случае	эта	формула дает
		dL =	2 +	(А, +	А2)/\|А3 \| я 2,05.		(7.13)
Поскольку		величина dL имеет малую дробную часть,					естест
венно	ожидать, что		поведение		траекторий	на аттракторе с

высокой точностью характеризуется некоторым одномерным отображением. Такое отображение, полученное при численном решении уравнения (3.15), показано на рис. 7.17.

Зная	траекторию системы, можно оценить вероятностную
размерность	аттрактора, вычисляя	корреляционный показа
тель. Результаты соответствующего		расчета представлены на

312

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 5531 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги