книги / Нестационарные структуры и диффузионный хаос

уменьшая параметр с2 и двигаясь к ней сверху от упорядо­ ченных режимов. Семейство одномерных отображений, возника­

в этом случае подробно не исследовался. Появляющиеся далее стохастические режимы порождают одномерные отображения. Вначале функция f имеет один острый максимум, как и в слу­ чае двухмодовой системы (см. рис. 7.23).

В упрощенной модели (3.15) при уменьшении параметра

с2 отображения оставались непрерывными, однозначными и имеющими один острый максимум. В уравнении в частных

(Такое же явление наблюдалось и в некоторых системах обык­ новенных дифференциальных уравнений и, в частности, в сис­

решение задачи в частных производных по-прежнему неперио­

7.12). В двухмодовой системе здесь наблюдаются неперио­

ных уравнений часто рассматривают расположение точек пере­ сечения траекторий с некоторой секущей поверхностью и соответствующие (АМ)-мерные отображения (в системе (3.15)

361

свойства отображения и исходных уравнений существенно отличаются.

Решения системы (3.15) в указанной области параметров

действительно устроены так, что на некоторых витках функ­ ция р0(t) несколько раз достигает локального максимума.

Близкая картина наблюдается и в уравнении в частных производных.

На рис. 9.5 показана проекция типичного непериодичес­ кого решения на плоскость (р0, р^ в этой области парамет­ ров. Видно, что на различных витках pQ(t) имеет различное количество максимумов. При некоторых значениях параметра

362

тема отсчета, что позволяло проекциям точек А^ А^,... на

ших областей [18, 20]. Типичная картина в этом случае по­ казана на рис. 9.7 (Cj = 4, с2 = -4, / = п/0,51). Точку Н естественно выбрать внутри сечения тора.

В работе [338] было показано, что переход к хаосу в

необратимым [368].

Подробное исследование диффузионного хаоса в уравне­

нии (3.12) было предпринято в работе [306]. Здесь также рассматривались начальные данные вида (9.2), фиксировалось значение 1/cQ = = - с2 = 4 и уменьшалось значение q. Бы­

364

ло показано, что в этой задаче важную роль играют бифурка­ ции, связанные с потерей симметрии или с взаимодействием симметричных решений.

Такой механизм усложнения решений играет важную роль и в двумерном аналоге уравнения (3.8) [19, 20]. Далее мы рассмотрим его более подробно.

Вработе [306] была использована известная методика

вычисления ляпуновских показателей [219]. Уравнение в

частных производных заменялось некоторой конечномерной системой, поэтому можно было пользоваться методами, разви­ тыми для обыкновенных дифференциальных уравнений. Было

показано, что диффузионный хаос , в уравнении в частных

производных в рассматриваемой области параметров характе­ ризуется положительными ляпуновскими показателями. (Отме­

тим, что эти расчеты требуют высокой точности, поскольку

ни один из вычисленных положительных ляпуновских показате­ лей не превышает 0.05.) Например, при q = 0,95 наибольшие

основным источником информации о нем является вычислитель­ ный эксперимент. В работах [20, 24] использовалась чисто неявная разностная схема со вторым порядком аппроксимации

краевых условий [168]. (Аппроксимация краевых условий в

этих задачах оказалась очень существенной [22].) При учете

выйти на установившийся режим. Выбор шагов по времени и пространству обычно требует проведения тестовых расчетов. Эффективным оказывается использование метода Галеркина - хорошая аппроксимация уравнения требует небольшого числа

365

гармоник. Вместе с тем, ошибки, вносимые в решения при разностной и спектральной аппроксимации, оказываются раз­ личными. (В первом случае симметрия решений исходного ура­

ральный метод, основанный на алгоритме быстрого преобразо­

[169].

Возникает вопрос, насколько общими являются законо­

мерности, выясненные при анализе диффузионного хаоса, и

применявшиеся подходы.

В этой связи интересно обсудить хаотические режимы в более сложном модельном уравнении (3.27), возникающем при

Рассмотрим задачу (3.27). Будем исследовать различные типы решений указанной задачи при t —» оо. Все расчеты про­

этих значениях задача для £ и Т) имеет простейшее простран­

366

Обнаружены стационарные и периодические решения. В изуча­ емой системе возможны и двухчастотные режимы.

Обратим внимание на тесную связь таких решений с периодическими и двухчастотными решениями уравнения Кура-

более сложными функциями [20]. Вероятно, здесь имеет место близкая ситуация. Существование большого класса двухчас­

как предельные циклы. Проектируя на эти плоскости, мы избавляемся от одной «лишней» частоты. При с = 0,15 и 5 = = (1 + i)c возникает хаотический режим. Причем пространст­ венное распределение в любой момент времени остается дос-

367

таточно простым (см. рис. 9.8). На рис. 9.9 изображены за­ висимости Re У(1т V) и Re Щ1т№).

Рис. 9.9

368

fV(x0,/)|, XQ = 0,5, n- й максимум обозначим через VMn и

построим зависимость VAfn+1 от УМп. Из рис. 9.11 видно, что

эта зависимость хорошо аппроксимируется одномерным отобра­ жением с острой вершиной и гладким минимумом. Семейство отображений, возникающих при различных значениях парамет­ ров модельных уравнений, можно рассматривать как упрощен­ ную модель. Их анализ полезен при исследовании сценария

В качестве примера рассмотрим эволюцию аттракторов системы уравнений (3.27) на линии б = v^c в пространстве параметров. Результаты расчетов показаны на рис. 9.12,

9.13.Из рисунков видно, что при с=1,0 аттрактором решения

369

Рис. 9.12

Обратим внимание на то, что показанному хаотическому режиму соответствует одномерное отображение с острой вер­ шиной (см. рис. 9.13). Характер решений показывает, что такие упрощенные модели, как двухмодовая система, одномер­ ные и двумерные отображения будут эффективно работать и в этом случае.

370