книги из ГПНТБ / Богданов, Алексей Иванович. Интерпретация сейсмических годографов

годографов отраженных волн изменяются па участках резкой смены знака и величины кривизны границ раздела и особенно когда центр кривизны изменяет свое местоположение относительно границы раздела или поверхности земли. В этих случаях годо­ графы отраженных воли будут образовывать петли или резко изменять свой характер, в результате чего можно наблюдать области интерференции отраженных волн. Изменение местополо­ жения пункта взрыва будет приводить к значительным измене­

касательной линии, проходящей через точку S. Выполнив анало­ гичные построения для всех точек линии R, получим совокупность мнимых пунктов взрыва, образующих (при условии непрерывности отражающей границы) непрерывную кривую, получившую на­ звание мнимой линии (кривая L на рис. 8). Мнимую линию можно рассматривать как источник упругих колебаний, одновре­ менно возникающих по всей ее длине и распространяющихся из каждой ее точки в направлении нормали к линии L.

Положение мнимой линии L по заданному положению отражаю­

S на линии R и с радиусами OS равными расстоянию этих точек от пункта взрыва О. Построив для заданного положения отражаю­ щей границы R мнимую линию L, строим соответствующий отра­ жающей границе R годограф. Для этого нужно взять на линии

L произвольную точку О", восстановить в этой точке перпенди­ куляр к линии L, найти точку Р пересечения этого перпендику­ ляра с дневной поверхностью, измерить длину прямой О"Р и, разделив ее на скорость в среде, покрывающей отражающую гра­ ницу 7?, найти время t пробега волны по пути O"SP = OSP. Тем самым определятся абсцисса (ОР) и ордината точки Р' годо­ графа отраженных волн.

Взяв на мнимой линии L ряд произвольных точек О" и выпол­ нив аналогичные построения и вычисления, найдем координаты ряда точек Р', образующих в совокупности продольный годограф волн, отраженных от границы раздела R произвольной формы.

Для решения обратных задач знание уравнения годографа не требуется. Задача об определении конфигурации отражающей поверхности, покрытой однородной средой, может быть решена при произвольной форме этой поверхности на основании наблю­ денных годографов. Для этого необходимо, чтобы были заданы поверхностный годограф отраженных волн и скорость щ в одно­ родной среде, покрывающей отражающую границу раздела.

5 4. ГОДОГРАФЫ ВОЛН, ОТРАЖЕННЫХ ОТ ПЛОСКОЙ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА

Уравнение поверхностного годографа. В частном случае,

когда отражающая поверхность плоская, уравнение поверхност­ ного годографа отраженных волн имеет наиболее простую форму. Плоскость, касательная к любой точке, лежащей на отражающей поверхности, является самой отражающей плоскостью. Для лю­ бой точки на этой плоскости координаты го, уо, zo точки О" остаются величинами постоянными. Следовательно, уравнение годографа волн, отраженных от плоской отражающей границы раздела, имеет вид:

t = vi — г0)2 + (у — ycY + z02, (1.7)

где го, уо и z0 — величины постоянные, зависящие лишь от поло­ жения отражающей плоскости в пространстве.

Если величины го, уо и zo заданы, то по формуле (I. 7) можно определить время прихода волны, отраженной от плоской отражаю­ щей поверхности, в любую точку Р, расположенную на дневной поверхности с координатами г и у.

Если же требуется определить координаты г и у точки Р и время t прихода в эту точку волны, отраженной от произвольной точки S с координатами г', у' и z', расположенной на плоской отра­ жающей поверхности, то эту задачу можно решить на основании «следующих формул:

z0—z' ’ у Zo — Z>‘'

t = — (Zo2°-ZPj Vfa — s')2 + fa — У')2 + fa — z')2 •

30

Координаты хо, уо, zo точки О" — точки зеркального изо­ бражения пункта взрыва в отражающей плоскости — полностью определяют положение отражающей плоскости в пространстве. Через величины хо, уо, zo можно записать уравнение отражающей плоскости в пространстве и выразить все основные элементы ее залегания, а именно: h — глубину залегания под пунктом взрыва, отсчитываемую обычно по перпендикуляру, опущенному из пункта

Рис. 9. К выводу уравнения отражающей ^плоскости R пространстве.

взрыва на отражающую плоскость; ср — угол восстания пли паде­ ния; а — азимут восстания.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение пло­

2t

00" с осями координат, могут быть выражены через координаты

в уравнение плоскости, раскрытия скобок и преобразований по­ лучим следующее уравнение отражающей плоскости в простран- • стве:

при условии, что азимут восстания а отсчитывается от оси ОХ по часовой стрелке.

Уравнение (I. 7) годографа волн, отраженных от плоской отражающей поверхности, после возведения в квадрат и преобра­ зования можно привести к каноническому виду:

22

Отсюда следует, что поверхностный годограф отраженных волн представляет собой гиперболоид вращения относительно оси, перпендикулярной плоскости хОу и пересекающей ее в точке 00"" с координатами хп и уо (рис. 9). Из уравнения (I. 12) видно, что при х = хо и у — уо гиперболоид имеет минимальную орди­ нату, величина которой

Изохроны поверхностного годографа. Уравнение изохрон по­ верхностного годографа отраженных волн можно получить из уравнения поверхностного годографа (I. 12), положив в нем вели­

Линейные продольные и непродольвые годографы. Из анали­ тической геометрии известно, что след сечения гиперболоида вращения плоскостью, перпендикулярной плоскости хОу, или

23

плоскостью, параллельной осп вращения, дает гиперболу. Таким образом, в рассматриваемом случае плоской отражающей поверх­ ности линейный продольный и непродольный годографы отражен­ ных воли имеют гиперболическую форму.

Например, если линейный продольный профиль идет по оси Ох, уравнение линейного продольного годографа легко полу­ чить из уравнений (I. 7) и (I. 12), полагая в них у = 0. Тогда имеем

оси Ох, то уравнение линейного непродольного годографа легко

линейных продольных и непродольных годографов на профилях, идущих вкрест простирания плоской отражающей поверхности. Если же в этих уравнениях положить х0 = 0, то получим уравне­ ния годографов на профилях, идущих по простиранию плоской отражающей поверхности.

Полученные уравнения продольных и непродольных годогра­ фов отраженных волн представляют собой уравнения гипербол, симметричных относительно осей, параллельных оси Ot. Оси сим­ метрии гипербол смещены относительно оси О t либо ее проекций на плоскости сечений на отрезки, являющиеся проекциями точки О"" на линию профиля. Хотя действительные и мнимые полуоси гипербол во всех случаях различны, но все гиперболы имеют асимптоты, тангенс угла наклона которых остается по­ стоянным и обратно пропорциональным скорости vr в среде, по-

24

врывающей отражающую поверхность. Величины минимальных ординат годографов во всех случаях различны.

Из рассмотрения уравнений (I. 12), (I. 18), (1.19), (1-20) следует, что годографы отраженных волн по профилям, идущим, например, вдоль или параллельно оси Ох при любой ориентировке профиля относительно отражающей поверхности, выражаются однотип­

где Н — величина постоянная и равная длине перпендикуляра, опущенного из мнимого пункта на линию профиля:

а) для линейного продольного профиля, не идущего вкрест простирания отражающей плоскости (г/0 =/=■ 0),

я = ;

б) для линейного продольного профиля, идущего вкрест простирания отражающей плоскости (у0 = 0),

Я = z0;

в) для линейного непродольного профиля, не идущего вкрест простирания отражающей плоскости (г/0 =/= 0),

Н = V\d-y^±^

г) для линейного непродольного профиля, идущего вкрест простирания отражающей плоскости (у0 = 0),

if

Годограф отраженных волн на дуговом профиле. Уравнение годографа отраженных волн по дуговому профилю может быть получено из уравнения (I. 7), если после возведения подкоренного выражения в квадрат положить

Ж2 4- у2 = /2 и у = Р Z2 —■ Ж2.

В этом случае уравнение годографа отраженных волн будет

25

Очевидно, что кривая зависимости t от х, заданная уравне­ нием (1.23), будет иметь максимум и минимум. Она будет иметь максимум, когда выражение под корнем, стоящее в скобках, принимает минимальное значение, и будет иметь минимум, когда это выражение принимает максимальное значение.

Найдем условия максимума и минимума для

S хох +,?/0 | Z2 — х2

и t на дуговом профиле.

11

д

Рис. И. Годографы волн, отраженных от плоской границы раздела, на дуго­ вом профиле.

а—на плоской развертке профиля; б — проекция дугового годографа на пло­ скость tOx.

Для этого возьмем производную от S по х и приравняем ее нулю:

Решая это уравнение относительно х, определим те значения

26

но

Рассмотрим, как можно определить положение в пространстве неплоской отражающей поверхности, покрытой однородной средой с известной скоростью распространения в ней упругих волн vu па основании заданного (наблюденного) поверхностного годо­ графа отраженных волн.

Будем считать, что поверхностный годограф задан в виде карты изохрон и, следовательно, в любой точке Р (х, у), распо­ ложенной на плоской и горизонтальной дневной поверхности, известно время пробега до нее волны, вышедшей из пункта взры­

точки О", точки зеркального изображения пункта взрыва в пло­ скости Q (рис. 4).

27

Искомые координаты х', у' и z точки отражения S можно определить по координатам точки пересечения касательной пло­ скости Q с прямой О"Р. Для этого необходимо иметь уравнение плоскости Q и прямой О"Р в пространстве.

Уравнение касательной плоскости Q в пространстве в соответ­ ствии с уравнением (1.8) § 4 может быть записано через коорди­

Уравнение прямой О"Р в пространстве можно выразить при помощи координат точек О" и Р, через которые эта прямая прохо­ дит. Обозначая текущие координаты прямой О"Р, так же как и

4k2 — (ХдХ -|- упу) °’

Подставляя z в выражения для х' и у', получим

2А2 — (хох 4- УоУ) 4h2 — (хихуоу) ’

2h2 — (хвх -|- уоу) ~4h2 — (хвх -|- уоу)

Если в выражения для х', у' и z вместо А2 подставить его зна­ чение

28