книги из ГПНТБ / Богданов, Алексей Иванович. Интерпретация сейсмических годографов

определим положение фронта отраженной волны в момент вре­ мени ti — kt. Аналогичным путем найдем положение фронта отраженной волны в любые моменты времени.

Фронты падающих и отраженных волн на плоскости чертежа будут пересекаться. Положение отражающей поверхности может быть получено как геометрическое место точек пересечения фрон­ тов падающих и отраженных волн, построенных для одного и того же момента времени.

Размеры отражающей площадки определяются точками ее пересечения с прямыми, проведенными перпендикулярно фронтам

рах, восстановленных к серединам прямых, соединяющих любую точку мнимой линии с пунктом взрыва (рис. 8). На основании этого положение отражающей границы R может быть найдено как положение огибающей к семейству перпендикуляров, вос­ становленных к серединам прямых 00". Для отыскания отражаю­ щей границы R В. Д. Завьяловым и Ю. В. Тимошиным предло­ жено пользоваться двумя перпендикулярно скрепленными между собой линейками, одна из которых (измерительная) имеет две равномерные шкалы с общим нулем в точке пересечения линеек (рис. 16). Зная положение пункта взрыва О и мнимой линии L, устанавливаем измерительную линейку так, чтобы на точке

39

В установленном положении проводим прямую вдоль перпендику­ лярной линейки. Выполнив аналогичные построения для несколь­ ких точек О", взятых на мнимой линии, получим положение отра­ жающей границы как огибающей семейства прямых линий, про­ веденных по перпендикулярной линейке.

Всинклинальных зонах огибающая будет проходить сверху,

ав антиклинальных снизу семейства прямых. На участках, где отражающая граница плоская, семейства прямых должны совме­ ститься в одну прямую линию, а мнимая линия должна стянуться в точку Ч

§6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ЗАЛЕГАНИЯ ПЛОСКОЙ ОТРАЖАЮЩЕЙ ПОВЕРХНОСТИ И СКОРОСТИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ПОКРЫВАЮЩЕЙ ЕЕ ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ПО ГОДОГРАФАМ

ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН

Но поверхностному годографу. Если отражающая поверх­ ность плоская и известна скорость vY распространения упругих волн в покрывающей ее однородной среде, то элементы залегания ее в пространстве могут быть определены по заданным или опре­ деленным параметрам х, у, t, тх и ту любой одной точки Р по­ верхностного годографа отраженных волн на основании следую­ щих формул: (1.30), (1.31), (1.32), (1.40), (1.41) и (1.42).

Эти формулы имеют наиболее простой вид, если точка Р взята в начале координат (в пункте взрыва), т. е.

плоскости, после отражения от которой волна пришла в точку Р дневной поверхности. Также может быть определена глубина залегания отражающей плоскости под любой точкой Р дневной поверхности, отсчитываемая по нормали к отражающей плоскости

засечек; он был опубликован в 1955 г., но не получил еще широкого произ-

. водственного опробования.

40

Глубину z' можно найти из уравнения (I. 8), решая его относи­ тельно z':

Zo

Полагая в этом уравнении х = х, а у' = у, заменяя ха, yt) и z0 через их значения из (I. 30), (I. 31), (I. 32), выполнив преобра­ зования, найдем

Глубину hv можно определить по координатам х , у' и z осно­ вания перпендикуляра, опущенного из точки Р на отражающую

где х и у — координаты точки Р.

Координаты х', у' и z можно получить из совместного реше­ ния уравнения (1.8) и уравнения прямой, перпендикулярной отражающей плоскости и проходящей через точку Р.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку Р и нормальной к отражающей плоскости, можно записать через координаты х и у точки Р и направляющие косинусы этой прямой в пространстве. Направляющие же косинусы равны направляю­ щим косинусам перпендикуляра, опущенного из пункта взрыва на отражающую плоскость (см. § 4). Следовательно, уравнение перпендикуляра, опущенного из точки Р на отражающую пло­ скость, можно представить в виде

41

Подставив х', у' и z в уравнение (I. 46) и произведя преобра­ зования, находим

,2h2 — (x0x + y0y)

2 |/v12t2-l[-ri—2v12t (х т-с-)-у ху)

Для плоской отражающей поверхности х0, у0 и z0 — величины постоянные. Они полностью определяют положение отражающей плоскости в пространстве и могут быть получены независимо по параметрам любых точек поверхностного годографа отраженных волн. На основании этого представляется возможность по задан­ ным или наблюденным параметрам любой пары точек поверхност­ ного годографа отраженных волн определить независимо не только х0, у0 и z0, но и скорость vr. Записав полученные выражения для х0, у0 и z0 через параметры двух произвольных точек В и А по­ верхностного годографа отраженных волн, получим три уравне­

Подставив vr в уравнения для х0, у0, z0, можно получить девять независимых выражений для их определения, наиболее удобными из которых являются следующие:

Xgtb (Xx)b Xbtg (Хх)д

lb (Тт)Ь —(Хх)а

42

Если был полностью наблюден поверхностный годограф волн, отраженных от плоской поверхности, изображенной в виде карты изохрон, то по положению центра окружности семейства изохрон можно найти координаты л0 и //0 мнимого пункта взрыва и тем самым направление восстания или падения отражающей пло­ скости. Направление восстания определяется направлением пря­ мой, проведенной из начала координат (пункта взрыва) в центр окружности семейства изохрон.

Непосредственное определение хп и у0 с карты изохрон позво­ ляет найти независимо z0 и г\ по более простым формулам, в ко­ торые не будут входить Хх и ту, определяемые недостаточно точно. Исходные формулы для z0 и vi можно получить из уравне­ ния поверхностного годографа волн, отраженных от плоской границы раздела, если его записать для двух произвольных точек В *и А поверхностного годографа с координатами хь, Уь, tb и ха, уа, ta. Тогда имеем

v^tb2 = (хь — .г0)2 + (уь — Уо)2 + z02,

гЛа2 = (Ха — А))2 + (Уа — Уо)2 + Z02.

Разделив первое уравнение на второе и разрешив полученное соотношение относительно z0, найдем

- _ I /fa2 [fob —А>)2 + (№ —Уо)2] —гЬ2 [жа—Жр)2 + (Уа —Уо)2] ° Г Zb2 —/а2

Уравнения для z0 и vi могут быть записаны в более простой форме, а именно,

, _ 1/ ZaW-/b2^a2

°V tb*-t a*

=1/ 7У-Да2

где Вь и Ra — радиусы изохрон, проходящих через точки В и А, равные

Rb = V(хь — А))2 + (уь — Уо)2 > Ra = V (Ха — Т0>)2 + (уа — у0)2.

4.3

Имеется принципиальная возможность [52 ] определить vi без знания х0 и у0 только по параметрам х, у и t трех точек С, В и А поверхностного годографа волн, отраженных от плоскости, если на параметры х и у этих точек наложить следующее ограничение. Все три точки должны лежать па одной прямой линии, как угодно ориентированной относительно осей Ох и Оу, па равном расстоя­ нии S друг от друга. В этом случае

Хс — Хь = Хь — Ха = &х,

Ус— Уь = уь — Уа= А у,

5 = /(Ах)2 + (Ау)2.

Запишем уравнение (I. 51) для точек С и В и В и А:

Ч2 *с( 2 — tb2) = хс2 — хь2 — 2х0 (хс — хь) + Ус2 — Уь2 — 2у0 (ус — уь) =

= А X (хс + хь — 2ж0) + А у (ус + уь — 2у0),

V 2 (tb2 — ta2) = Хь2 — Ха2 — 2.Г0 (хь — Ха) + уЬ2 ~ Уа2 — 2уд(уъ~ Уа) =

= А ж (хь + Ха — 2хд) + А у (уъ + уа — 2у0).

Разность этих двух уравнений будет

г-’l2 (tc2 — 2tb2 + ta2) = к х(хс — Хь + Хь — Ха) +

+ А у (Ус — уь 4- уь — Уа) = 2 А ж2 + 2\у2 = 2S2,

откуда

Если в двух точках В и А поверхностного годографа время прихода отраженных волн остается постоянным, т. е. если tb = = ta, то формула для определения vi получает вид:

S

1/«с2 —Zb2

Г2

Но линейным продольным либо лепродольным годографам. Выше было показано, что при любой ориентировке линейного профиля относительно плоской отражающей поверхности уравне­ ние линейного годографа отраженных волн имеет однотипную форму. Если профиль идет по или параллельно оси Ох, то уравне­

из мнимого пункта взрыва.

44

В зависимости от того, является ли профиль продольным или непродольпым, и от ориентировки его относительно залегания отражающей плоскости II будет различным (см. § 4).

Линейные годографы волн, отраженных от плоской поверх­ ности, представляют собой гиперболы, симметричные относи­ тельно оси, параллельной оси Ot и смещенной по оси Ох на отре­ зок х0 от начала координат. Следовательно, величина х0 равна абсциссе точки минимума линейного годографа и определяется из наблюденного годографа непосредственно. Ордината же точки

гмин

Если же в выражение для t вместо Н подставить его значение через vi и fMIIH и решить полученное уравнение относительно щ, то получим

мулам предыдущего раздела.

Для повышения точности определения величин vx и, следова­ тельно, II по приведенным выше формулам следует брать не одну, а несколько пар или троек точек на годографе, так как снимаемые с годографа в этих точках параметры t, х и т0 мо­ гут содержать те или иные погрешности. Вследствие этого vr и Н, определенные по различным парам или тройкам точек, бу­ дут несколько различаться между собой и для нахождения наи­ более достоверных их значений следует брать средние значения из полученного ряда величин. Аналитический расчет значений г^и Н по параметрам нескольких пар или троек точек наблюденного годографа и вычисление их средних значений сложны и трудо­ емки. Для упрощения и ускорения определения vi и Н по наблю­

45

денным линейным продольным годографам отраженных волн на практике используют другие способы, основанные или па преобра­ зовании гиперболы в прямую с угловым коэффициентом, пропор­ циональным величине vi, или на построении асимптот к гипер­ боле, или, наконец, на сопоставлении наблюденных годографов с палетками теоретических годографов. Все эти способы позво­ ляют наиболее точно определить средние значения vi и Н, исполь­ зуя для этой цели только параметры х и t любого количества точек наблюденных линейных годографов отраженных волн. Наиболее

Рис. 17. Определение vr способом квадратных координат по линейному го­ дографу отраженных волн.

широкое применение на практике получили следующие способы определения щ и Н по наблюденным линейным годографам отра­ женных волн.

Определение и Н способом квадратичных координат. Ура­ внение (I. 21) после возведения в квадрат можно записать в виде

А(^-^о)2+4-//2- (z-53)

Введем новые переменные

t2 = Т, (х-х0)2 = X.

Тогда уравнение (I. 53) перепишем в виде

46

Последнее уравнение представляет собой в осях координат X и Т уравнение прямой линии с угловым коэффициентом 1/г/, кото­ рая отсекает на оси времен (при X = 0) отрезок Я2/^2.

Продолжение этой прямой отсечет па оси X (при 7 = 0) отре­ зок Н2 (рис. 17). Следовательно, перестраивая наблюденный годограф отраженных волн в оси координат Т и X, по наклону полученной прямой определяем скорость распространения упру-

Рис. 18. Определение способом постоянной разности по ли­ нейному годографу отраженных волн.

гих волн в среде, покрывающей отражающую поверхность, и величину Н по отрезкам, отсекаемым продолжением прямой на осях Т и X.

Для того чтобы перестроить наблюденный годограф в новые оси координат, нужно знать х0. Ошибки в ее определении приво­ дят к ошибкам в определении щ и Н. В этом заключается недо­ статок способа квадратичных координат.

Определение г>1 способом постоянной разности (по В. А. Бу-

гайло). Недостаток способа квадратичных координат, заключаю­ щийся в необходимости знания ж0, не присущ излагаемому спо­ собу постоянной разности.

47

Возьмем на наблюденном годографе отраженных волн две

[(.Га -I- d) — То]2 + //2 = У12/ь2,

(,Г„ — ,Г0)2 4- //2 = V^t,,2

Вычитая из первого уравнения второе и преобразуя, получим

2xad 4- d2 — 2.rnd = Vj2 (tb2 — ta2).

Введем новое обозначение

tb2 — ta2 = Q.

Тогда можем написать, опуская у х значок а, что

На основании (1.55) наблюденный годограф отраженных волн может быть перестроен в оси координат Q и х. Для последова­ тельного ряда пар точек годографа с разностью абсцисс, равной d, необходимо вычислить разность квадратов их ординат и в вы­ бранной системе координат Q и х отложить эти разности квадратов ординат против значения наименьшей абсциссы соответствующей пары точек. Полученные точки с координатами Q и х должны лечь на одну прямую линию, тангенс угла наклона которой будет

48