книги из ГПНТБ / Богданов, Алексей Иванович. Интерпретация сейсмических годографов

и направлением восстания преломляющей плоскости), а — угол между осью ОХ и линией ОР.

Подставляя эти выражения для синусов и косинусов углов а и р в уравнение (П.16), получим

через координаты точки О" и преобразовывая, получим следую­ щее наиболее общее выражение для поверхностного годографа преломленных волн:

89

Из уравнения (11.22) видно, что время пробега преломленной волны является функцией координат хну точки Р, координат хо, уо и zo точки О" и скоростей распространения упругих волн vi и vz в среде, покрывающей и подстилающей преломляющую поверхность. Из восьми величин, входящих в уравнение (11.22), известными (при наличии наблюденного годографа преломлен­

стного годографа при прочих равных условиях являются функ­ циями лишь отношения координат хну этой точки. Таким обра­ зом, в любой точке линейного продольного профиля, уравнение которого имеет вид у!х — const, тх и ту являются постоянными величинами, не зависящими от абсолютных значений координат точек на этом профиле.

В любой точке поверхностного годографа после умножения хх на х и ху на у и сложения этих произведений будем иметь

тальна, уравнение поверхностного годографа примет более про­ стую аналитическую форму. Полагая при этом условии в уравне­

Если преломляющая плоскость не горизонтальна, то поверх­ ностный годограф преломленных волн представляет собой эллип­ тический конус с вершиной в точке t = to и осью, наклоненной относительно оси Ot в сторону восстания преломляющей пло­ скости (рис. 38).

Изохроны поверхностного годографа преломленных волн. Ура­ внение изохрон поверхностного годографа преломленных волн

90

примет более простой вид, если положить, что ось ОХ идет вкрест простирания преломляющей границы раздела. В этом случае мы можем положить г/о = 0.

Тогда уравнение (11.20) поверхностного годографа преломлен­ ных волн можно записать в двух вариантах:

Рис. 39. Карта изохрон поверхностного годографа волн, преломленных на плоской границе раздела, покрытой и подстилаемой однородными средами со

СКОрОСТЯМИ Pj И V%.

Случай 1. г> <р. Параметры разреза: тд = 2000 м/сек, г2 = 4000 м/сек, h =

= 462 м, <р= 17,4°, to = 0,4 сек., i = 30°.

1 — слепая или мертвая зона; 2 — линия выхода преломляющей границы на дневную поверхность; з — направление восстания.

Если положить в этом уравнении t = const, то будем иметь уравнение изохроны поверхностного годографа волн, преломлен­ ных на плоской границе раздела с параметром t. Это уравнение можно привести к следующему виду после избавления от радикала и группирования членов, содержащих переменную величину ж:

91

с большой полуосью ai, малой полуосью bi и с центром, смещен­ ным по оси Ох на отрезок, равный xi (рис. 39). Полуфокусное

са находятся по разные стороны от начала координат. Величина эксцентриситета gj семейства эллипсов — величина постоянная:

(ж —а?2)2 __ у*_

(II. 32)

Ь22

которое представляет собой уравнение гиперболы, симметричной относительно оси Ох, с центром, смещенным по оси х на отрезок жг, с действительной осью «2 и мнимой осью &г (рис. 40).

Выражения для хг, аг и Ьг приобретают вид:

Полуфокусное расстояние Сг равно

92

Рис. 40. Карта изохрон поверхностного годографа волн, преломленных на

Отношение

При i — ф уравнение (11.27) после раскрытия неопределен­ ности переходит в уравнение параболы, симметричной относи­ тельно оси Ох.

93

Из уравнений (11.28) следует, что большая полуось семейства эллипсов направлена по оси Ох, т. е. эллипсы вытянуты по на­ правлению, перпендикулярному простиранию преломляющей гра­ ницы раздела. Центры семейства эллипсов смещены относительно начала координат в сторону восстания пласта. Семейство гипер­ бол согласно уравнению (11.32) симметрично относительно оси Ох и выпуклостью обращено в сторону падения преломляющей гра­ ницы раздела.

Изохроны поверхностного годографа преломленных волн обла­ дают следующим свойством. Расстояния AI между изохронами с равными разностями A t их параметров остаются постоянными вдоль любого прямолинейного направления, проходящего через начало координат. Это свойство изохрон вытекает непосредственно

По направлению, совпадающему с направлением простирания преломляющей плоскости,

Начальные точки годографов преломленных волн. К точкам дневной поверхности с координатами х и у могут приходить пре­ ломленные волны лишь после того, как волна, вышедшая из пункта взрыва О, упадет на преломляющую границу раздела под критическим углом i и под этим же углом i выйдет обратно к днев­ ной поверхности. Поэтому к точкам, расположенным вблизи пункта взрыва, преломленные волны не приходят, их приход может быть зарегистрирован лишь начиная с некоторого удале­ ния от пункта взрыва. Таким образом, в пространственной системе координат OXY t поверхностный годограф преломленных волн ограничен некоторой кривой линией в пространстве с координа­ тами хн, уп, tH и представляет собой поверхность эллиптического

конуса со срезанной вершиной.

Найдем зависимости координат хн, ун и tH начальных точек поверхностного годографа преломленных волн от элементов зале-

94

гания плоской преломляющей границы раздела и скоростей vi и vi в среде, ее покрывающей и подстилающей. Решить поста­ вленную задачу можно несколькими приемами. Рассмотрим один из них.

Из рис. 38 видно, что точкой, лежащей на прямой ОР, начи­ ная с которой будет регистрироваться приход преломленных волн, является точка Н с координатами хн, ун. Время прихода

преломленной волны в точку Н будет равно t .

Из точки О в точку Н преломленная волна придет по пути ОВН, тождественному пути О"ВН и равному пути распространения волны, вышедшей из пункта взрыва О, упавшей на границу раз­ дела под углом i и отразившейся от преломляющей границы раз­ дела. Следовательно, путь и время распространения из точки О в точку Н отраженной и преломленной волн равны друг другу. Другими словами, при х = хн и у — ун поверхностные годо­

графы преломленных и отраженных волн касаются друг друга.

+ УйУн)

Приравнивая правые части этих выражений, получим уравне­ ние проекции точек касания поверхностных годографов отражен­ ных и преломленных волн на плоскость XOY или, другими сло­ вами, уравнение проекции геометрического места начальных точек годографов преломленных волн на плоскости XOY.

Уравнение этой кривой примет более простой вид, если по­ ложить, что ось Ох идет в направлении восстания преломляющей поверхности. Если в уравнениях годографов уо = 0, то, поделив оба уравнения на 2/г/п и учитывая, что

= sin ср, = cos ср, 2h = Vz024-z02 ,

получим

j/(^_sin (pj,+ (-g) 4-cos2 ср =

(11.39)

95

полуосью аз, малой полуосью Ьз с центром, смещенным по оси Ох на отрезок хз, и с полуфокусным расстоянием

Если положить в (11.39) ун = 0, то отрезки, отсекаемые эллип­ сом на оси Ох, будут равны

Если же положить в (11.39) хн = 0, то отрезки, отсекаемые эллипсом на оси Оу, будут равны

Ун = ±Ь3}/1-(^ = ±2/ztgf.

Можно показать, что при произвольном залегании границы раздела относительно осей координат отрезки, отсекаемые гео­ метрическим местом начальных точек годографа преломленных

где фх и фг — углы восстания преломляющей поверхности в пло­ скости, перпендикулярной к преломляющей поверхности и про­ ходящей через выбранную ось координат. Это же выражение справедливо для длины отрезка, отсекаемого геометрическим ме­

96

стом начальных точек годографов преломленных волн на любой прямой, проходящей через начало координат:

верхности в плоскости, проходящей через эту прямую и перпенди­ кулярной преломляющей плоскости.

Ординату tH начальной точки годографа можно выразить ана­ литически, если в уравнении (11.14) положить

Тогда

вая, получим

tu = to + “ Lg (z — Ф) = to+ v-sin i (i — Ф)-

не могут быть зарегистрированы преломленные волны. Эту область часто называют мертвым пространством или слепой зоной.

Линейные продольные годографы преломленных волн. Ура­ внение годографа преломленных волн по линейному продольному профилю можно вывести из уравнения поверхностного годографа преломленных волн.

При любой ориентировке профиля относительно осей коорди­ нат уравнение годографа преломленных волн по линейному про­ дольному профилю можно получить из уравнения (11.14), поло­ жив в нем

Тогда

ti = to + и 1 sin (i — ф),

профиль проходит по обе стороны от пункта взрыва О, то по про­ филю, идущему в сторону подъема границы раздела,

V± И V2.

Легко заметить, что уравнения (11.43) и (11.44) представляют собой уравнения двух прямых, отсекающих па оси t отрезки, равные to, и имеющих различные угловые коэффициенты (рис. 41). Угловой коэффициент прямой по профилю, идущему в направле­ нии подъема границы, равен

sin (i — ф)

'’1

а угловой коэффициент прямой по профилю, идущему в направле­ нии падения границы раздела, равен

sin (i + ф)

Величины, обратные угловым коэффициентам, являются ско­ ростями распространения фронта преломленных волн вдоль этих

98