книги из ГПНТБ / Богданов, Алексей Иванович. Интерпретация сейсмических годографов

в пункте взрыва выражение для времени пробега прямых, поверх­ ностных и звуковых волн из пукта взрыва О до точки их при­ ема Р с координатами х и у может быть записано в виде

Если на координаты х и у точки Р не наложить никаких огра­ ничений, то уравнение (I. 1) будет уравнением поверхностного годографа волн.

странстве с вершиной в начале координат, с вертикальной осью вращения, совпадающей с осью Ot, и образующей, наклоненной к горизонтальным осям координат под углом, тангенс которого

равен — (рис. 2).

Уравнение изохрон поверхностного годографа волн рассмат­

где ln = Tnv.

Уравнение (I. 3) является уравнением семейства концентри­ ческих окружностей с общим центром, расположенным в начале координат.

9

Если разность параметров изохрон остается постоянной и равной A Z = Ti = Г2 — 7’1 = . . . = Тп — Тп_ j, то будет оста­ ваться постоянной п разность радиусов семейства изохрон:

АI = h = /г — h = . . . — In — ln- 1 = v&t.

Линейный продольный годограф волн рассматриваемого типа в любой плоскости, проходящей через ось Ot, будет представлять собой две прямые линии, тангенс угла наклона которых к оси абсцисс (осп Z) равен i/v. Это непосредственно следует из урав­ нения (I. 2). Если положить, что продольный профиль идет по оси Ох и абсциссы точек на этом профиле могут иметь различные знаки, то уравнение продольного годографа можно записать в виде

Линейный непродольный годограф волн рассматриваемого типа будет представлять собой гиперболу. Если непродольный профиль идет параллельно оси Ох и кратчайшее расстояние от профиля до начала координат равно d (величину d называют сносом про­ филя относительно пункта взрыва), то, положив в (I. 2) у — d, можно получить уравнение гиперболы

или после преобразований

(1.5)

Гипербола будет симметричной относительно проекции оси Ot на плоскость сечения (рис. 3). Действительная полуось гипер­

болы а = — = /мпн, а мнимая полуось b = d.

Действительную полуось гиперболы, равную ординате минимума гиперболы, в сейсморазведке принято обозначать через

^МИН"

Из уравнения (I. 5) и рис. 3 следует, что асимптотами гипер­ болы являются две прямые линии, уравнение которых имеет вид:

Таким образом, асимптотами линейного непродолыгого или поперечного годографов волн рассматриваемого типа будет линей­ ный продольный годограф этих волн.

Координаты точек дугового профиля связаны между собой следующей зависимостью:

I — ]/х2 + у2,

10

где I — радиус дугового профиля с центром в начале координат. Следовательно, уравнение годографа рассматриваемых волн на дуговом профиле будет t = l/v.

Из последнего уравнения следует, что время прихода рас­ сматриваемых волн к любой точке дугового профиля — величина постоянная (если постоянно v), не зависящая от положения точек (координат) дугового профиля. На плоской развертке дуговой годограф волн рассматриваемого типа представляет собой прямую линию с ординатой t = l/v.

На основании наблюденных карт изохрон, линейных продоль­ ных, непродольных и дуговых годографов волн рассматриваемого типа могут быть определены скорости v распространения этих волн в однородных средах (воздух и горные породы). Значение скорости проще всего определить по формулам

вытекающим из приведенных выше уравнений.

§ 2. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ГОДОГРАФ ВОЛН, ОТРАЖЕННЫХ ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

Уравнение поверхностного годографа отраженных волн можно вывести, предполагая, что дневная поверхность плоская и гори­ зонтальная. Среда, покрывающая отражающую поверхность, однородна, изотропна и характеризуется скоростью щ распрост­ ранения упругих волн. Отражающая поверхность R имеет произ­ вольную форму и как угодно ориентирована в пространстве.

Возьмем пространственную систему координат OXY Z, оси ОХ и OY которой расположены на дневной поверхности, а ось OZ идет вертикально вниз. Начало этой системы координат поместим в очаге взрыва О, расположенном па дневной поверхности. Для построения поверхностного годографа отраженных волн возьмем вторую пространственную систему координат OXY t, начало и направление осей ОХ и OY которой совпадают с соответствую­ щими осями первой системы, а ось О t идет вертикально вверх (рис. 4).

Выберем на отражающей поверхности R произвольную точку S с координатами х', у', z' и найдем координаты х, у точки Р на дневной поверхности, в которую после отражения от точки S придет сейсмический луч, вышедший из начала координат. Опре­ делим, кроме того, время t пробега волны по пути OSP. Получен-

11

ные значения х, у и t дадут нам положение одной точки на поверх­ ностном годографе волн, отраженных от заданной поверхности R.

Совокупность точек с координатами х, у и t, полученных для различных значений х', у' и z', дает поверхностный годограф волн, отраженных от заданной поверхности.

Для определения координат точек поверхностного годографа через координаты точек, лежащих па отражающей поверхности, напишем уравнение плоскости Q, касательной к отражающей

Рис. 4. К выводу уравнения поверхностного годографа волн, отраженных от криволинейной поверхности R, по­ крытой однородной средой.

поверхности в точке 5. Оно, как известно из дифференциальной геометрии, имеет следующий вид:

где X, Y и Z — текущие координаты точек, лежащих на каса­ тельной плоскости Q.

Сейсмические лучи OS и SP лежат в одной плоскости, прохо­ дящей через линию 00', являющуюся перпендикуляром, опущен­ ным из начала координат на касательную плоскость, и образуют

равные углы I с нормалью SN к отражающей поверхности в точке S.

Возьмем на продолжении прямой 00' точку О", являющуюся точкой зеркального изображения начала координат в касатель-

12

ной плоскости. Координаты точки О" обозначим через хо, уо и zo. Очевидно, что точка О" лежит в плоскости распространения сейсмических лучей OS и SP и является точкой пересечения про­ должения прямой SP с продолжением прямой 00'. Более того, отрезок О"S равен отрезку OS, что следует из равенства прямо­ угольных треугольников 00'S и O"O'S, имеющих общий катет O'S и катеты 00' и О'О" равны друг другу.

Следовательно, истинный путь пробега волны, вышедшей из пункта взрыва О, отразившейся в точке S и пришедшей в точку Р, может быть заменен равным ему по длине прямолинейным отрез­ ком О"Р при любом положении точки 5 на отражающей поверх­ ности R. Другими словами, длина пути пробега волн, вышедших из реального пункта взрыва, отразившихся от границы раз­ дела и пришедших к дневной поверхности, равна длине пробега волн до тех же точек дневной поверхности, если бы они были воз­ буждены в точке О" и распространялись из нее по прямолиней­ ным путям к точкам дневной поверхности в среде со скоростью г1. Поэтому точку зеркального изображения очага взрыва в каса­ тельной плоскости Q называют точкой мнимого пун­ кта взрыва, или мнимым пунктом взрыва. Эта особенность точки О" позволяет вывести уравнение поверхност­ ного годографа отраженных волн. Время пробега волны из точки О" в точку Р равно длине пути О"Р, деленному на скорость рас­ пространения волны г?1. Из рис. 4 видно, что

где X, Y и Z — текущие координаты точек, лежащих на прямой

00".

Из совместного решения уравнения касательной плоскости Q и прямой 00' могут быть найдены координаты точки их пере­ сечения О'. Из последнего уравнения имеем

X = — pZ,

Y=—qZ,

ственно.

13

Подставляя полученные значения X и Y в уравнение касатель­ ной плоскости, получим

Z _ z' = p(—pZ — х’) +g (—qZ — у').

Решая последнее уравнение относительно Z, найдем первую координату точки О’:

координатам точки О'. Следовательно, гго = —2рС, уо = —2qC, zo = 2С.

Значения х и у точки Р выхода отраженного от точки S сей­ смического луча на дневную поверхность можно определить как координаты точки пересечения прямой О"Р с плоскостью z = 0.

Уравнение прямой О"Р, проходящей через точки О" и S с ко­ ординатами хо, уо, zo и х', у', z , запишем в виде

X— х' у у' Z—z’

х0~х' ~ уй — у' ~~ ZO — z’ ’

где х, у, z — координаты любой точки, лежащей на прямой О"Р,

=: ЧУ' — Уо^'

Уz0 —z'

После подстановки в эти уравнения вместо жо, уо и zo найден­ ных выше их значений выражения для х и у получают вид:

14

координаты точек поверхностного годографа отраженных волн для любых значений х', у' и z точек, лежащих на отражающей поверхности, заданной уравнением z' = / (х', у').

В частном случае, когда уравнение отражающей поверхности дано в виде z' = /(ж') и z' не зависит от у', полученные уравнения несколько упрощаются, т. е.

(2Cp+xT+y'2+(2C^z7 =

Линейный продольный годограф по профилю, идущему вдоль оси Ох вкрест простирания отражающей поверхности, может быть рассчитан по более простым формулам, которые получаются

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОДОЛЬНЫЕ ГОДОГРАФЫ ВОЛН, ОТРАЖЕННЫХ ОТ ГРАНИЦ РАЗДЕЛА КРИВОЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ

А. Т. Айрапетян [1 ] вывел в явном виде уравнение линей­ ного продольного годографа воли, отраженных от круговой цилин­ дрической поверхности с различным радиусом и знаком кривизны. Уравнение было выведено в предположении, что образующие этих цилиндрических поверхностей параллельны плоской дневной поверхности, а профиль идет вкрест простирания образующих. Им же были рассчитаны линейные продольные годографы для случая, когда пункт взрыва и центр кривизны находятся на одной вертикальной прямой линии. Здесь в вертикальном сече­ нии, проходящем через линию профиля, отражающая граница имеет форму дуги окружности, обращенной выпуклостью вверх или вниз (рис. 5).

На рис. 5 приведены обобщенные годографы волн, отраженных от криволинейных границ раздела, построенные в осях коорди­ нат S/H и х/Н, гр<г S — путь пробега отраженной волны, Н —глу­ бина залегания отражающей границы раздела под пунктом взрыва

15

и х — расстояние точки наблюдения от пункта взрыва. hJH — параметр ветвей годографов отраженных волн и границ раздела, где lie — ордината центра кривизны отражающей границы раз­ дела. R = ± (Я — hr) — радиус кривизны границ раздела, зале­ гающих под пунктом взрыва на глубине Я. Положительные зна­ чения параметра /гс/Я отвечают тем случаям, когда центр кри-

Рис. 5. Обобщенные годографы волн, отраженных от поверхностей цилин дрической формы различной кривизны (по А. Т. Айрапетяну).

визны границы раздела находится ниже дневной поверхности (оси х/Н), а отрицательные значения параметра —- когда центр кри­ визны границы раздела находится выше дневной поверхности. Ордината центра отсчитывается от начала системы координат х/Н, h/Н. Абсциссы центров кривизны равны нулю, т. е. для всех рассматриваемых случаев центры кривизны расположены на оси h/H па разных расстояниях вверх и вниз от начала коор­ динат.

Значения параметров, изменяющихся от 0 до -|-1,0, отвечают сильно вогнутым границам раздела с радиусом R < Я (кривые

16

1 на рис. 5). При hJH — +1,0 отражающая граница раздела обращается в точку (1? = 0). При hJH — 0 она имеет форму дуги окружности с центром, расположенным в начале координат

(/? = И).

Значения параметров, изменяющихся от +1,0 до +сс, отве­ чают выпуклым границам раздела (кривые 3 на рис. 5), а значе­ ния параметров, изменяющихся от —со до 0, отвечают вогнутым границам раздела (кривые 2 на рис. 5) с радиусом кривизны R > > Н. При hciH — ± ос, граница. раздела становится плоской и горизонтальной.

Каждой ветви годографа, изображенной на рис. 5, соответ­ ствует своя граница раздела, имеющая то же значение параметра hdН, что и годограф.

Для упрощения чертежа положения границ раздела и отве­ чающие им годографы изображены лишь но одну сторону от оси /г/// и S/Н. Границам раздела, показанным кривыми 1, 2 и 3, со­ ответствуют годографы, изображенные теми же знаками.

Из рассмотрения рис. 5 можно сделать следующие выводы. 1. Выпуклым границам раздела (кривые 3, рис. 5) отвечают

близкие по форме к гиперболическим, но более крутые годо­ графы отраженных волн, наблюдаемые в той же стороне от пункта взрыва, в которой залегают отражающие границы раздела. Зна­ чительная разница в кривизне границы раздела вызывает сравни­ тельно небольшие различия во временах прихода отраженных волн.

2.Вогнутым границам раздела (кривые 2, рис. 5) с радиусом кривизны, большим глубины залегания границы раздела, отве­ чают годографы, форма которых сильно изменяется в зависимо­ сти от кривизны границы раздела. При небольших кривизнах годограф отраженных волн имеет форму, близкую к гиперболи­ ческой, но более пологую, чем в случае плоской границы раздела. При больших кривизнах годографы отраженных волн могут иметь форму, сильно отличающуюся от гиперболы. Они могут иметь, кроме минимума, боковые максимумы, сливающиеся по мере уве­ личения кривизны в один общий максимум. В этом случае годограф отраженной волны из гиперболы с минимумом на оси SIH превра­ щается в кривую с максимумом на этой же осн.

3.Годографы волн, отраженных от сильно вогнутых границ раздела (R < Н), имеют близкую к гиперболической форму, по более крутую, чем годографы от выпуклых границ раздела. При этом от участков отражающих границ раздела правее пункта взрыва годограф будет получеп на плоскости, расположенной левее пункта взрыва, т. е. будет перевернут.

Из рассмотрения годографов отраженных воли следует, что

наименьшее искажение формы наблюденных годографов можно ожидать при наблюдениях над выпуклыми границами раздела, и наибольшее — над вогнутыми, резко меняющими знак и вели­ чину кривизны.

Для иллюстрации этих положений на рис. 6 и 7 приведены формы годографов отраженных волн, которые можно получить

Рис. 6. Обобщенные годографы волн, отраженных от криволинейных границ раздела сложной формы.

при наблюдениях над границами раздела с переменной кривиз­ ной. Они являются результатом различных комбинаций границ

Рис. 7. Изменение формы годографа отраженных волн при изменении место-, положения пункта взрыва относительно границы раздела.

и соответствующих им годографов, изображенных на рис. 5. Из’ рассмотрения этих рисунков видно, что наиболее резко формы

18