Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

33.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 306 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

52	Б. Джадд. Теория атомных спектров

произвольного / и для любого двухэлектронного оператора е, являю щегося скаляром по R Î ) . Таким образом, мы имеем

	( ѳ и ѳ ) = [ Л ' / ( Л А - 2 ) ] 2			( 0 { \| ё ) ( в \| е \| ё ' ) ( е [ \| Г ) ,
			Ü, V
где Ѳ,	Ѳ и Ѳ'— сокращенные			обозначения		соответственно для
lKWxL,	/Л "- 1 №т£	и lN-Wx'L.	Умножая, далее,			последнее	соотноше
ние на	(2L + 1)	и суммируя по т и L , имеем
^\L](B\e\ff)=[NIN-2)]			2 И	(в I е \|в')	5 Ц	ï) D	(W)ID{W)=-
т> 1			о, и'
	=	[NHN-2)]	\D(W)ID(W)}		2	Н ( 0 \| е \| ѳ ) = О ,
					т, L

поскольку последняя сумма по предположению равна нулю. Та

ким	образом, если сумма обращается в нуль для		конфигурации
/ Л ' - 1 ,	она обращается в нуль и	для конфигурации	/і Ѵ . Как непо
средственно видно из табл. V I ,		указанная сумма равна нулю для

конфигурации g2 ; следовательно, она равна нулю для любой кон фигурации gN\ это можно проверить для конфигураций g3 и g!l с помощью табл. V I .

6.8. Другая сумма

Сумма самих собственных значений {eg) равна нулю для кон фигурации g2 ; однако это не распространяется на конфигурации g3 и g4 , как легко видеть из рассмотрения табл. V I . Однако указанное свойство оператора eg имеет одно интересное следствие. Если вы полняется соотношение

		2	ск=0,
то любой оператор		k нечетн
то любой оператор
2		2	' ^ ( ѵ ^ . ѵ п
і> j	k	нечетн
можно записать в следующем виде:
Ѵ2	2	*	(ѵ( > • ѵ<>),
где	к нечетн
где

Ѵ ( Л ) = 2 ѵ Г .

Гл. 6. Построение состояний	53
Сами операторы V<fe) в свою очередь обладают	очень интерес

ным свойством. При нечетном k их матричные элементы для тер мов максимальной мультиплетности инвариантны при отражениях относительно начетверть заполненной оболочки. Это связано с тем, что в отношении операторов W ) оболочка ведет себя как заполнен ная при N = 2/4-1; таким образом, сделанное утверждение просто эквивалентно утверждению, что матричные элементы инвариантны

при преобразовании «частицы — дырки».			Это		свойство инвариант
ности сохраняется	для	любого оператора,		который		можно	скон
струировать из операторов VW. Следовательно, собственные зна
чения оператора eg	для	конфигураций	g5,	g6	и g 7	должны	быть

идентичны соответствующим собственным значениям для конфи гураций g1, g3 и g2 , ибо сумма коэффициентов Ck равна нулю.

Указанной симметрией в отношении начетверть занятой обо лочки, с понятными уточнениями, обладают практически все опе раторы, интересные в атомной спектроскопии, при условии, конечно, что мы рассматриваем только термы максимальной муль типлетности. Это означает, в частности, что генеалогические коэф

фициенты нужно					рассматривать только до конфигурации I1.
						6.9.	Повторяющиеся собственные значения
	До сих пор мы ничего не сказали о самом поразительном свой
стве		табл. V I , о			повторении в ней отдельных собственных значе
ний		оператора	е5.			Так, например,		число		11 встречается трижды,
29	—	два раза,	9	—		шесть	раз и 15	—	пять	раз. Такие повторения

вряд ли случайны. Они характеризуют неприводимые представле

ния какой-то новой группы. В самом деле, для оператора			е/,	как
мы знаем, собственные	значения	(efi идентичны для термов 4Z), kG
и 'Ч конфигурации /3 ,	потому что	эти термы принадлежат	одному
и тому же неприводимому представлению (20) группы Go. Как				это
уже неоднократно подчеркивалось, нет никакого аналога			группы
Go для ^-электронов; и все же собственные значения оператора				eg,.

как оказывается, несут на себе по крайней мере внешне характер ные черты какой-то группы.

Перед тем как переходить к исследованию повторяющихся соб

ственных	значении, полезно напомнить, что оператор eg					можно
рассматривать просто как оператор				(U-Іг) для всех термов конфи
гурации g2 , кроме терма гР.		Поэтому, если какой-то			терм конфигу
рации g 3	не имеет терма 3Р	в	своей генеалогии, то		ясно,	что	соб
ственное	значение оператора	eg	равно собственному		значению		опе
ратора
		^	1	1
			ч	Ч>
т. е. оно	равно	i>J
т. е. оно	равно
	у 2 Л ( І + 1 ) - 3 / 2 / ( / + 1 ) .

54		Б. Джадд.		Теория	атомных спектров
Термы	4 Р , 4 77 / ,, 4 / , !іК и 4 М			конфигурации			g 3	как	раз являются
такого	рода	термами,	и	поэтому		пять	чисел,		появляющихся
в табл. V I , очень легко понять и проверить.
Далее, родительскими для терма W конфигурации g!i являются
термы 4 /, !іК		и 4ѵИ; следовательно,			для	этого		терма	конфигурации
g 4 собственное число (ее)			равно
	1 / 2 І ( / . + 1 ) - 2 / ( / + 1 ) = І / 2				• 10	• 11 - 2		• 4 •	5=15 .

Хотя этот пример и показывает, что отдельные собственные зна чения оператора es можно легко объяснить, он ничего не говорит о том, почему повторяются собственные значения. Для такого объ яснения, хотя бы поверхностного, нам нужен еще один, новый оператор.

				6.10.	Оператор	[е, af]
Рассмотрим коммутатор [eg,				а+ ]. Поскольку оператор ед в его
вторично-квантованной форме содержит два оператора						рождения
и два	оператора		уничтожения	(всего четыре оператора), то опе
ратор	[eg, а+ ]может быть не более чем тройной				формой	операто
ров рождения и уничтожения.
Оператор		eg	принадлежит	представлению	(1111) группы Ro,
и оператор af		— представлению		(1000). Следовательно,		оператор
[eg, af ]	должен		принадлежать	представлениям, содержащимся
в разложении		произведения

(ИП)Х(ІООО).

Однако в то же время он должен принадлежать представлениям, содержащимся в разложении произведения

(1000) X (ЮОО) X (1000).


Только одно-единственное представление			входит в		оба произве
дения: это	представление	(1110). Таким	образом,		оператор	[eg,
af] имеет	симметрию (1110) G. Подобным			образом	можно	пока
зать, что оператор [ел, af ]		имеет симметрию		(НЮО)Я.

Полученный результат приводит сразу к ряду следствий. Рас смотрим, например, состояние

І К а Ч к 2 3 Я > Г Л

где L — нечетное. Как хорошо известно, имеет место соотношение

((1110)О + (1100) Р К П 10) ^ / 7 ) = ( ( 1 П 0 ) О + ( 1 1 0 0 ) Р | ( 1 П 0 ) Я ) = 0 ;

это в точности условие того, что матричные элементы спин-орби тального взаимодействия, которое в орбитальном пространстве преобразуется по представлению (ПОО)Р, должны исчезать, если

Гл. 6. Построение состояний	55-
взять их между состоянием 4 G и любым другим квартетным	состоя

нием конфигурации g3. Из приведенного соотношения имеем, далее,.

{[*,. a i к 2 З Р > г ^ О ; где L — нечетное. Поскольку, кроме того,

	es\g23P)	=	U\g2SP),
то имеем окончательно
при L нечетном.
Таким образом,	получаем,	что	любое	состояние конфигурации
g3 с нечетным L ,	которое имеет		своим	родительским термом 3 Р,

должно быть собственной функцией оператора eg с собственным


значением 11. Этим объясняется:		(а)	что один	из двух термов 4 F
должен иметь своим чистым родительским термом					терм 3 Р	(как
это было показано в	разд. 6.6)	и	(б) что число		11 появляется
в та,блѴ V I три раза.	Поскольку	сі = 26 для		/і-электронов		(см.

разд. 6.3), мы заключаем, что собственные значения оператора вн для обоих состояний

при L = 4, 6 равны 26. Это согласуется и с результатом неопублико ванной работы Армстронга (см. разд. 7.1).

6.11. Повторения собственных значений для конфигурации g4

Можно также показать, что при нечетных L имеем равенство

((1110)ß + ( 1 1 1 0 ) O | ( l l l l ) Z . ) = 0 ;

оно следует из того, что представление (1111) встречается в сим

метрической части	разложения	произведения		(1110) X (1 ПО),
тогда как представление DL (при		нечетном L)	встречается в анти
симметрической части	произведения D^xDi		[21].	Следовательно,
при нечетном L имеем	равенство

\[et, а Ч | ^ О > Г > = 0 ,

и поскольку

легко прийти к результату

^ { а Ѵ 4 о » ( 2 і ) = - 9 И / " о > Г > ,

где L — нечетное. Другими словами, любой терм конфигурации g'k (при нечетном L), который имеет родительским термом 4 G, будет

56 Б. Джадд. Теория атомных спектров

собственной функцией оператора eg с собственным значением —9.

Термы bF, 5 Я	и 5К конфигураций	g 4 встречаются в ней по одному
разу, и поэтому для всех них должен быть возможным			выбор ро
дительского	терма 4С7. Поэтому	собственное значение	(е») =—9
встречается	четыре раза в табл. V I , хотя довольно странно, что не

все шесть раз.

Таким образом, остается объяснить, почему число —9 не по является в табл. V I еще два раза, а также объяснить повторение числа 15. Однако никакого разумного объяснения этим фактам автору до настоящего времени найти не удалось, так что эта проб лема пока что не разрешена (см. задачу 6.11). Как это видно из не опубликованной работы Армстронга, аналогичные повторения собст

венных значений наблюдаются в	случае А-электронов (см.
разд. 7.1).
6.12.	Другие мультиплетности

До сих пор мы занимались состояниями максимальной мульти плетности. При использовании схемы связи Шудемана для класси фикации состояний атомной оболочки такое ограничение несущест венно. Однако теперь, когда дано определение операторов eg и віх и им подобных, естественно спросить, ведет ли использование про

цедуры их диагонализации к однозначной классификации					также
и состояний,	не обладающих	максимальной	мультиплетностью.
Например, имеются два терма 2D		для конфигурации g3.		Могут		ли
собственные	значения оператора	eg различить	их или	же	они	на

них вырождены? Можно ожидать, что вырожденные собственные значения будут встречаться крайне редко, но вместе с тем следует

сказать,	что оператор	имеет	вырожденные	собственные значе
ния для термов, принадлежащих			одному и тому же представлению
U группы Go, причем		повторяющиеся значения		L встречаются при
£ /=(31)	н У = ( 4 0 ) .

Самый очевидный путь исследования этого вопроса — составить таблицы генеалогических коэффициентов для термов немаксималь ной мультиплетности. Однако эти таблицы очень скоро становятся

чрезвычайно громоздкими.	Поэтому	лучший	путь — и созвучный
с нашими рассуждениями	здесь — это	подход	Шудемана, при ко

тором состояния оболочки классифицируются путем связывания орбитальных моментов пространств А я В, определенных в разд. 6.1. Собственные значения (eg) из табл. V I будут появляться, конечно. Отбрасывая их, мы найдем собственные значения, возникающие непосредственно для состояний немаксимальной мультиплетности.

Рассмотрим, например, состояния конфигурации g3 , для кото рых Ms = 4z- Для них каждый оператор

Гл.	6. Построение	состояний	57
имеющийся в выражении	для eg, надо разбить на два, действую
щие в пространствах А и В соответственно. Это можно			сделать,
используя соотношения
2 ( v r v f , ) = 2 w t > - a f ) ) - h A w . B ( s i ,
1> ]	I>і
в которых А№ и В('1> обозначают суммы одноэлектронных			операто
ров a<k) и Ы'1і; для них справедливы		представления

здесь суммирование ведется по проекциям іщ и ?7г;'. В вышеприве

денном соотношении нет членов с (W^-Ы^),

так как в нашем слу

чае имеется всего один электрон в ß-пространстве. Для расчета матричных элементов оператора (A<fe'-BW) можно использовать стандартную технику тензорных операторов:

(g3(LAXG)L\(AU!)

• В ( * , ) | Л ^ Х О ) ^ > = 2 [ А ]

причем k— нечетное.	Оператор		2 j ( a ( f ) - a ^ } ) диагоналей, и его
собственные значения	равны		і>І

SU.-ь LA)(g-LA\		2	( ѵ і ^ - ѵ Л І в ^ .

і > j

Конкретизируем теперь наше рассмотрение и возьмем L = l. Кван товые числа Ь А И L ' A могут иметь только два значения, а именно 3 и 5, так что имеется два терма Р для конфигурации g3. Один из них, как мы знаем, это терм !іР; поэтому второй терм должен быть термом 2Р. Матрицу оператора eg легко построить, проводя сум мирование по k в вышеприведенных соотношениях (с соответст вующими весовыми множителями, подбираемыми по виду опера тора eg). Оказывается, что эта матрица имеет следующий вид:

	F			H
F /' — 14			(70/9)	-(5/9)(182)v A
H Ѵ-	(5/9)(182)'/ г			- 5 - ( 1 4 6 / 9 ) ) '
H Ѵ-		—		- 5 - ( 1 4 6 / 9 ) ) '

.58	Б. Джадд.		Теория	атомных спектров
Собственные значения приведенной матрицы равны								29 и		14.
Очевидно, что второе собственное значение надо сопоставить									терму
2Р.	Таким образом, мы доказали, что						—		—
	<g3 2P\es\g3			2 Я> =	- 1 4 .
	При рассмотрении несколько более сложного случая L = 2 полу
чается матрица вида
		F		И
	F	! - 1 4 - 7		О
	H	[	0	- 5 - 5 / 2 ;
Собственные значения		этой	матрицы		равны	21 и	15/2,		и по


скольку нет терма 4£) для конфигурации g'3, то оба этих собствен
ных значения должны соответствовать термам					—ZD. То,	—что мы		полу
чили различные	собственные		значения, свидетельствует				о том, что
с помощью оператора		eg действительно		можно разделить				оба
рассматриваемых	терма	2D.	Довольно	любопытен		факт		обра
щения в нуль недиагональных матричных				элементов		приведенной
матрицы. Он означает,		что	шудемановские		состояния		являются

собственными состояниями оператора eg. Для того чтобы увидеть это более непосредственно, рассмотрим шудемановское состояние \(FxG)D). Рассмотрим далее составляющую оператора eg,

которая содержит электроны і и /. Если это именно те электроны, которые связываются в терм F, то состояние \(FxG)D) будет собственным состоянием оператора е^К Если, однако, один из этих

операторов	соответствует	F,	а другой — G,	то надо проводить
пересвязывание:
I Kgkgi) F,	gjI D> = 2 ([4(44) L] 2 I [(44) 3, 4] 2) \| [gk				(gigj)	L]D>.
	L
Когда L четное, оператор		é>J~> при действии		на	правое	состояние
		а		только L = 3 и Ь = Ъ.
дает нуль, так что мы должны			рассматривать	только L = 3 и Ь = Ъ.

В последнем случае коэффициент пересвязывания случайно обра щается в нуль, так как

4	4	5 ) = 0
4	2	3 ]

•Следовательно, единственное правое состояние, которое нужно


рассматривать, — это			состояние	\| (GXF)D);		оно пропорционально
с точностью до перестановки электронов						первоначальному			состоя
нию. Представляя		себе процедуру			антисимметризации			состояния
I (FxG)D),	легко	усмотреть, что		это состояние			должно	быть соб
ственным	состоянием		оператора	eg,	как	это и	показывает		выше
приведенная матрица.			Интересно	отметить, что			обращение		в нуль

Гл. 6. Построение состояний			59
рассматриваемого 6/-символа,	согласно симметрии Редже,		связано
с обращением в нуль 6/-символа
5	3	51
3	3	з г

которое ответственно за то, что для f-оболочки действительно су ществует группа Gn (см. разд. 5.3).

6.13. Заключительные замечания

Основное внимание в этих лекциях до сих пор уделялось проб леме построения состояний. Это, казалось бы, далеко отстоит от

той проблемы, которая упоминалась в разд. 1.1						(относительно вы
рождения	энергий	термов 2Р	и 2 Я	для конфигурации d3). Однако,
поскольку	наша	основная	идея — это		обобщение		существующей
теории атомных оболочек на более				высокие значения			/, вопрос о по
строении	состояний оказывается самым				важным для нас. Таблицы
генеалогических		коэффициентов — это			таблицы	редуцированных
матричных элементов оператора af ,					и, конечно,		более благо
разумно начинать		с рассмотрения		этих	таблиц,	а	не непосредст

венно с рассмотрения матричных элементов операторов кулоновского взаимодействия, которые являются произведениями двух операторов уничтожения и двух операторов рождения.

Обобщение наших рассуждений на случай /г-электронов не давно было осуществлено Армстронгом (см. разд. 7.1), и его пред варительные результаты показывают, что при этом возникает ряд совершенно новых моментов. Что касается і-электронов, то здесь фактически ничего не известно, кроме таблицы термов, построен ной Шудеманом [16].

Большинство приводимых ниже задач, помеченных звездочками, показывают границы, до которых дошло наше исследование. Мы надеемся, что пройдет не слишком много времени и хотя бы неко торые из них будут решены.

					Задачи
6.1 * П о с т р о и т ь	состояние	6/	конфигурации g5, которое соот
ветствует бозонному	описанию	\| d5		(30) /), и посмотреть,	будет ли
оно собственной функцией оператора				ед.	6/-символа
6.2 *. Показать, что случайное			обращение в нуль		6/-символа
	{ 2	2		2 }
	13/2 3/2 3/2 )

" Звездочка означает, что решение задачи не известно автору; см. замечания автора в конце первой части.

60 5. Джадд. Теория атомных спектров

может (или не может) использоваться при теоретико-групповом

анализе	частиц, для	которых / = 3 /г и s = VzСоставить	таблицы
правил ветвления для различных групп.
6.3*.	Вадзинский	показал, что исключительную группу	Картана

Fit можно использовать для классификации состояний смешанных конфигураций

(s+d+g+/if

по схеме [22]
Найти примеры использования групп Ев, Еі	и Е&.
6.4. Доказать, что при сужении R0-+R3 имеет место соотно
шение
(70) — DGHIKL44NOQ	Т;

использовать этот результат для отыскания всех возможных тер

мов максимальной мультиплетности	для	конфигурации h1.
6.5*. Разложение представления	(70),	приведенное в задаче 6.4,
имеет симметричную структуру по	L (относительно терма L = 8,

который встречается дважды). Найти общее условие появления


такой симметричной структуры термов.
6.6*.	Естественно определить оператор е,-, полагая
для нечетных k, кроме значения k=\.		Найти с\		н построить	опе
ратор е'..						g2
6.7 *. Найти значения коэффициентов			для	конфигураций
и Ii2, предполагая, что Ms=l- Зависят		ли т^ от 5		и Ms, если 5	при
нимает	максимальное значение для конфигурации lN и если Ms					=

=S?

6.8*. Рассчитать величины 0,- и pj из разд. 6.5.

6.9*. Рассмотрение значений генеалогических коэффициентов

(g''®{I£3Ѳ) показывает, что терм 5D для конфигурации g'1 можно построить, беря в' качестве родительского либо терм llF', либо терм 4 / конфигурации g3, т. е.

| а Ѵ Ѵ О Г = МаѴ4 />Г.

где д. — числовой множитель. Почему это соотношение имеет место? Покажите также, что имеет место соотношение

{ a V ^ r W ( a W > r ,

но что никакого такого соотношения	не существует для третьего
повторяющегося терма 5 / конфигурации	g1.

Гл. 6. Построение	состояний	61
6.10*. Какие из генеалогических	коэффициентов	(g5 0{\|g4 9)
имеют нулевые значения? Проверьте свои заключения		непосредст
венным расчетом.

6.11*. Укажите простую причину, почему собственное значение (ея ) = 15 встречается четыре раза в третьем столбце табл. V I .

6.12*. Докажите, используя простые и наглядные				рассуждения,
что
\К а Ч \| / 4 Я > Г = 0 ,
и таким образом объясните	повторное	появление		значения —29
в табл. V I .
6.13*. Докажите, что состояние 5І' конфигурации				g 4	идентично
(с точностью до нормировочного множителя)			состоянию
(см. замечания в разд. 6.6).			операторы eg и
6.14*. Установите, являются ли (или нет)			операторы eg и
квазиспиновыми скалярами.
6.15. Рассматривая операторы
{(ьѴ)( ) (ьѴ)( ') }( 1 \
построенные из бесспиновых	бозонных	тензорных операторов b f ,
докажите, что представление	(40... 0)	группы	Ru+i	не	содержит

состояний Р при его приведении.

6.16*. Найдите число 5-состояний, появляющихся в разложении представления (2220) группы Rg. Постройте для ^-электронов трехчастичный оператор (из тензорных операторов VW нечетного ранга k), который преобразуется как (2220)S и производит то же разделение термов 'lF конфигурации g3 , что н оператор eg. Будет ли этот новый оператор производить то же расщепление термов конфигурации g'\ что и оператор eg?

6.17. Докажите, что собственные значения оператора eg для тех термов конфигурации g3 , для которых терм 3Р не является роди тельским, те же самые, что и собственные значения оператора

2 (1,-1,) [(s, . s,)+»/ 4 ] . l>j

6.18*. Рассчитайте собственные значения оператора eg для всех дублетов конфигурации g3.

6.19*. Рассчитайте энергетические матрицы кулоновского взаи модействия для всех термов конфигурации g3 . Будет ли энергия терма 2 Р той же самой, что и терма 2 0?

6.20*. Встретится ли представление (1 ... 10 ... 0) группы Яші хотя бы один раз в разложении произведения представлений

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 306 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.1 Mб30Дешко, Ю. И. Машинист сырьевой мельницы.pdf
#
19.10.20231.73 Mб8Дешко, Ю. И. Машинист шламовых насосов.pdf
#
19.10.20232.62 Mб2Деятельность Совета Экономической Взаимопомощи в области стандартизации..pdf
#
21.10.20239.23 Mб5Джавадов, Д. М. О некоторых явлениях, происходящих во взаимодействующих телах.pdf
#
22.10.202314.7 Mб17Джавахишвили, А. И. Строительное дело и архитектура поселений Южного Кавказа V - III тыс. до н. э.pdf
#
27.10.202333.93 Mб14Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf
#
19.10.20233.07 Mб16Джаджиев, В. К. Вибрации при растачивании и способы их устранения.pdf
#
19.10.20232.28 Mб14Джаджиев, В. К. Прогрессивные инструментальные материалы.pdf
#
19.10.20232.64 Mб10Джаджиев, В. К. Цельнотвердосплавные расточные резцы.pdf
#
19.10.20234.69 Mб9Джамбуршин, А. Ш. Колосоуборочные машины и механизмы.pdf
#
22.10.202310.53 Mб11Джапаридзе, О. Л. Перевозки зернопродуктов.pdf