книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров
.pdf22 |
Б. Доісадд. Теория атомных спектров |
В заключение необходимо сделать два замечания. Во-первых, вообще говоря, разрешать линейные уравнения для определения коэффициентов а, Ь, с, ... более трудно в общем случае, чем в слу чае группы Rz, поскольку операторы, подобные Vf'-Vj3 ), связывают
большее количество состояний, чем оператор L - S . Если вычисле ния проводить точно, то часто появляются большие целые числа даже при решениях довольно простых исходных уравнении. Это представляет определенную трудность, если мы хотим исполь зовать для такого рода расчетов электронную вычислительную машину.
Во-вторых, мы могли бы, конечно, работать |
на ^/-уровне, но |
||
тогда возникла бы необходимость |
знать значения |
соответствующих |
|
6£/-коэффициентов |
|
|
|
U" |
V" |
(2.1)1 |
|
U' |
U |
(10)}' |
|
а это само по себе составляет проблему. Поэтому более разумно использовать таблицы Ротенберга и др. [4] для 6/-спмволов и ра ботать на L-уровне.
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
2.1. Предполагая, что |
а + тензорный |
оператор |
при фиксиро |
||||
ванных |
ni, |
убедиться в |
справедливости соотношения |
|
|||
|
|
— |
|
|
|
||
{(аѴГ> ( а а Г > Р > = 2 |
IM M H M l ' V l ) ' ' * * ' |
X |
|||||
|
|
х { м У { ; ; ^ і ( . ѵ - ' ( л г в г + |
|
||||
|
|
|
|
|
+ |
([,] [k\№ |
М1''-(а*а)™>. |
2.2. Продолжить расчеты и доказать справедливость соотно шения
{(аѴ Г') (аа)( і , г ) )( 0 0 , -{(аа)( ^(аѴ) ( ' А ') )( 0 0 ) = |
|
|
||
= |
{М mm |
M)' / 2 [l + ( - i r + / i |
] |
[(а+ а)( 0 0 ) +(аа-70 0 ) ]- |
2.3. Обобщить |
предыдущий результат на |
соотношение |
||
{ ( a V ) ( S i ) ( а а ) ' 5 ' ^ } ^ (_i)*+*+l + {(aa)( S 'i ') |
( а Ѵ ) , И ) | ( , " = |
|||
= i [ 5 ] [ ^ m ^ } - { ^ y } { r : f } [ i + ( |
- i ) - ] x |
|||
X [ l + |
( - l ) s ' + |
i ' ] ( a + a ) ( I f t ) - 3 ( ^ 0)8(Ä, 0) X |
||
|
|
X [ l + ( - l ) s + i ] ( [ S ] [ L \ } ' < \ |
||
|
Гл. |
2. |
Связывание |
тензорных операторов |
23 |
|
2.4. Продолжить |
вычисления из |
разд. 2.3 и составить следую |
||||
щую |
таблицу |
значений |
для |
коэффициентов |
((110)£/ + |
|
+{\\\)U'\W{2\)):
uw
|
(11)(10) |
(10)(20) |
(И) (20) |
(210) |
1/4 |
1/2 |
(ll/16)v = |
(211) |
1/2 |
2/3 |
—(ll/36)'/ 2 |
(221) |
( l l / 1 6 ) V î |
— ( l l / 3 6 ) V s |
1/12 |
2.5* !>. |
Почему |
получаемая в задаче |
2.4 таблица симметрична? |
•> Здесь |
н далее |
звездочка означает, что |
решение соответствующей задачи |
не известно автору; см. также замечания автора в конце первой части.
ГЕНЕАЛОГИЯ
3.1. Определения
В точности так же, как мы используем общее обозначение Т<*й>
для (2и+1)(2&+1) |
компонент |
тензорного оператора |
, можно |
использовать общее |
обозначение |
|
|
|
| / ' Ѵ і > |
|
|
для совокупности всех состоянии |
|
|
|
|
I |
^SLMSML). |
|
Символ у здесь — дополнительный классификаторныіі |
символ, |
||
который необходимо вводить для однозначной характеристики со стояний. Введенное сокращенное обозначение состояний очень удобно при выписывании результатов связываний, проводимых с использованием соответствующих коэффициентов КГ. Так, напри
мер, можно |
построить |
состояние |і|>) конфигурации I х , |
привязывая |
к состоянию |
ty(=ySL) |
конфигурации / л ' _ 1 с помощью |
оператора |
порождения |
а * один электрон I: |
|
|
| б > = ! х { а + | Л - ' ^ З Г Г ' ;
обычно |
необходимо вводить множитель |
д., который обеспечивает |
|||
нормировку |
на единицу |
получаемого |
состояния т|з. Будем говорить, |
||
что яр |
это |
родительское |
состояние |
для |
состояния ір. |
Для данного состояния яр обычно можно указать несколько ро |
|||||
дительских— |
состояний. Как известно, имеется только один терм ~І |
||||
для конфигурации /3 ; поэтому все четыре |
состояния |
||||
| а + | / 2 7 > } ( , / ' 6 ) ,
{а + | / 2 3 Я » ( , / Л
{а + | / 2 3 ^ » ( , / ' 6 )
должны быть пропорциональными друг другу. Известно также, что
нет ни одного терма 4 |
Я для |
конфигурации |
f3, и поэтому |
(а+1 f |
3 Я » |
5 ) = ! af I f |
ZF)\^5)=0, |
В справедливости последних формул можно непосредственно убе диться, раскрывая в явном виде эти выражения и расписывая под робно выражения для состояний термов 3 Я и 3F.
Гл. 3. Генеалогия |
25 |
Когда терм SL появляется более одного раза среди термов кон фигурации /-ѵ, часто можно добиться хотя бы формального разде ления его пространства (т. е. такого разделения, при котором кулоновское взаимодействие не диагоналнзуется, но которое все же очень полезно в других отношениях), заменяя индекс у индексами неприводимых представлений определенных групп (например,
индексами W и U представлений групп R- и Gz). Если у обозна чает индекс состояния, которое имеет хорошую теоретико-группо вую классификацию, то этого, вообще говоря, нельзя сказать о со стояниях
потому что при связывании спинового н орбитального пространств получается лишь суперпозиция состояний с хорошо определенными теоретико-групповыми свойствами. Иногда, однако, родительские состояния можно выбрать так, чтобы получались состояния с хо рошей теоретико-групповой классификацией. Рассмотрим, напри
мер, |
два терма 2 Я |
конфигурации /3 . Они |
несут индексы |
представ |
|||
лений |
U={2\) |
и £ /=(11) |
соответственно |
[6]. Оператор |
рождения |
||
af |
в |
отношении |
группы |
G% преобразуется как соответствующее |
|||
ему одноэлектронное состояние, т. е. по неприводимому представ лению (10). Родительское состояние 3F также принадлежит пред ставлению (10), и поэтому при составлении состояния { a f і р 3 / 7 ) } ^ ) мы можем сконструировать только состояния, принадлежащие представлению, содержащемуся в произведении ( Ю ) Х ( Ю ) . Это
кронекеровское |
произведение |
содержит представление (11) и не |
|
содержит представления (21); |
следовательно, |
||
|
| / 3 2 Я ( 1 1 ) > = , { а + | / 2 ^ » ( , / ' - 5 ) . |
||
С другой стороны, терм |
3 Я |
принадлежит представлению (11), |
|
а произведение |
( Ю ) Х ( П ) |
несодержит представления (11) в своем |
|
разложении. Следовательно,
|
| / " t f ( 2 1 ) W { a 4 / a W ' , e ) . |
|
|
|
3.2. Генеалогические |
коэффициенты |
|
Поскольку |
а + •—тензорный оператор, для него |
можно |
рассмот |
реть редуцированные матричные элементы |
|
|
|
|
( е І И І Ю , |
|
|
где Q( = ySL) |
и Q(=ySL) —состояния конфигураций lN |
и / і Ѵ _ 1 со |
|
ответственно. Величины, которые даются формулой |
|
|
|
( - і Л л ^ і ш Г Ч е І а Ч ѳ ) .
26 |
Б. Джадд. Теория атомных спектров |
часто записывают сокращенно как (Ѳ{|Ѳ) и называют генеалоги ческими коэффициентами. Можно показать [10], что для действи тельных генеалогических коэффициентов имеет место соотношение
( 0 { | ѳ ) = ( - і П Л / [ 5 ] |
ЩГ'і>(0\\а\\0), |
|
|
|||
в котором |
|
|
|
|
|
|
X=N-\-S-T-I |
— S - |
1 - S |
- L . |
|
|
|
Генеалогические |
коэффициенты удовлетворяют |
определенным |
||||
соотношениям ортонормировки. Чтобы |
эти |
соотношения |
выписать |
|||
в явном виде, положим Q=ySL |
(см. выше) |
и B'^y'SL |
(обратите |
|||
внимание, что у S и |
L штрихов |
нет). Тогда |
имеем |
формулу |
||
2 ( ѳ { | ѳ ) ( о ' ( | е ) = ( - 1 Г - г - |
5 ^ { л / [ 5 ] |
[Ц)-'х |
ѳ |
|
|
х 2 |
( - 1 ) ? + г ( ѳ І | я + І Ю |
(öl e l i x |
ir |
|
|
Чтобы вычислить сумму в правой части, мы заменим величину
произведением двух 6/-символов
|
f s |
0 |
s) |
f I |
0 |
I \ |
|
|
[S |
S |
Sj |
\L |
L |
Ц' |
|
После |
этого можно воспользоваться |
|
формулой |
Эдмондса [8, фор |
|||
мула |
(7.1.1)] и получить |
|
|
|
|
|
|
2 ( о { | ѳ ) ( ѳ ' { І Ю = |
|
|
|
|
|
|
|
|
. = ( - 1 ) * + и Л Г ' { И |
[l\l[S\ |
[Ц)''-(в\(***)т\П |
||||
Теперь нетрудно доказать |
[10], что |
|
|
|
|||
откуда легко, далее, получить
( а + а ) ( Ш ) = - Л М И [ / 1 Г ' / ; . |
(б) |
Редуцированный матричный элемент этого связанного тензорного оператора получается умножением правой и левой частей соотно-
|
|
|
|
Гл. 3. |
Генеалогия |
|
27 |
||
шеиия (6) на |
{[S] [L]}' / 2 |
при условии, что состояния |
справа |
и слева |
|||||
идентичны. Таким |
образом |
мы приходим к заключению, что |
|||||||
|
|
|
2і( Ѳ { | Ю ( 0 ' |
!|û) = |
S(0, б'); |
|
|
||
напомним, что 0 и 0' |
имеют одни и те же S и L . |
|
|
||||||
Наличие выведенных соотношений ортогональности делает ча |
|||||||||
сто более удобной |
|
работу |
с генеалогическими коэффициентами, |
||||||
а не с редуцированными |
матричными |
элементами |
операторов а' |
||||||
или а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, |
что |
величина |
(0{|Ѳ) 2 имеет простую физическую |
||||||
интерпретацию: это |
доля |
в |
состоянии |
0 его родительского |
состоя |
||||
ния Ѳ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.3. |
Редуцированные матричные элементы |
|||||
Можно задать вопрос, чему равны |
редуцированные матричные |
||||||||
элементы (ѲЧІГ^ЦѲ), если |
одно |
из состояний (или |
оба) |
Q(=ySL) |
|||||
и 0'(n=Y'S'Z/) представляются через родительские состояния (Ѳ
пли Ѳ'). Конечно, мы не можем просто вместо ||Ѳ) поставить соот ветствующим образом связанное состояние, поскольку такое со стояние с двумя вертикальными чертами не имеет никакого смы сла (оно появляется только как составная часть обозначения редуцированного матричного элемента). Правильнее будет исполь зовать формулу
(Q'\\Tixll)\\ù)=(-]f |
+ |
L'+^k-s-L[S'\'u[L'}'^-X |
х < ѳ ' ж ; ж і | [ т ^ ч ѳ > ] л ; > і .
в которой состояние | 0) можно представить в виде
и в которой можно произвести пересвязывание. Рассуждая таким образом, можно получить
(0'l7<*f t ) ||û) = !x 2 HS] |
И |
[L] [ |
A M , v , ( _ i r + 5 + s ' + . . + , + i + i 4 - r |
x |
•A'h' |
|
|
|
|
X ? |
. ? s |
ï ï k |
f l ' } ( » ' l l ( T ' - « a T - ' " ' l « ) . |
(7) |
Конечно, в отношении состояния (0' | можно проделать все то же самое.
28 |
|
Б. Джадд. Теория атомных |
спектров |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3.4. Формула |
Редмонда |
||
В |
частном |
случае |
в формуле (7) положим Т<х,1) |
= |
а. Предполо |
|||
жим, далее, что Ѳ обозначает состояние конфигурации |
F п Ѳ' — со |
|||||||
стояние конфигурации |
/-ѵ _ 1 ; последнее |
будем записывать |
тоже |
|||||
как Ѳ. То, что |
прежде |
(в разд. 3.3) |
служило родительским состоя |
|||||
нием |
Ѳ, будем |
обозначать как Ѳ'. Тогда левая часть |
формулы |
(7) |
||||
будет |
фактически генеалогическим |
коэффициентом |
(0{|Ѳ), а |
пра |
||||
вая часть будет содержать редуцированный матричный элемент
тензора (аа+)(*'k '\ Опираясь |
на |
коммутационные |
соотношения |
(1), |
можно легко показать, что |
|
|
|
|
(аа + )( х '*' ) =(а+ а) ( , 1 '* , ) |
+ |
+ & (-/, 0) 8 (£', 0) |
[s\'u [t\''\ |
(8) |
Таким образом, разложение редуцированного матричного элемента
(в](а+ аГ*'1о')
в сумму произведений редуцированных матричных элементов
( ё | а+ р) (ѳЦаЦо')
с весовыми коэффициентами будет содержать промежуточные со стояния Ѳ конфигураций lN~2. Другими словами, генеалогический коэффициент (Ѳ{|Ѳ) для конфигурации /'ѵ можно представить как сумму произведений генеалогических коэффициентов (6{|Ѳ) п
(Ѳ'{|Ѳ) для конфигурации |
/j V _ 1 . |
Окончательно получаем |
N' (0 {I Ѳ)=8 (Ѳ, в')+(ЛГ - |
1) 2 |
(811§) (9' ( 13) ( - 1 ) 5 + 5 ' - ' Т ^ Г ' X |
x ( P l P ' ] [ r ] [ r ] ) - | s |
s |
S |
5 } { ^ f } , |
( 9 ) |
|
где |
|
|
|
|
|
Формула (9) называется формулой Редмонда |
[11]. Наш |
вывод |
|||
этой формулы отличен от вывода, данного самим |
Редмоидом. |
Важ |
|||
ность этой формулы в том, что она показывает, что таблицы ге неалогических коэффициентов можно строить последовательно,
исходя из совсем элементарных таблиц. Набор коэффициентов (Ѳ{ | Ѳ) (Ѳ фиксировано, Ѳ переменное) связан с каким-то одним родитель-
Гл. 3. Генеалогия |
29 |
ским состоянием 0'. Константу N' (зависящую от Ѳ, 0' и не завися щую от 0) можно определить (с точностью до фазового множи теля), используя условие нормировки генеалогических коэффици ентов.
3.5. Нули в таблицах генеалогических коэффициентов
Рассмотрим |
терм ty(=ySL) конфигурации F и |
предположим, |
||
что он имеет |
родительский терм |
Любой другой |
терм |
я|/ кон |
фигурации /і Ѵ , |
ортогональный терму о|з при всех Ms |
и ML, |
должен |
|
удовлетворять |
соотношению |
|
|
|
< ф Х л Г і | { а + | ф » ^ И і = 0 .
Раскрывая последнюю формулу и используя теорему Вигнера— Эккарта, мы получаем, что
( ф ' | а + | ф ) 8 ( 5 ' , S)b(L, |
L)=0. |
Другими словами, если S' = 5 и Z/ = L, то генеалогический коэф фициент H/{|if>) должен равняться нулю. Наоборот, если, за един
ственным исключением состояния |
все термы с данными 5 и L |
конфигурации /л г имеют нулевые |
генеалогические коэффициенты |
для одного и того же определенного родительского терма ty, то мы
можем быть уверены, что т|) |
имеет терм |
а|) |
своим |
родительским |
||||||||
термом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве |
примера |
рассмотрим |
табл. |
I I I |
генеалогических |
|||||||
коэффициентов |
для термов 3 Я |
конфигурации |
f4; |
в |
ней |
ненулевые |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
III |
|
Генеалогические |
коэффициенты термов 3Н |
конфигурации |
f |
|
||||||||
|
|
(100) |
(10) |
«/=• |
(210) (11)'Я |
(111) (20) 'D |
(210) (20) -D . . . |
|||||
(ПО) |
(11) |
з я |
X |
|
0 |
|
X |
|
|
X |
• |
• • |
(211) |
(11) |
з я |
0 |
|
0 |
|
X |
|
|
X |
• |
• . |
(211) |
(21) |
з я |
0 |
|
X |
|
X |
|
|
X |
• |
• • |
(211) |
(30) |
з я |
0 |
|
0 |
|
X |
|
|
X |
|
. . . |
генеалогические коэффициенты отмечены крестиками. Хотя эти генеалогические коэффициенты и не рассчитаны, мы можем без
30 |
Б. Джадд. |
Теория |
атомных спектров |
их вычисления |
заключить, |
что |
терм (110) (11)3 // имеет терм |
(100) (10)2 ^ конфигурации f3 своим родительским термом, а также
что для терма (211)(21)3 Я |
родительским будет терм (210)(11)2 Я. |
|
Оставшиеся два |
терма 3 Я |
можно получить только путем суперпо |
зиции соответствующих родительских термов. |
||
|
|
Задачи |
3.1. Докажите |
соотношение |
|
|
(/»Ч[ |Д>і5) = і |
|
и соотношение
( P S L { | / І 2 / ) = 1
при условии, что S + L четное. 3.2. Рассматривая величину
( ( а Ѵ Г ° U V ) " 4 " ' ! 0 0 ' ,
докажите, что нет ни одного терма 3 5 для конфигурации /4 .
К В А З И С П И Н
4.1. Квантовое число сеньорита
Оператор квазиспина Q был введен в разд. 2.1. Это обыкно венный скаляр как в спиновом, так и в орбитальном пространстве. Собственные значения оператора Qz легко найти, используя фор мулы, приведенные в разд. 2.1. С помощью выражений (6) и (8) получаем
|
[ / ] } ' / ' { 2 ( a + a r > + M , / s U ] , / , } = - V 2 ( 2 / + l - ^ ) > |
|
если положить, |
что s = VsКакого же рода состояния |
порождает |
квазиспиновый |
оператор сдвига Q+? Каждое действие |
оператора |
Q+ добавляет два электрона, связанных в полностью симметрич |
||
ный терм iS; такого рода состояния рассматривал еще |
Рака [12]: |
|
он назвал их принадлежащими одному и тому же значению кван тового числа сеньорита ѵ. Оно равно числу электронов в конфи гурации, в которой первый раз появляется данный терм из рас сматриваемой последовательности термов. Так, например, состоя ния
| / 3 2 Р >, (а Ѵ) ( 0 0 ) |/ 3 ^>>
|
(а Ѵ) ( 0 0 > ( а Ѵ) ( 0 0 ) |/ 3 2 Я> |
|
|
|
|
||
и т. д. все имеют квантовое |
число сеньорита ѵ = 3, так |
как |
для |
||||
первого состояния приведенной последовательности имеем |
j V = 3 |
||||||
(невозможно |
получить состояние \f32P), |
|
действуя |
оператором Q+ |
|||
на какое-то |
состояние конфигурации f 1 ) . |
Подобно тому |
как |
5 и |
|||
L — максимально возможные |
значения |
Ms |
и ML, |
число |
Q можно |
||
определить как максимальное |
значение |
MQ; тогда |
очевидно |
|
|||
|
Q = l / 2 |
( 2 / + 1 — о ) . |
|
|
|
|
|
4.2. Тройные тензорные операторы
Аналогично тому, как мы используем векторы S и L при опре делении тензорного характера различных величин в спиновом и орбитальном пространствах, мы можем также использовать вектор Q для характеристики свойств этих величин в квазиспииовом про странстве. Можно показать, что для данного | операторы а\ и
а\ |
вместе являются компонентами тензорного оператора ранга '/г |
по |
отношению к квазиспину. Поэтому совокупность операторных |