книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

Пользуясь формулами (15) и (15а), легко найти, что ср(2) содержит

простые характеры % ^ и %^з 1) по одному разу и что после их вы­ деления из ф( 2 ) остается простой характер

х ! 4 2 ) = 9 , 3, 0, - 1 , 1, 0, - 1 , 0, 1, 3, 0.

Третий составной характер <г/!3> находится путем составления суммы детерминантов главных двустрочных миноров приведенных матриц ,4S ; это дает характер

Четвертый составной характер ф(3> получается путем составле­ ния суммы перманентов главных трехстрочных миноров приведен­ ных матриц As; он равен

с?<3>=20, 8, 2, 0, 4, 2, 0, 0, 0, 0, 2.

Этот составной характер можно разложить на сумму простых ха­ рактеров

X { * } + Z { « } + X { « } + X < « ) ;

при этом получаем

Х { 3 , " } =5, 1, - 1 , - 1 , 1, 1, 0, 0, - 1 , - 3 , 2.

Наконец, пятый составной характер ф<21> получается, если сум­ мировать иммананты |aS (|<2 1 ) , составленные для главных трех­ строчных миноров приведенных матриц As, что дает

(р( 2 1 ) =40, 8, 1, 0, 0, - 1 , 0, 0, 0, 0, - 2 .

Разлагая <р(21> на сумму простых характеров

х { 3 2 . } + х { - } + х ( - } + х Р ) ,

получаем,что

Х { 3 2 1 } = 16, 0, - 2 , 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, - 2 .

Нет необходимости продолжать эту процедуру дальше, по­ скольку, как легко показать, имеют место соотношения

с помощью которых остающиеся характеры очень легко составить по уже вычисленным.

Окончательно мы приходим к следующей таблице характеров группы Se:

Отметим, что при составлении таблицы характеров для любой группы Sn нам необходимо знать таблицы характеров младших групп до порядка /- не больше /г/2.

В литературе имеются полные таблицы характеров симметри­ ческих групп до порядка 16! [12, 13, 23—26].

3.5. Функции Шура

Различные соотношения, выражающие функции а,-, Іг,- через функции Sr, можно получить, оперируя с разными формулами для производящих функций [29]. Для нас особенно важны два типа соотношений, которые выражают a,-, hr через S,-. Чтобыописать их, рассмотрим матрицу

построенную из степенных сумм. Как легко показать, для этой мат­ рицы имеют место соотношения

жно ожидать, что и другие имманаиты этой матрицы не менее

(Л) . Согласно (33) и (34), имеем (как частные случаи последнего

Пусть, далее, р обозначает класс (1а 2Р ... ) порядка /ір симмет­ рической группы S,. порядка г! и пусть по определению Sp = = S^SP ..., где Si, S2, . . . — симметрические функции, являющиеся

степенными суммами; тогда легко выразить суммы произведений

типа

р

жение (18)], через величины Sp (индекс при Р обозначает символ перестановки класса р), просто используя известные соотноше­ ния [29]

3.6. Формула Фробениуса для вычисления характеров

симметрической группы

Широкоизвестная формула Фробениуса, которую можно исполь­ зовать при вычислении характеров симметрической группы, непо­ средственно следует из формулы (40). Если умножить обе части равенства на %W и просуммировать по всем разбиениям (Я) с ис­ пользованием соотношений ортогональности групповых характе­ ров, то получим формулу

Заменяя далее о на р и умножая на знакопеременную функцию

При использовании формулы Фробениуса (41) для вычисления характеров надо приравнивать в правой и левой ее части коэффи­ циенты при a* i + n - 1 ak + n - 2 .. . crV Практически, однако, такое при­ равнивание (хотя оно и дает возможность построения всех харак­ теров) оказывается довольно громоздким, кроме самых простых случаев. В настоящее время имеется довольно обширная литера­ тура по описанию различных процедур вычисления характеров симметрической группы [10—13, 20, 30—35], однако здесь мы не будем останавливаться на этом вопросе.

3.7. Внутренние и внешние произведения для группы Sn

Введение в теорию симметрической группы понятий внутреннего и внешнего произведении неприводимых представлений исключи­

ществующей между этими двумя группами [6, 11], основные ре­ зультаты теории полной линейной группы и ее подгрупп можно вывести из соответствующих результатов, полученных для симмет­ рической группы. Кроме того, существует изоморфизм между муль­ типликативными свойствами 5-функций, или функций Шура, и мультипликативными свойствами групповых характеров симметри­ ческой группы и полной линейной группы, использование которого приводит к существенным упрощениям всей теории характеров этих групп.

3.8. Внутреннее произведение

Пусть (Si)P и (Si)a обозначают матрицы, представляющие эле­ менты Si в двух неприводимых представлениях р и о группы Я; тогда кронекеровские произведения этих матриц

№ ) Р Х ( 5 , - Г дают матрицы некоторого другого представления Я, называемого

внутренним произведением указанных неприводимых представле­ ний; это представление обозначается символом о ° а. Исследование

некоторой другой конечной группы Н", то мы будем называть

Они показали, также, что существует изоморфизм между обыч­

ниях 5-функций в (43), и теми разбиениями, которые нумеруют не­ приводимые представления симметрической группы, возникающие при разложении внешнего произведения рХо\

Приведем теперь несколько конкретных примеров на составле­ ние произведений 5-функций, а затем сформулируем общее пра­ вило.

Рассмотрим сначала произведение {1}{1}. Согласно (24), (29) и (36), мы получаем

и, поскольку

{ 1 2 } = 2 « і « 2,

заключаем, что

{1}{1} = {2} + {12}

или на диаграммах:

Рассмотрим теперь произведение {2}{1 2 } . Для него получаем

(2) = Л 2 = ^ <4-f-Tj °Ча2,

поэтому

{ 2 } ; { i 2 } = ( E « i + S « ^ ) ( 2 ^ 2 ) =

Как следует из вышесказанного, это произведение можно выра­ зить в виде суммы 5-функций веса 4 с целочисленными коэффи­ циентами. Действительно, используя формулу (40) и таблицу ха­ рактеров группы 54, легко получить

4! {31 ) =3S?+65?52 - 654 - 3SÎ,

4! {21 2 }=35f - 65?52 + 6 5 2 + 6 5 4 - 3522,

откуда

{31) + {21}2 =

Рассмотрев такого рода примеры, можно сформулировать об­

появляются 5-функции, соответствующие всем тем диаграммам, которые можно построить, добавляя всеми возможными способами

же столбце.