Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

33.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3012 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

114 5. Вайборн. Теоретико-групповые методы

з д е с ь / 1 Р ' , / ' и / І Ѵ ' — р а з м е р н о с т и представлений {р}, {о} и {ѵ} соответственно. Размерности представлений можно легко вычис лить, используя формул)' (9), по соответствующим угловым графам. Так, например, в вышерассмотренном случае (44) мы имеем

( 5 5 | 5 ^ ) ! 5 • 5 = 2 8 8 + 5 6 7 + 4 5 0 + 5 2 5 + 7 6 8 + 3 0 0 + 5 6 7 + +252+30 0 + 768+525+450+252 + 288.

Обе части этого выражения действительно равны; следовательно, формула (44) выдерживает проверку на размерность. Следует под черкнуть, однако, что указанная проверка не абсолютная: она за трагивает лишь размерности представлений, и всегда существует возможность случайных ошибок при наличии в разложении оши бочных неприводимых представлений той же размерности, что и истинные, или же неправильных линейных комбинаций неприводи мых представлений с суммой их размерностей, идентичной сумме размерностей правильной линейной комбинации.

3.11. Внутренние произведения ^-функций

Разложение по неприводимым представлениям внутренних про изведений {р} ° {о} неприводимых представлений симметрической группы является значительно более сложной задачей; к настоя щему времени было предпринято с большим пли меньшим успехом немало попыток [37—45] как-то упростить процедуру разложения внутренних произведений.

Так, Литтлвуд [42] пытался решить эту проблему, используя следующее определение внутреннего произведения 5-функцин. Если

(р) и	(а) —разные разбиения одного и того же целого числа п
и если
	ѵ ( ру°> _ Ѵ о - ѵ( , )
где	и т. д. обозначают соответствующие	характеристики сим
метрической группы, то выражение
	{ p ) » W = S ^ \| v }	(46)

считается внутренним произведением 5-функций {р} и {а}. Проб лема представления кронекеровских произведений пар неприводи мых представлений симметрической группы Sn в виде прямых сумм неприводимых представлений оказывается тогда эквивалентной проблеме составления внутренних произведений {р} °{о} функций Шура.

Литтлвуд доказал далее интересную теорему, которая позво ляет вычислять внутренние произведения S-функций, не прибегая

	Гл. 3. Функции	Шура		115
к таблицам характеров. Приведем формулировку этой				теоремы
(без доказательства).
Теорема	[42]. Для смешанного	произведения	функций	Шура
имеет место	соотношение
	( ( М { ^ ) ° ( Ч = Е ^ ( { ѵ } о { р } ) ( { , л ] о { а } ) ,			(47)
в котором
	\| p ) H = S r , , [ v ) .

В качестве примера использования этой теоремы для вычисле ния внутренних произведений 5-функций рассчитаем внутреннее произведение {51}°{321}. Согласно (47), имеем соотношение

((5}|l})o[321} =

2 r W W { 3 2 l ) ( { 5 } o { p J ) ( [ l } o [ a } ) .

Отметим, далее, что

{1} о {а} =

{1},

поскольку

может быть раз

биением только единицы, и {5}°{р} = {р}, поскольку

{5}

соответ

ствует

симметричному

представлению группы

Ss. Таким

обрезом,

(і5}о|1})с|321} =

ѵ г Ы { і

} ( з 2 і } ( р } { 1 }

=({32] +

{312) +

{ 2 2 l ) ) { l }

І42} +

(412} +

(32 }+3[321} +

{313} +

{23 } +

(22 12 }.

Однако, с другой стороны,

({5} [1})о {321} = {51} о {321} +

{6] ° (321) = {51} ° [321} +

{321|.

Следовательно,

{51} о (321} = {42} +

{412} +

{32 }+2{321)-|-{313 ) +

{23} +

{22 12 ].

Полученный результат

легко

проверить,

заметив,

что из

соотно

шения

следует соотношение для

размерностей

fW-W

=/{')/{•)

^Sg^/H.

(48)

Отметим, наконец, что существует ряд специальных формул,

справедливых в отдельных простых

случаях. В частности,

имеем

{ я - 1 ,

1 } ° { я - 1 ,

1} =

{л) +

{ я - 1 ,

\\ + {п-2,

2) + { я - 2 ,

I 2 ) ,

[п-\,

1} о (д —2,

2 } = = | л - 1 ,

1} +

{ я - 2 ,

2) +

{ я - 2 ,

12}

( « - 3 , 2 ,

1}.


116	Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы
( л - 1 , 1 } о { , г - 2 , 12) = ( / г - 1 , 1} + { л - 2 , 2} + { л - 2 , 12} +
	+ [ л - 3 , 2, 1} + [ л - 3 , I 3 ) ,
{п-2,	2 } о { / г - 2 , 2} =	{л} +	{ л - 1 ,		1 } + 2 { / і - 2 ,	2)	+
		+ [п-2,		12) + ( д - 3 , 3 } + 2 { / г - 3 , 2, 1} +
	+ { « - 3 ,	13) +	{ « - 4 ,		4} + { л - 4 ,	3,	1} + {/г-4, 22 }.

Эти формулы иногда дают 5-функции, записанные через со ставляющие не в обычном убывающем порядке. Такие 5-функции, однако, можно переписать в стандартной форме, используя пред ложенные Литтлвудом следующие три правила [13] для такого

рода	преобразований:
1. В любой 5-функции две последовательные составляющие мо
жно	переставить		при условии, что предшествующая					составляющая
уменьшается		на	единицу, а последующая				увеличивается		на	еди
ницу, отчего 5-функция				изменит только свой знак, т. е.
{>.,,	. . ., X;,	+	>ч + 2 ,	. • -,	^р}	=
		=	- { *	. . .	. .,	Ѵ ы - 1 . №	. ^ + а ,	• •	Ю-	(49)

2.Значение любой 5-функции, для которой одна какая-то со ставляющая на единицу превышает предыдущую составляющую, равно нулю.

3.Значение любой 5-функцпи равно нулю, если ее последняя составляющая отрицательное число.

В качестве примера применения указанных правил рассмотрим внутреннее произведение

(22}о[ 2 2 } = (4]-г -(31]-4г 2(22) + [2121 + і13)+2(121} + {14 }Ч-

		+ {04} + {031} + {022}.
Для него имеем
{121} = - { 1 2 1 } = 0	(по	правилу	1).
(022)= - { 1 1 2 } = 0	(по	правилу	2),
(04] = - { 3 1 )	(по	правилу	1).
(031) = - {211)	(по	правилу	1).
{13} = - { 2 2 }	(по	правилу	1)

и, следовательно,

{22}о{22) = {4} + {22} + {1-'}.

Гл. 3. Функции Шура

117

Заметим, наконец, что для сопряженных 5-функций, если

то

[ц °l\Pi=lLs^9 {р}

и, кроме того,

Эти общие формулы для сопряженных S-функций оказываются очень полезными при практических вычислениях.

Отметим в заключение, что внутреннее произведение {р} о {а} содержит единичное симметричное представление тогда и только тогда, когда {р} = {ст}, и антисимметричное представление {1™}

тогда и только тогда, когда {р} = {а}. Эти два замечания исклю чительно важны и используются в целом ряде проблем атомной спектроскопии [46].

ПОЛНАЯ ЛИНЕЙНАЯ ГРУППА

			4.1. ^-функции и полная линейная			группа
Матрицы бесконечного множества всех несингулярных						матриц/1
порядка	я 2 образуют		непрерывную	группу, которую	называют пол
ной линейной		группой	GL (я) п переменных. Теория характеров
этой группы тесно связана с теорией характеров					симметрической
группы	[6,	11, 13]. Исследование		неприводимых	представлений
группы GL (п) и ее подгрупп исключительно важно для интересую
щих здесь нас приложений теории групп к проблемам						квантовой
механики многоэлектронных атомов. В этой главе, однако,							мы да
дим лишь сжатое изложение теории представлений					группы		GL(n),
отсылая читателя за подробностями к соответствующей							литера
туре.

Рассматриваемая совокупность матриц А, составляющих группу GL (я), сама образует некоторое матричное представление этой группы, соответствующее унитарному представлению. Характер этого представления задается следами отдельных матриц А, эти следы в свою очередь эквивалентны элементарной симметрической функции ûi, составляемой из характеристических корней каждой матрицы А. При этом, как уже отмечалось выше [см. соотношение

т. е. один простой характер группы GL (я)		задается	5-функцией
{1}. Далее, для тривиального	единичного	представления нашей
группы GL (я) имеем простой	характер, задаваемый		тривиальной

.S-функцией {0}. Рассматривая оба эти случая, естественно спро сить, а нельзя ли вообще все характеры группы GL (я) представить как соответствующие 5-функции корней матриц А? Оказывается, можно.

			4.2. Составные	матрицы
Пусть X и Y — два вектора-столбца			с компонентами	xi,	х%, ...
..., хп	и г/ь уг, . •., tjn соответственно. Эти векторы-столбцы				можно
перевести, или преобразовать, в новые векторы X' и У				с помощью
любой	несингулярной матрицы	A=[ast],	так что будем	иметь
	Х'=АХ	и Y'=AY.			(50)

Мы можем, далее, составить я (я—1)/2 знакопеременных би линейных функций из компонент векторов-столбцов X' и Y'. Вводя для этих функций обозначения

xU=xly] — xjyi,

(51)

Гл. 4. Полная

линейная

группа

119

видим, что соответствующие

функции,

составленные для преобра

зованных векторов-столбцов X' и У, имеют вид

л - ' ' / = 2 aipxp S

ajqyq -

V. diqXg У, aJpyp,

(52)

так что здесь

коэффициентом

при xPi=xpyq—

xqyp

будет выра

жение

««/>«/'</

^Uj^jpz

(53)

Таким

образом,

матрица

преобразования

n(ii—1)/2

знакопе

ременных

функций

х'і — это

матрица,

элементами

которой явля

ются двухрядные миноры матрицы А; эта матрица

называется вто

рой составной

матрицей, образуемой для исходной матрицы А; она

обозначается символом А

) .

Х=(хі,

х% хз) и

В качестве

примера

рассмотрим

два вектора

(Уь У2, Уз) • Тогда, согласно

(50),

имеем

сі\2

ß-із

а\\Х\

-\-аі2х2-\-аІЗх3

Х2

Х-,

o*t)\X\

j а^оХ*) J

a23-^-3

Х3

« 3 1x \ ~\~~азіхч

аззхз

Уі

«1іУі +

«12У2+

«1зУз

Уг

«2іУі +

«22У2+«2зУз

Уз

«зіУі+ « з 2 У 2 +«ззУз

Составим выражения

для соответствующих

преобразованных

знакопеременных

функций. Получим, в частности, что

Хі2=хіу2

— х2уі

= («-IJJCJ -f- а12х2+а13х3)

(а 2 іУі+ а 22Уг+ « 2 3 У 3) —

— (я,,*! +

а.22х2-\- а23х3)

(аиуі+а12у2-\-а13у3)=

=(aM a 2 2 — a2 1 a,2 ) (лг,у2

л' 2 Уі)+(а І 1 а 2 3

— a21al3)

(хху3

—

хъух)-{-

(«12«23 -

« 2 2 « 1

)

С*2Уз — ^ЗУ2)

—

«12

«13

,'23

«21

«22

«21

«23

ЛГ

«22

«23

Подобным же образом получаем

Л""3

« и

«12

Х І 2

+ «11

«13

%! 3 + «12

«13

«31

«32

«31

«33

«32

«33

120	Б. Вайборн.		Теоретико-групповые				методы.
J C ' 2 3	= #21	^22	Л 1 2	+ # 2 1	а23		G>22		^23 •23
	#31	û 32					ß 32		^33 X
Таким образом, вторая составная матрица									для	матрицы /1
может быть представлена в виде
		#11		#12	#11	#13	# 1 2	# і з
		#91		#22	#21	^23	#22	#23
					# u	а13	# 1 2	# і з		(54)
		#31 CL:•32			#31	û 33	#32	а 33		(54)
		#31 CL:•32			#31	û 33	#32	а 33
			*21	а.у	#21	&23	#92	#23
		#31		#:32	#31	^33	#32	^33
Эта матрица является матрицей преобразования рассматривае
мых знакопеременных функций, т. е.
		ХП2-				~х>°~
						X13
						X23
Совершенно	аналогично			знакопеременные				функции		компонент
не двух, а г векторов		Хі,	Х2,	...,	Хт,	каждый		из	которых преобра
зуется одной и той же матрицей А,						будут преобразовываться с по

мощью матрицы, имеющей по («) строк и столбцов; элементами

этой	матрицы	являются		все г-строчные миноры исходной мат
рицы А. Получаемая матрица называется						г-н составной	матрицей
						fir )
для матрицы А и обозначается символом Ах						' .
Составные		матрицы Ах		, образованные для матриц А группы
GL(n),	очевидно,		дают	некоторое	представление нашей полной
линейной группы			GL(n),	поскольку	составная матрица		для про

изведения двух матриц равна произведению соответствующих со ставных матриц, т. е. имеется соотношение

[ Л 5 ] { 1 Г } = Л ™ к }

(55)

Вычисляя следы матриц Ах'1іг)', строим, таким образом, некото рый групповой характер группы GL(n).

В разд. 3.2 при обсуждении свойств элементарных симметрич

ных функций мы рассматривали функцию g(x)	[см.	выражение
(25)], для которой неизвестные переменные au	а 2 , ...,	а п были

Гл. 4. Полная линейная группа

121

корнями уравнения g(x)=0. Обозначая через л характеристиче ские корни матрицы А, получаем соотношение

е - ( Х ) = | Л - Х / | = л « - а 1 Х " - 1 + а 2 ^ - 2 + . . . + ( - 1 ) » а „ = 0 . (56)

Как отмечалось выше, коэффициенты ai, аг, ..., ап являются элементарными симметрическими функциями характеристических корней матрицы Л, равных суммам главных /--строчных миноров матрицы А. В рассмотренном выше примере матриц А порядка З2 мы можем рассмотреть симметрическую функцию а2:

	ап	а12	+	+
	а2Х	а.22	I	^32	а 33
как видим, это просто след соответствующей					составной	матрицы
А* '. Итак, приходим к выводу, что				S-функция { I 2 } корней			мат
риц А задает простой характер группы GL(ii).					Вообще, как		легко
видеть, справедливо следующее утверждение:
S-фунщии	{1Т} характеристических			корней	матриц А	группы
GL(n) являются простыми		характерами		этой группы.

Поскольку S-функция п переменных не может соответствовать разбиениям, содержащим более п составляющих, то можно сразу заключить, что S-функция {1™} матрицы А является скаляром, ко

торый просто	равен	детерминанту	т. е. {1™} =	{0}, где	{0} —
идентичное представление группы GL (п).
		4.3. Индуцированные матрицы
Для того	чтобы	построить другие	характеры	группы	GL(n),

нужно рассмотреть подробнее свойства индуцированных, матриц.

Возьмем

совокупность п неизвестных переменных Хі, х2,

. •., хп,

которые

преобразуются с помощью

матрицы A==[ast],

так

что

Х'=АХ.

Из

этих

неизвестных

переменных мы

можем

составить

п(п+\)/2

одночленов порядка 2, т. е. образовать

функции

' 2

Х\,

х2,

. . ., хп,

Х\Х2,

х^х^,

. . .,

хп_іХ„;

они преобразуются матрицей А в линейные комбинации

преобра

зованных одночленов

степени

2 по

преобразованным

переменным

х[,

х'г,

..., х'

. Элементами

матрицы

преобразования

этих

/г(д+1)/2 величин будут полиномы степени 2, составленные из элементов матрицы А. Эта матрица преобразования называется

второй индуцированной матрицей, составленной для матрицы А, и

обозначается символом А .

122	Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы
	Подобным образом одночлены степени г по х\,	Хг, .. ., хп	будут
преобразовываться с помощью матрицы, имеющей		по	строк

и столбцов; элементами этой матрицы будут полиномы степени г,


составленные из элементов матрицы А. Такая					матрица		называется
г-й индуцированной			матрицей, образованной		для	матрицы		А.
Проводя рассуждения, подобные приведенным выше в отноше
нии составных матриц, мы можем утверждать следующее:
S-функции	{г}	характеристических		корней	матриц		А	группы
GL(ti) являются		простыми характерами		этой	группы.
			4.4. Инвариантные				матрицы
S-функции	{1г }		и {/'}, являющиеся следами			соответственно

г-х составных и г-х индуцированных матриц, построенных для мат риц А, являются простыми характерами группы GL(n). При изло жении теории симметрической группы Sn мы убедились в пользе введения понятия имманантов матриц (промежуточных образова ний между детерминантом и перманентом), с помощью которых, как было показано, можно построить все групповые характеры группы Sn. Для того чтобы построить все характеры группы GL (/г), необходимо ввести аналогичное имманантам понятие инвариантных матриц; впервые в теорию представлений групп оно было введено Шуром [14].

Итак, определим инвариантные матрицы следующим образом. Пусть А — квадратные матрицы порядка п2 и пусть Т(А) — неко торые матрицы, элементами которых являются произвольные по

линомы,	построенные	из элементов	соответствующих матриц	А.
Если для	каждой пары	матриц А и В, порядка пг каждая, выпол
няется равенство
		Т{А) Г ( 5 ) =	Т(АВ),	(57)

то матрицы Т(А) называются инвариантными матрицами, образо ванными для матриц А. Очевидно, каждая совокупность инвари антных матриц задает некоторое матричное представление группы

GL(n). Матрицы А^х ^ и А^т\ составные и индуцированные мат рицы, рассмотренные в разд. 4.2 и 4.3, — это частные случаи ин вариантных матриц.

Матрицы, получаемые как прямые произведения двух сово купностей инвариантных матриц, опять являются некоторыми ин вариантными матрицами. Все совокупности инвариантных матриц, элементы которых являются однородными полиномами степени г по элементам матриц А, или просто все совокупности матриц сте

пени /•	можно получить, разлагая на неприводимые компоненты
прямые	произведения, составляемые из г	идентичных множите
лей А, т. е. разлагая матрицы, являющиеся		прямыми произведени
ями Ах	Ах. • - ХА (г сомножителей).

			Гл.	4. Полная	линейная		группа				123
	Как показал		Шур [14], если		А—матрицы			порядка	/г2,	то	для
них	существует		ровно	столько	неприводимых			совокупностей			инва
риантных матриц степени г, сколько						существует разбиений				числа г
на	не более	чем	п составляющих, и			что следы		этих	инвариантных
матриц являются			S-функциями		веса	г	от характеристических				кор
ней	матриц	А.
	Подробные рецепты			построения инвариантных матриц для							каж

дого данного фиксированного разбиения молено найти у Литтлвуда [47—49]. Заметим, что изложенный выше метод Литтлвуда и Ри чардсона [12] построения характеров симметрической группы мо жно рассматривать как частный случай использования этих рецеп

тов, когда в качестве		матриц А берутся	перестановочные матрицы
и когда	саму группу	Sn рассматривают	как подгруппу полной ли
нейной	группы.

4.5. Разложение прямых произведений представлений группы GL(n)

Процедура разложения прямых произведений представлений на неприводимые представления встречается во многих проблемах теоретической атомной спектроскопии. Прямое произведение двух

инвариантных матриц	А^	и	степеней m и п	соответственно
можно разложить в	прямую		сумму инвариантных	матриц А ,
т. е. можно записать
А И Х Л ( 1 ) = І І Г ^ ( ' } ;				(58)

здесь знак умножения означает обычное прямое произведение мат

риц и 2] — прямую			сумму.		Очевидно,			что	размерность	суммы
'ÈXV,\VA	' V j	равна inn.
Следы		матриц Л І	Ѵ ' ,	А^	и А^		являются соответствующими
S-функциями характеристических корней исходных матриц А, и
поэтому	разложение		прямого			произведения			характеров	группы
GL (п)	сводится к разложению					обычного произведения S-функций
по этим S-функциям,			т. е. к составлению					соотношений
			M	• М = 2 і Ѵ Х ѵ М ;						(59)

с этими соотношениями мы уже сталкивались выше при рассмот рении внешних произведений неприводимых представлений симмет рической группы S„. Разбиения (ц) и (К) — это разбиения чисел m и п; разбиение (ѵ) —это разбиение числа т + п. Поэтому правиль ность разбиений (59) можно проверить, используя соотношения

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3012 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.1 Mб30Дешко, Ю. И. Машинист сырьевой мельницы.pdf
#
19.10.20231.73 Mб8Дешко, Ю. И. Машинист шламовых насосов.pdf
#
19.10.20232.62 Mб2Деятельность Совета Экономической Взаимопомощи в области стандартизации..pdf
#
21.10.20239.23 Mб5Джавадов, Д. М. О некоторых явлениях, происходящих во взаимодействующих телах.pdf
#
22.10.202314.7 Mб17Джавахишвили, А. И. Строительное дело и архитектура поселений Южного Кавказа V - III тыс. до н. э.pdf
#
27.10.202333.93 Mб14Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf
#
19.10.20233.07 Mб16Джаджиев, В. К. Вибрации при растачивании и способы их устранения.pdf
#
19.10.20232.28 Mб14Джаджиев, В. К. Прогрессивные инструментальные материалы.pdf
#
19.10.20232.64 Mб10Джаджиев, В. К. Цельнотвердосплавные расточные резцы.pdf
#
19.10.20234.69 Mб9Джамбуршин, А. Ш. Колосоуборочные машины и механизмы.pdf
#
22.10.202310.53 Mб11Джапаридзе, О. Л. Перевозки зернопродуктов.pdf