книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

тельно, она имеет 5 неприводимых представлений. Вообще число неприводимых представлений любой симметрической группы Sn просто равно числу разбиений числа п на убывающие целые поло­ жительные числа. Каждый класс группы Si, можно однозначно ха­ рактеризовать заданием соответствующего ему разбиения, и, как

Мы можем характеризовать каждый класс сопряженных эле­ ментов группы Sn своим разбиением [А.]=[Л,і, Яо, . . . К[], таким, что

Поскольку циклы в данном разбиении можно располагать в совер­ шенно произвольном поряде, то можно считать без ограничения общности, что Xi^fe&z . . . ^ Л - п ^ О .

Как показал Юнг, каждому классу сопряженных элементов [К] однозначно соответствует свое неприводимое представление, ха­ рактеризуемое диаграммой Юнга, которая имеет вид

11

Вообще для группы Sn с каждым разбиением связана своя диаг­ рамма Юнга.

2.11. Сопряженные диаграммы Юнга

Диаграмма, получаемая путем перестановки строк и столбцов диаграммы Юнга [Ц, называется сопряженной диаграммой и обоз­ начается как [%]. Например, имеем сопряженные диаграммы

следовательно, [~ц = [2 izj.

Если [Х\ = [X], то такое разбиение называют самосопряженным.

располагаются в лексикографическом порядке. Эти последние схемы называются стандартными схемами Юнга.

Например, рассмотрим группу S4. Для диаграммы Юнга [4] имеется всего одна стандартная схема, а именно Ы2ІЗТ4І ; для диаграммы [3 1] имеются три стандартные схемы Юнга:

2.13. Размерности неприводимых представлений группы Sn

Резерфорд [10], Робинсон [11] и Бёрнер [17] доказали не­ сколько теорем относительно стандартных схем Юнга и, в частно­ сти, следующие две теоремы:.

диаграмм Юнга. Это диаграммы Юнга, в ячейках которых рас­

ß—число ячеек этой диаграммы, расположенных ниже данной

вующий ей угловой граф имеет вид

(I -11 2| 11

ш

Обозначим через /о, U, ... Іѵ угловые длины ячеек первого столбца данного углового графа. Тогда произведение всех угловых длин ячеек этого углового графа можно рассчитать по следующей фор­ муле:

Формулу (9) можно использовать для быстрого определения размерностей неприводимых представлений, соответствующих раз­ биениям [К].

Если рассматриваемая группа имеет К классов, то каждый ее характер будет составлен из À, отдельных характеристик и, по­ скольку число классов конечной группы равно числу ее неприво­ димых представлений, то всего имеется А,2 характеристик. Эти характеристики можно расположить в некоторой квадратной таб­ лице, которая называется таблицей характеров. Например, для группы Si имеем таблицу характеров

В этой таблице индексы разбиений числа 4, заключенные в фи­ гурные скобки, обозначают отдельные неприводимые представ­ ления.

2.17. Свойства ортогональности характеров

Строки таблицы характеров удовлетворяют соотношению орто­ гональности

р

мые представления имеют составные характеры. Любой составной характер ср (представляемый сокупностью характеристик срр) с ис­ пользованием соотношений ортогональности всегда можно выра­ зить в виде суммы простых характеров, если только значения этих последних известны. Положим, что

тогда коэффициенты gi можно найти, используя соотношения орто­ гональности простых характеров:

Для простого пли составного характера имеем следующее соот­ ношение:

поэтому условие того, что характер простой, приобретает вид

2.19. Иммананты матриц

Литтлвуд и Ричардсон [12, 20] ввели важное понятие имманантов матрицы, которое естественным образом обобщает понятия детерминанта или перманента данной матрицы [21, 22]. Это поня­ тие имманантов матрицы является ключевым при развитии теории характеров симметрической и полной линейной групп.

Иммананты данной матрицы порядка га2, т. е. матрицы

М,

где s — номер строки и t — номер столбца матрицы, определяются следующим образом. Пусть S — некая перестановка еі, е2, ..., еп

7*

Рассмотрим иммананты матрицы [ast] порядка З2 . Соответст­ вующая таблица характеров для группы 5з имеет вид

2.20. Иммананты и характеры

Литтлвуд и Ричардсон [12] использовали развитую ими теорию имманантов для составления таблиц характеров симметрических групп до порядка 10!.

манантов главных /--строчных миноров матриц As оказываются не­ которым составным характером группы Sn [21]. Если главный ми­ нор является перестановочной матрицей, его иммананты могут быть составлены непосредственно из таблицы характеров симметричес­ кой группы порядка г\. Если он не является перестановочной мат­ рицей, его иммананты — нули.

2.21. Характеры и разбиения

Поскольку число характеров равно числу классов группы Sn и поэтому равно числу разбиений числа п, то естественно связы­ вать каждый простой характер со своим разбиением. Характер, сопоставляемый данному разбиению, будет единственным, если по­

Индексы разбиений, обозначающие характеры, мы заключаем в фи­ гурные скобки, а обозначающие классы,— в круглые скобки.

Если какой-то характер получен как сумма имманантов глав­ ных миноров порядка (п — ?ч)2 и эти иммананты соответствуют приводимому ниже разбиению числа п—-Хі:

Если указанное соответствие устанавливается последовательно при переходе к минорам и имманантам более высоких порядков, то получается очень логичная классификация простых характеров.

2.22. Приложения к группе SG

Построим теперь, к примеру, характеры группы Se описанным способом. Каждому разбиению числа 6 соответствует свой класс. Всего группа 5б имеет 11 классов, которые приводятся ниже с указанием их порядков:

Первый характер, %х \ равен единице в каждом классе. Далее, типичные перестановочные матрицы As для каждого класса можно взять в виде

Составив перманенты для всех одночленных главных миноров этих матриц, что эквивалентно составлению следов приведенных матриц, получим составной характер ср(1) = 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 0, 0, 0, 0. Как следует из соотношений (21) и (22), имеющийся в этом составном характере новый простой характер надо снабдить ин­ дексом разбиения {51}. Выделяя из ср(1) простой характер %^6 \ по­ лучаем характер

? ( І ) ' = 5, 3, 2, 1, 1, 0, 0, - 1 , - 1 , - 1 , - 1 ;

поскольку, согласно (16),

2ftp<p('>'2 =6!,

то можно заключить, что этот характер cpW является действительно простым характером и, следовательно,

<р( , ) =х<в >+х<">

и

Х { 5 , } = 5, 3, 2, 1, 1, 0, 0, - 1 , - 1 , - 1 , - 1 .

Второй составной характер можно получить, составив перма­ ненты главных двустрочных миноров приведенных матриц As; это дает характер

ср<2> = 15, 7, 3, 1, 3, 1, 0, 0, 1, 3, 0.