книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

Формулы (120), (121) можно взять за основные при расчетах кронекеровских произведений и плетизмов характеров четырехмер­ ной группы вращений. Так, например, для кронекеровского произ­ ведения [21] [2,—1] имеем

{ 3 } { l } ' { l ) { 3 ) ' = ( { 4 } + (31})({31j'+{4}') = ({4} + {2})({2}' + {4}') = = (4) [2)' + {4) {4}' + { 2 } { 4 } ' + | 2 } {2}';

следовательно, [21] [2, _ 1 ] = [31] + [4] + [3, - 1 ] + [2].

Используя формулы (120), (121), можно легко получить общее правило для разложения кронекеровских произведений четырех­ мерной группы вращений [84а]:

t и

+[33]'+2[11]' .

7.5. Шестимерная группа вращений /?(6)

Эта группа важна при теоретико-групповом исследовании кон­ фигурации (d+s)n. Как заметил Литтлвуд [52], группа R (6) изо­ морфна четырехмерной полной линейной группе, и в частности

Поэтому, учитывая выражение (91), мы можем использовать соот­ ветствие [84а]

для того чтобы рассчитывать кронекеровские произведения и плетизмы характеров группы R(6). Например, используя (124) и (125), легко получить, что

[111] [111] = [222] + [211] + [200],

[11, — I I [11, - 1 ] = [22, - 2 ] + [21, - 1J + I200], [111] [11, - 1 ] = [000] + [220] + [110];

поэтому для полной ортогональной группы 0(6) имеем

[ Ш ] ' [ Ш ] ' = [ 1 П ] [111] + [П, - 1 1 111. —11-1-2 [111] [11, - 1 ] = = [222]' + [211]'+2 [220J+2 [200J+2 [1101+2 [0001.

Соответствие (124), (125) очень ценно для расчетов плетизмов группы R{Q). Так, например,

нако в приложениях теории групп к проблемам теоретической атом­ ной спектроскопии часто оказывается необходимым знать также и другие разложения характеров неприводимых представлений груп­ пы п измерений при сужении ее до подгруппы меньшего числа измерений или при сужении ее до подгруппы, являющейся прямым

опираясь главным образом на соображения размерности; он начи­ нал с тривиальных разложений и переходил ко все более и более сложным. При таком способе действий, однако, вычисления часто оказываются очень громоздкими и не всегда однозначными. Алге­ бра плетизмов Литтлвуда позволяет дать простое и полное решение всей этой проблемы в самом общем виде.

Рассмотрим группу G, имеющую собственную подгруппу Я. Ха­ рактер неприводимого представления группы G, соответствующего разбиению (1),'всегда тривиально разлагается по характерам ее подгруппы Я . Например, очень легко установить следующие резуль­ таты:

Обозначим теперь символами -fcX} характеры группы G и сим­ волами -(р> характеры ее подгруппы Я . Тогда оказывается спра­ ведливой следующая теорема.

Плетизм, появляющийся в (132), можно рассчитать обычным способом, выражая сначала характеры групп G и Я через 5-функ- ции и рассчитывая плетизмы 5-функций, связанных с этими харак­ терами группы Я . Доказательство теоремы вытекает из рассужде­ ний на стр. 141 —143.

7.7. Примеры правил ветвления

Проиллюстрируем теперь применения теоремы из предыдущего раздела на нескольких примерах.

Разложим характер {1"} группы Uu+2 по характерам подгруппы SU2XR2U1. Согласно формулам (126) и (132), имеем

здесь учитывается, что группы SU2 и GL (2) изоморфны. Возникаю­ щий плетизм можно разложить, используя формулу (96):

где суммирование ведется по всем разбиениям чисел п, для которых (1П ) появляется в разложении внутреннего произведения {р,} °

°Поскольку для GL (2) 5-функция {ц.}' не может иметь более

двух составляющих, то разбиения (д.) числа п на более чем два чи­

сла не надо рассматривать. В случаях когда разбиение {р,} имеет

точно две составляющие, т. е. в случае {ц} = {(Хі, |Яг}, мы имеем

{і-іі, Р-г} = {|-іі — (-І2}. Учитывая изоморфизм SU2 и GL(2), получаем

Таким образом, разложение фактически закончено, так как те­ перь остается только найти 5-функции, соответствующие разбие­ ниям не более чем на / составляющих, и выразить их через харак­ теры группы R21+L Так, например, при сужении £/і4->5£/2Х-#7 имеем

здесь размерности представлений [%]' группы StA, равные 2Â.+ 1, выписаны левыми верхними индексами при символах представле­ ний группы /?7 в соответствии с обычными спектроскопическими обозначениями.

В качестве еще одного примера разложим характер [200] груп­ пы R i по характерам группы R3. Из формул (129), (132) видим, что

Наконец, в качестве последнего примера рассмотрим разложе­ ние характера [111] группы Ros по характерам группы SL^XSpu. Из формул (127) и (132) находим, что соответствующие характеры группы SUzXSpu имеются в плетизме

Ш Ч О ® [ I 3 ] . Для этого плетизма выполняется соотношение

[ ' / 2 ] ' < 0 ® ' [13 ] = {1)'{1)®> ( I 3 ) . что с учетом формулы (133а) равно

Разлагая характеры {111} и {210} по характерам группы Spu по формулам (80), (81), окончательно получим формулу

встречается в теоретической атомной спектроскопии. Когда изве­

очень упрощается, если сначала найти правила ветвления к группе GL (2) и потом использовать то, что неприводимые представления группы GL (2) остаются неприводимыми для ее подгруппы U (2), а также то, что группа 0(3) изоморфна группе GL (2).

Характеры группы GL (2) даются S-функциями, имеющими не более двух составляющих, и поскольку S-функции, имеющие ровно по две составляющие, можно свести к S-функциям, имеющим лишь одну составляющую, в силу наличия соотношения эквивалентности {ці, цг} = {і^і — р.2}, то вообще можно ограничиться рассмотрением

5-функций, состоящих из одной-единственной составляющей. Как показал Мурнаган [55а, 79], это в свою очередь приводит к так на­ зываемому эрмитову принципу взаимности, согласно которому для группы GL (2) можно утверждать, что

[m] ® [k) = {k] ® [m],

где m и k — положительные целые числа. Этот результат можно ис­ пользовать, чтобы установить следующую рекуррентную формулу:

[m] ® {k} = {m-2} ® {£} + М ® { А - 2 } + ( { о т - 1 } ® { А - 1 } ) Х

Х ( { / Я + А — 1 } — { i r e + Ä — 3 } ) .

при условии, что известно разложение характера {1}. Правила вет­ вления для разложения характеров группы GL(ri), соответствую­ щих разбиениям на пары составляющих, можно вывести, замечая, что

в правую часть входят плетизмы однокомпонентных разбиений, ко­

8

КЛАССИФИКАЦИЯ АТОМНЫХ с о с т о я н и и КОНФИГУРАЦИЙ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ

8.1. Классификация атомных состояний

Обычные теоретико-групповые методы классификации атомных состояний конфигураций эквивалентных электронов хорошо описа­ ны Джаддом [15]; Джадд [87, 88] недавно рассмотрел также и бо­ лее элегантный подход, использующий метод вторичного квантова­ ния.

В этой главе мы будем рассматривать классификацию атомных состояний с помощью алгебры плетизмов Литтлвуда. При этом сна­ чала остановимся на классификации рассел-саундерсовских, SL- термов конфигураций эквивалентных электронов, а затем рассмот­ рим случаи //- и LL-связей.

Хотя мы здесь ограничиваемся проблемами атомной спектроско­ пии, однако все сказанное можно перенести без каких-либо прин­ ципиальных изменений на проблемы ядерной спектроскопии, в ко­ торой приходится иметь дело как со спиновыми, так и пзоспиновыми функциями.

Как известно, полную собственную функцию отдельного элек­ трона можно записать в виде произведения орбитальной и спино­ вой функций. Когда орбитальная функция преобразуется по пред­

ной конфигурации, будут антисимметричными функциями, которые можно просто построить, составляя произведения из одноэлектрон­ ных функций, каждая из которых зависит от своей из п электрон­ ных координат. Эти функции будут преобразовываться по предста­

это представление, вообще говоря, приводимо. Исследуя разложе­ ние указанного плетизма, мы получаем классификацию атомных со­ стояний.

8.2. LS-связь

В этой схеме связи орбитальное и спиновое пространства волно­ вой функции рассматривают независимо. Поэтому, в частности, го­ ворят, что одноэлектронные волновые функции преобразуются по