книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

144 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

Хотя в основном мы будем заниматься плетизмами в приложе­ нии к линейной группе и ее подгруппам, стоит отметить, что сама операция плетизма очень естественно интерпретируется как опера­ ция составления симметризованных внешних произведений непри­

Операция плетизма дистрибутивна по правой компоненте в от­ ношении сложения, вычитания и умножения. Предполагая, что опе­ рация плетизма всегда выполняется прежде обычного умножения, которое всегда выполняется раньше сложения, можно записать сле­ дующие формулы, выражающие правила оперирования с плетиз­

мами:

Операция плетизма не дистрибутивна в отношении сложения, вы­ читания или умножения по левой компоненте.

Литтлвуд [13, 27] вывел другие, приводимые ниже правила опе­ рирования с плетизмами, позволяющие построить полную алгебру плетизмов:

вых частях, не обязательно должны быть 5-функциями; они могут быть любыми функциями соответствующих переменных. Например, это могут быть функции, преобразующиеся по любому представле­ нию какой-либо подгруппы группы GL (п).

6.4. Вычисление плетизмов .S-функций

Зиа-ад-Дин [64] и Ибрагим [65—67] составили таблицы для разложений плетизмов {м-}® {ѵ} для всех разбиений вплоть до по­ рядка 18. Много примеров плетизмов можно найти также в статьях Литтлвуда [63]. Вообще было предпринято немало попыток разра­ ботки методов эффективного вычисления плетизмов S-функций [68—84а]. Здесь мы кратко остановимся только на самых важных.

Приведем четыре теоремы, которые позволяют получать явные выражения для разложений рассматриваемых плетизмов.

Теорема I [63]. Пусть имеется явное выражение для плетизма

W ® W = S { v } .

тогда имеет место формула

(97)

В предположении, что разбиение (я) —это разбиение на однуединственную составляющую, выражение (97) существенно упро­ щается и мы получаем

Сформулированную теорему обычно называют «третьим мето­ дом Литтлвуда». Теорема дает возможность определять S-функции {ѵ}, появляющиеся в разложении рассматриваемого плетизма, пу­ тем отыскания в сумме 2]Гі£Ѵ {£} S-функций, которые получаются при удалении всеми возможными способами по одной ячейке из диа­ грамм, соответствующих S-функциям, появляющимся в этом раз­

6.6. Примеры плетизмов «S-функций

Рассмотрим теперь несколько примеров, показывающих, как ис­ пользовать сформулированные в предыдущем разделе теоремы.

Для того чтобы рассчитать плетизм

(31}®{2}=2М,

применим сначала теорему I и рассчитаем величину

соответствуют главные части {62}, {513 }, {42 } и {32 12 }. Используя формулы (107) и (111), мы находим, далее, что

((2}®{12 })((12 }® {12 })={212 } {31};

(31) ® (2} = (62) + {5211 + {513 )4-{42 ) + (431} + {422 ! + {32 12 );

последнюю формулу можно проверить, если использовать формулу (113), согласно которой получим

/ Ü 3 1 } ® (21) = 3 1 5 = 2 0 + 6 4 + 3 5 + 1 4 + 7 0 + 5 6 + 5 6 .

Пользуясь формулой (104), из полученного разложения для плетизма {31} ® {2} сразу получаем разложение другого плетизма

{212} ® {2) = {22 14 ) + {3213) + {414) + {241 + {3221) + {32 12 ] + {422 }.

7

ПЛЕТИЗМЫ ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ ПОДГРУПП ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ

До сих пор мы рассматривали только плетизмы 5-функций, от­ носящихся к полной линейной группе GL(ti). Теперь можно легко определить . плетизм характера какой-либо подгруппы группы GL (п) с некоторой 5-функцией, выражая этот характер через «S-функцию и затем используя формулы (94), (95).

Так, например, возьмем плетизм

[31]® {2},

вкотором [31] — характер группы 0(5). Используя формулу (64), находим для этого плетизма выражение

Ниже мы покажем, что исследовать интранзитивные группы преобразовании важно в тех случаях, возникающих в физических приложениях, когда система распадается на независимые части, как в случае спиновых и пространственных координат частицы, и когда мы легко видим результат применения независимых группо­ вых операции для каждой составной части системы.

7.2. Спинорные представления

Наряду с истинными представлениями ортогональной группы, имеющими ясную геометрическую интерпретацию, имеются сущест­ венно двузначные представления, известные под названием спинорных представлений [51, 52]. Спинорные представления ортогональ­ ных групп очень важны в квантовомеханической теории углового момента. Например, в случае трехмерной группы вращений истин­ ные представления задаются характерами [0], [1], [2], [3] и т. д.; они даются 1-, 3-, 5-, 7- и т. д. строчными представляющими группу матрицами соответственно. Представления матрицами, имеющими

Прямое произведение спинорного представления самого на себя дает истинное представление; прямое произведение спинорного представления и истинного представления дает спинорное предста­ вление. Таким образом,

всегда можно найти такую матрицу Т, для которой

Всевозможные матрицы Т, обладающие указанным свойством, об­ разуют базисное спинорное представление группы. Это представле­ ние двузначно, поскольку матрицы преобразования Т и — Т соот­ ветствуют одной и той же операции группы, так как

(—Т)~1ЕІ(—Т)= Т~ХЕ{Т.

Матрицы ЕІ, которые образуют базис базисного спинорного представления группы п = 2ѵ или / г = 2 ѵ + 1 переменных, должны иметь по 2ѵ строк для того, чтобы удовлетворять антикоммутацион­ ным соотношениям. Поэтому матрицы Т, образующие базисное спи­ норное представление, должны также иметь по 2ѵ строк. Из следов матриц Т мы можем составить базисный спинорныйхарактер, ко­ торый будем обозначать через [(Ѵг)4']-

Подробности в отношении свойств спинорных представлении чи-, татель найдет в приложении I .

7.3. Трехмерная ортогональная группа 0(3)

Представления этой группы, истинные и спинорные, особенно важны в атомной спектроскопии. Исходя из очевидных формул

Таким образом, существует изоморфизм между трехмерной ор­ тогональной группой и двумерной полной линейной группой. Пред­ ставления [п] группы 0(3) соответствуют представлениям {2п} группы GL (2). Следовательно, базисному спинорному представле­ нию [! /2 ] группы Яз соответствует 5-функция {1} группы GL (2).

Наличие такого изоморфизма делает тривиальной процедуру вычисления произведений и плетизмов спинорных представлений