Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

33.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

124

Б. Вайборн. Теоретико-групповые

методы

(45) и рассматривая разложение, появляющееся в правой части (59), просто как соответствующее разложение для симметрической группы.

4.6. Размерности неприводимых представлений группы GL (ri) Соотношение (59) можно также проверить, рассчитывая раз

мерности		представлений группы			GL (п)		по	известной		формуле
		£ > { х } = П h — j				+	\j-				(60а)
				à>j
Удобнее,		правда, использовать			другую		формулу,		эквивалентную
ей, которую Робинсон			[11]	получил		с	помощью		теории		угловых
графов:
			п	-	°<«>'						(606)
здесь	Я	j —произведение		угловых		длин		всех	ячеек		углового
графа,	составленного		для данной диаграммы Юнга							[см.	(8)], и
			o f i 1 = n ( ' l - T - ' ' - A								(бов)
				j
где п — порядок группы, а целые числа							i, j	характеризуют			отдель

ную ячейку диаграммы Юнга, находящуюся в і-м столбце и /-й строке.

Рассмотрим, например, разбиение (421), связанное с представ

лением	{421} группы GL(5). Согласно формуле (8), мы			имеем
		1421]	:144.
		1421]
Нумеруя	каждую	ячейку диаграммы Юнга парой целых		чисел
(i, j), мы получаем		граф

1, ! 2, 1 3, 1 4, 1

1,2 2, 2

1, 3

Используя его, сразу замечаем, что

о Г } = ( 5 + 1 - 1 ) ( 5 + 2 - 1 ) ( 5 + 3 - 1 ) ( 5 + 4 - 1 ) ( 5 + 1 - 2 ) Х

(5)

X ( 5 + 2 - 2 ) ( 5 + 1 - 3 ) = 5 • 6 • 7 • 8 • 4 • 5 • 3=100800. Таким образом, окончательно получаем

D 421 : 100 800/144 = 700.

ПОДГРУППЫ ПОЛНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ГРУППЫ GL(n)

5.1. Подгруппы группы GL(n)

Процедура построения неприводимых представлений полной линейной группы с помощью наборов инвариантных матриц Т(А), элементы которых являются однородными полиномами от матрич ных элементов матриц А некоторой фиксированной степени, дает все неприводимые представления группы GL (л). С учетом допол нительных ограничений, которые можно наложить на выбор эле ментов группы GL(n), чтобы выделить определенную ее собствен ную подгруппу, эти представления, вообще говоря, оказываются приводимыми; и на этой подгруппе из них можно выделить соот ветствующие неприводимые части. Получаемыми таким образом

неприводимыми

представлениями

данной

подгруппы

группы

GL(n)

не

исчерпываются

все

неприводимые

представления

этой подгруппы;

однако так

можно

получить

все

представления

подгрупп группы

GL (л),

которые

являются

компактными

груп

пами.

Полная линейная группа имеет очень много подгрупп, которые

можно

строить,

просто

накладывая

определенные

ограничения

на матрицы

полной

линейной

группы

GL (л),

или,

другими

сло

вами,

рассматривая

только

такие преобразования л-мерных

векторов,

которые

оставляют

определенную функциональную

форму,

составленную

из

компонент

этих векторов, инвариант

ной.

Так,

например,

если

ограничиться рассмотрением

матриц

группы

GL(n),

детерминанты

которых равны единице, то мы полу

чим так называемую унимодулярную линейную группу SL{ii),

яв

ляющуюся, очевидно, подгруппой полной группы GL (л).

Ниже нам достаточно будет рассмотреть только унитарную

подгруппу

U (л)

группы

GL(n),

являющуюся группой бесконечного

множества унитарных матриц А порядка л2 , а также важнейшие подгруппы этой группы U(n). Унитарное преобразование оставляет инвариантным норму любого комплексного вектора, который эта матрица преобразует. Другими словами, если [ast] — унитарная матрица, то при преобразовании

М = [я„] \х,]

квадратичная форма

И[xs]=H>xlXi

126 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

остается инвариантной; черта сверху обозначает комплексное со

пряжение. Необходимое и достаточное условие			того, чтобы мат
рица Л==5[а8<] была унитарной,		заключается в том, что
	k J	[aS,]=I=[bs,\,
т. е. АА=І;	тильда обозначает матричное		транспонирование.
Это условие,	накладываемое на	матрицу [ast],	означает, что мат

ричные элементы унитарной матрицы удовлетворяют соотноше ниям

	r	ClrpClrq= = ^pq
	r
П Л И , П О С К О Л Ь К У [Cist] [ û ! ( s ] = / ,		С О О Т Н О Ш в Н И Я М
	V	~
	r	apraqr~bpq-
	r
Оба	типа соотношений показывают, что элементы ast любой уни
тарной	матрицы ограничены,	так что \| a s < l 2 < ^ l ; поэтому группа

унитарных матриц оказывается по определению компактной груп пой.

Важно отметить,		что неприводимые				представления полной ли
нейной группы GL(n)		остаются		неприводимыми при сужении							этой
группы до группы U(я). При этом					легко показать [13], что полная
система	неприводимых	представлений				группы		U (я)	задается		на
бором независимых		инвариантных			матриц,		составляемых			по	уни
тарным	матрицам А; кроме		того,		простые характеры				группы		U (я)
являются	S-функциями	характеристических					корней унитарных				мат
риц А.
Поэтому ниже мы будем использовать символы разбиений {Я},
связанные с соответствующими S-функциями,								для обозначения не
приводимых представлений унитарной группы								U(n).
Прямые произведения			и	размерности				представлений			груп
пы U(n)	определяются в точности по тем же формулам, что и для
группы	GL(n).
					5.2. Ортогональная					группа
Группа преобразований, оставляющих инвариантной произволь
ную несингулярную квадратичную					форму
			^gljXlXj,							(61)

называется общей ортогональной группой п измерений. Она обо значается как О (я). Элементами этой бесконечной группы явля-

Гл. 5. Подгруппы полной линейной группы

127

іотся ортогональные матрицы А; ортогональная группа является, очевидно, подгруппой группы U(n).

Поскольку, по самому определению ортогональных матриц,

АА = 1, то

			\ А \ = ± \ .			(62)
Таким	образом, совокупность ортогональных матриц, из которых
построена	группа	О(п),	распадается	на	две совокупности: матриц
с детерминантом		+ 1	и матриц с	детерминантом		— 1 . Ортого
нальные матрицы		с детерминантом		+ 1	образуют некоторую под
группу группы О(п), которую называют					специальной	ортогональ

ной группой и обозначают как SO(n) или 0+(п). Специальная ортогональная группа составлена из преобразований n перемен

ных, которые оставляют инвариантной квадратичную		форму
	. • •		(63)
Эта группа	ничем не отличается от /г-мерной группы		вращений
R(n).
Для ортогональной группы инвариантная форма		(61), очевидно,
принадлежит	к типу {2}; для специальной ортогональной		группы,

кроме того, требуется, чтобы детерминант, составленный из пре образуемых переменных, тоже оставался инвариантным, а он со ответствует форме типа {1"} .

					5.3. Характеры группы				О(п)
Рассмотрим			трехмерную		квадратичную форму			21%ёих&з> где
gij — симметричный тензор					типа {2}. Эта форма			остается	непри
водимой	при	действии		преобразований		полной	линейной		группы
GL(3).	При	действии преобразований специальной						ортогональной
группы	50(3),		которые	оставляют инвариантной				квадратичную
форму 2]?*?>		и з	квадратичной формы			J^gijXiXj	естественным об
разом выделяется линейный					инвариант

Указанная квадратнчая форма будет простой при действии пре образований ортогональной группы 50(3), только если удалить из нее вышеприведенный инвариант. Поэтому форма J^gijXiXj при водима при преобразованиях ортогональной группы 50(3); она распадается на две простые формы [2] и [0], где [0] соответствует инварианту. Таким образом, характеры рассматриваемых пред ставлений групп GL(3) и 50(3) можно связать соотношением

{2}==[2] + [0І;

128	Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы
это	означает, что инвариантные матрицы А	можно	выразить
как	соответствующие прямые суммы простых	матриц, т.	е.

Каждое представление полной линейной группы обязательно является некоторым представлением ортогональной группы, про

стым	или	составным. Поэтому		каждая 5-функция, возникающая
в теории		представлений	группы	GL(n), будет простым или состав
ным	характером группы		О (л).	Следовательно, каждую такую S-

функцию можно выразить в виде линейной комбинации характе

ров

группы 0(п),

и, наоборот, каждый характер группы

О (л)

мо

жно

представить

виде

линейной

комбинации

соответствующих

5-функций.

если

число

независимых

пере

Литтлвуд

[13,

50] показал, что

менных,

на

которые

действуют

преобразования

данной

ортогональ

ной

группы,

равно

п = 2ѵ или

л = 2ѵ+1, то для

каждого

разбиения

(К)

числа

на не более

чем

ѵ целочисленных

положительных

со

ставляющих

имеется

соответствующее

ему

представление

ортого

нальной

группы

О(п).

Характер

группы

0{п)

для

ее представления,

задаваемого

раз

биением

мы

будем

обозначать, заключая

индекс

разбиения

в квадратные скобки, т. е. будем обозначать

символом

[К]. Литтл

вуд сумел выразить все эти характеры через 5-функции путем раз ложения соответствующих производящих функций, составленных для конкомитантов квадратичной формы. Для того чтобы сформу лировать его результат, нам нужно, однако, сначала коротко оста новиться на обозначениях, или символах, Фробениуса отдельных разбиений [30].

5.4. Символы Фробениуса для разбиений

Мы видели в разд. 2.1, что каждое разбиение	можно	пред
ставить своей диаграммой Юнга. Теперь, для того	чтобы	ввести
символы Фробениуса, заменим каждую ячейку диаграммы		Юнга

светлой или темной точкой и получим таким образом фробениусовский граф. Диагональ из светлых точек, начинающуюся в левом

верхнем углу,	будем	называть главной диагональю.	Число	свет
лых точек, стоящих на главной диагонали, называют			рангом	рас
сматриваемого	графа,	или разбиения. Пусть теперь	г — ранг	раз

биения и пусть всего имеется ÛJ темных точек, стоящих справа от главной диагонали в і-и строке, и Ь,- темных точек, стоящих снизу от главной диагонали в і-м столбце. Тогда в обозначениях Фробениуса рассматриваемое разбиение представляется символом

/ахаг	. . . аГ\
U A	•••br)

Гл. 5. Подгруппы полной линейной группы

129

Так, например, разбиение (75312) представляется графом Фробениуса

Мы видим, что разбиение имеет ранг 3 и что в обозначениях Фробениуса оно представляется символом

6 3 0

41 0

5.5.Характеры группы 0(п) (продолжение)

Теперь мы можем сформулировать результат Литтлвуда в от ношении выражения характеров группы О(п) через S-функции. Соответствующая формула имеет вид

М = (Ч+2( - і) р / 2 і Ѵ Ы,

(64)

где

сумма

распространяется

на все S-функции

типа

{ц}

и S-функ-

ции

типа

{у},

причем

они

таковы,

что представление

{к}

обяза

тельно появляется

произведении

представлений

{у}{г\}

с некото

рым

коэффициентом

ГѴ Т 1 А,;

по

р — вес

разбиения

{у}.

Совокупность

S-функций

{у}

содержит

определению

все

S-функции,

которые

соответствуют разбиениям,

обозначаемым

символами

Фробениуса

/ а + 1

* +

(а+1

Ь +

с+\\

а . ) • [

Ь ) ' { a

) ' » ' -

( 6 ö )

т. е.

разбиениям

{2}, (31), {4P}, {З2},

{513 },

(431}

т. д.

(66)

Отметим здесь, что /г переменных хи

...,

хп

преобразуются про

извольной матрицей А группы G в п переменных х'ѵ

х'.

Если

существует

алгебраическая

форма

g (a;

x)=g(ai,

...,

am;

Xi, ...

Хп),

где ai — коэффициенты формы, такая, что после преобра

зования она остается формой g (а';

х'),

то

она

называется

основ

ной

формой.

Всякая

функция <р(а,

Ь,

...,

от

коэффициентов

а,

... ,

связанная

некоторым

набором основных

форм

g (а;

х),

g{b\

х),

...,

g(d;

х),

которая преобразуется так, что

с? (а',

Ъ\

. . .,

d')=|A|«<p(a,

b, . . . .

d),

9 3 a к. № 279

130 Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы


называется		инвариантом		веса	а. Если а = 0, эта	функция		назы
вается	абсолютным		инвариантом.		Функции можно	строить		также
для данных основных форм и по-другому: они могут							содержать
переменную		х	(коварианты)	или контрагредиентные переменные
(контраварианты),			или те и другие переменные (смешанные					конко-
митанты).	Все такие функции,				построенные для взятых		основных
форм,	называются конкомитантами.				Понятие конкомитантов мо
жно обобщить и строить				конкомитанты от конкомитантов.

Рассмотрим пример. Выразим через 5-функции характер [321]

группы 0(7). Соответственно разбиениям			Фробениуса (65) мы
имеем
(т! =	(2}, 2 І Ѵ М =	(31) +	{22} +	(2121,
'1
(т} =	\|31},2Г„х{^) =	(2} +	(12 ).
,1
Таким образом, согласно (64), получаем
[321] = { 3 2 1 ) - ( 2 2 \| - { 3 1 } - { 2 1 2 ) + {2) +				{12 ).

Полученный результат можно проверить. Отметим, что размер

ность £>[?1 неприводимого представления группы						О ( п ) при /г = 2ѵ
можно рассчитать по формуле [13]
л	_ 9 ѵ	r r	[ßr — К — r	+ S) (К + К + П — r — S)]			( C 7 ,
U \ x \ — L		1 1	(n —2)	! in — 4) ! . . . (2) !			>
при КѴФ0	и по этой же формуле, но с введением					дополнительного
множителя	У2 при Яѵ = 0. При я = 2ѵ+1				надо пользоваться		форму
лой [13]
D m = П ( X , - X , - r + s ) ( X r + V - H - r - s ) X
r<s
					гі(2Ѵ+л-2г)
				Л (л —2) ! (л —4)		! . . . (1) !	• \ ° '
Размерности представлений D, ,				группы	GL (я) можно рассчитать
по формулам (60).
			5.6. Правила		ветвления	U(n)-*0(n)

Правила ветвления для разложения неприводимых представ лений группы U ( п ) по неприводимым представлениям ее подгруппы О ( п ) заключены в следующей формуле [13, 50]:

• {M = [ M + S r ^ N .

(69)

Гл. 5.

Подгруппы

полной

линейной

группы

131

где

суммировать

надо

по

характерам

типа

[г\] и

по

характерам

типа

[б]; последние'

соответствуют всевозможным

разбиениям

на

четные числа, т. е.

разбиениям

[2],

[4], [2% [61, [42], [23],

[8], . . . .

(70)

Рассмотрим пример 5-функции

{321}; для

нужных

нам разбие

ний, появляющихся в (70), имеем

[8] =

[2],

2Га „.[7,] =

[31] +

[212] + [22 ];

[ § Н [ П 2 Г ц х

Ы =

[2] +

[і 2 ],

и поэтому окончательно

(321} =

[321] +

[31] + [212] +

[22 ] +

[2] +

[12 1.

5.7.

Сопряженные характеры группы О (п)

Характер [0] группы О(п)

составлен

из единиц,

сопоставляемых

каждому элементу этой группы. Знакопеременный

тензор,

од

нако, не является

абсолютным инвариантом, но

он

инвариантен

при действии преобразований общей ортогональной группы; сле довательно, имеется характер, обозначаемый [0]*, который состав

лен	из + 1 для преобразований с положительным	детерминантом
и из	—1 для преобразований с отрицательным	детерминантом.
Если	[К] обозначает любой характер группы О (л), то произведение
	[Х]* = [Х][0]*	(71)

также будет характером этой группы. Сопряженный характер [X]*, вообще говоря, всегда отличается от характера [Я], кроме тех случаев, когда преобразования с отрицательными детерминантами имеют нулевые характеристики.

5.8. Характеры группы вращений R

(п)

При /г = 2ѵ+1

характерами

ортогональной

группы

О (я)

будут

либо

[Я], либо [К]*, так

как при

сужении О (п) -+R(n)

представле

ния

[Я] и

[Я]* становятся эквивалентными. В этом случае простые

характеры группы О(л) будут также простыми

характерами

группы R(n)

или группы

SO(n).

характеры группы О(п)

При л = 2 ѵ и Хѵ = 0 простые

также

бу

дут простыми характерами группы R(n).

Однако при л = 2 ѵ и

КфО

имеются самосопряженные представления группы 0(гі)

и они

рас

падаются

на

пары

неприводимых

представлений

группы

R (л)

[50—52]. Таким образом, каждый соответствующий

характер

[Я]

группы О (л)

можно выразить

в виде

суммы

двух

сопряженных

друг другу простых характеров

[Я4] +

[Я2] группы R (л). Оба послед

них

сопряженных

друг

другу представления преобразуются

одно

в другое

помощью

любого

преобразования

с отрицательным

132

Б. Вайборн.'Теоретико-групповые

методы

детерминантом. Обозначать

представления

группы

R (п) в указан

ных

парах

можно,

разбивая

характеры

[Хі,~

Ао, ...,

К]'

группы

О (л)

при действии

преобразований

группы

R(n)

по

следующей

формуле [52]:

\К К

• • -, К\' = \К

• •.. КШК

• • -,

-К}-

(72)

Так, например, при сужении U(6)-+R(6)

мы имеем

типичную

ситуацию'

(32) —

[ 3 2 1 ] ' + [ 3 1 1 ' + [ 2 1 2 ] ' + [ 2 2 1 ' + [ 2 ] ' + - [ 1 2 ] '

- [ 3 2 1 ] +

[ 3 2 - 1 ] +

[31] +

[211] +

[ 2 1 - 1 ] +

[22 ] +

[ 2 ] + [ 1 2 ] ;

здесь штрих, как и выше, использован для обозначения

характеров

группы

О (6).

R (п)

Представления

группы

более

подробно

описываются

в приложении I .

5.9. Симплектическая группа

Группа, которая оставляет инвариантным приводимый ниже не

сингулярный линейный

комплекс

/ г ; ; ^ = ( ^ і У 2 - л ' 2 У і ) + ( - ѵ ' з У 4 - А ' 4 у з )+

. . . +{xn_xya

— xl^a_l),

(73)

называется

симплектической

группой

п независимых

переменных.

Она

обозначается

Sp(n).

Несингулярный

линейный

комплекс от

носится к типу { I 2

} ,

и требование его несингулярности

накладывает

ограничение на число независимых переменных;

оно должно быть

четным,

т. е. равным я = 2ѵ. Знакопеременный

антисимметричный

тензор

является конкомитантом формы

и поэтому для каждого

симплектического

преобразования

детерминант

равен

+ 1 ; таким

образом, трудности, связанные с необходимостью различать

харак

теры полной ортогональной группы и группы вращений, для сим плектической группы отсутствуют.

Как в случае ортогональной	группы, каждому разбиению (X)
числа п на не более чем ѵ целых	чисел	соответствует	свой харак
тер (X) симплектической-группы	$р(п).	Характеры	симплектиче

ской группы обозначаются заключенными в угловые скобки симво лами разбиений X, т. е. символами (к).

Литтлвуд [13, 49] получил выражение для характеров симплек

тической группы через S-функции. Эта формула	имеет вид
• <Х> = {Х) + 2 ( - 1 ) Р / 2 Г а 1 1 х М ,	(74)

где суммирование проводится по 5-функциям {р.} и по 5-функциям {а}, соответствующим разбиениям, которые в обозначениях Фро-

бениуса	изображаются		символами
I	а \	I a	b \ / a	b	с \
U + 1 / '		U + i	U + i	* + і	с+\)'	( 7 5 )

Гл. 5. Подгруппы	полной линейной	группы	133
т. е. разбиениям
(I 2 ), {212 }, (31	3 ), (23 }, [414 ],	(3221), . . . .	(76)
В формуле (74) р обозначает вес 5-функции {сг}.
Рассмотрим, например, характер (321). Соответственно			(76) мы
должны рассмотреть случаи

П = {12}, 2 Г ^ ( И = (22) + {212) + {31),

{«}={2i2 L 2 г ^ . І ! Ч = (іЬ

поэтому

<321> = ( 3 2 1 ] - { 3 1 ) - ( 2 2 ) - { 2 1 2 } - f {!]

Этот результат можно проверить, вычисляя размерность £)<х> представления (321) группы Sp (2ѵ) по формуле [6]

Г) — TT (^+^ —'•+!) ч /
	* ( K - \	+ k-i)(Kl	+ \ l l + 2 , - i - k + 2)
k	t	(A — i) (2м -\|- 2		/г)	V '
и размерности D ^	>характеров группы		GL(2v)— / по—	формулам (60).
Отметим, что	характеры	симплектической		группы	Sp (2ѵ)

можно также выразить через характеры группы 0(2ѵ), и наоборот;

соответствующие формулы были	найдены Литтлвудом						[53], кото
рый развил более раннюю работу Ибрагима [54]. Так, имеет								место
формула
< х > = Щ + 2 іѴѵ M - s I V м ,							(78)
в которой суммирование ведется	по характерам				[р.] и, кроме			того,
по всем характерам [£], которые	соответствуют				разбиениям			числа
/г=2ѵ на не более чем два четных		целых числа, и по всем харак
терам [г\], которые соответствуют		разбиениям			числа п — 2ѵ			точно,
на два нечетных целых числа. Обратная формула						имеет вид
[X] = < X > + S r f ^ < \| x > - 2 r a p . x < p . > ,								(79)
где суммирование ведется по характерам (ц) и по всем							характерам
(р), соответствующим разбиениям	вида		( 2 2 r l 2 s ) , за исключением та
кого разбиения, для которого r = sf=0,			и	по всем		характерам (а),
которые соответствуют разбиениям вида				( 2 2 r + 1 i 2 s ) .
Как примеры использования формул (78), (79) можно получить
следующие разложения характеров:
<212> = [ 2 1 2 ] - [2] и [212] =			< 2 1 2 > - К 2 > - < 0 > .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3013 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
19.10.20233.1 Mб30Дешко, Ю. И. Машинист сырьевой мельницы.pdf
#
19.10.20231.73 Mб8Дешко, Ю. И. Машинист шламовых насосов.pdf
#
19.10.20232.62 Mб2Деятельность Совета Экономической Взаимопомощи в области стандартизации..pdf
#
21.10.20239.23 Mб5Джавадов, Д. М. О некоторых явлениях, происходящих во взаимодействующих телах.pdf
#
22.10.202314.7 Mб17Джавахишвили, А. И. Строительное дело и архитектура поселений Южного Кавказа V - III тыс. до н. э.pdf
#
27.10.202333.93 Mб14Джадд Б. Теория сложных атомных спектров.pdf
#
19.10.20233.07 Mб16Джаджиев, В. К. Вибрации при растачивании и способы их устранения.pdf
#
19.10.20232.28 Mб14Джаджиев, В. К. Прогрессивные инструментальные материалы.pdf
#
19.10.20232.64 Mб10Джаджиев, В. К. Цельнотвердосплавные расточные резцы.pdf
#
19.10.20234.69 Mб9Джамбуршин, А. Ш. Колосоуборочные машины и механизмы.pdf
#
22.10.202310.53 Mб11Джапаридзе, О. Л. Перевозки зернопродуктов.pdf