книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

вместо этого мы сконцентрируем все свое внимание на совершенно особых и поистине удивительных моментах теории, которые совер­ шенно не связаны с конкретным выбором центрального поля.

1.2. Операторы уничтожения и рождения

Чтобы удовлетворить принципу запрета Паули, собственные функции //-электронной системы удобно взять в виде нормирован­ ных детерминантов. Сокращенно обозначим отдельный детерми­ нант символом

|aß . . . ѵ],

где каждая греческая буква обозначает свою четверку квантовых чисел (nlmsmi). Однако вместо того, чтобы работать с детерминан­ тами, часто удобнее рассматривать собственные функции, которые получаются при действии операторов рождения на некоторое ва­ куумное состояние, т. е. функции

alat . . . al\o).

Сопряженный at оператор — это ас, оператор уничтожения элек­ трона в состоянии £. Операторы рождения п уничтожения удов­ летворяют антикоммутационным соотношениям

Отметим как следствие этих соотношений, что

1.3. Матричные элементы

Центральная проблема в атомной спектроскопии состоит в вы­ числении матричных элементов типа ( ф | Я | і | / ) . Если, однако, со­ стояния |г|)) и |я|/) представить как результат последовательного действия операторов рождения на состояние |0), то сразу возни­ кает вопрос, как при этом представить оператор Н. Конечно, та­ кое представление будет различным для операторов H разной структуры. Если H — это сумма одночастичных операторов fi, то следует сделать замену:

Я — % al < Ç | / h > a „ .

Если же Я является суммой двухчастичных операторов gij (для определенности будем считать i<j), например операторов кулоновского взаимодействия, то подходящей заменой будет

Е, -л, с, *

здесь нижние индексы 1 и 2 нумеруют электроны; они показывают, каким электронам приписываются квантовые числа g, т), Ç, Я.

Полезно остановиться на рассмотрении примера. Допустим, не­ обходимо рассчитать матричный элемент

в нем электронные индексы не указаны явно, а подразумеваются.

Сдругой стороны, если мы используем операторы уничтожения

ирождения, то надо исходить из выражения

и затем переносить в нем операторы уничтожения направо с ис­ пользованием антикоммутационных соотношений, пока эти опера­ торы не будут действовать непосредственно на вакуум |0), давая нулевой результат; тогда, учитывая, что (0|0) = 1, мы приходим к выражению

<РІ/ІТ>. которое эквивалентно приведенному выше.

1.4. Тензорные операторы

Рассмотрим совокупность операторов рождения aï при фикси­ рованных ni, т. е. £ теперь различаются только проекциями момен­

в орбитальном пространстве.

Чтобы построить двойной тензорный оператор а из операторов уничтожения а~ѵ нам нужно сначала ввести в рассмотрение опера­ торы а\ с помощью формулы

тогда легко показать, что операторы ат т і являются компонентами двойного тензорного оператора а рангов s и / по отношению к спи­ новому и орбитальному пространствам соответственно.

Задачи

1.1. Бозонные операторы удовлетворяют коммутационным соот­ ношениям

ь\ь\-ь\ьІ==о,

Доказать, что АЛбозонное состояние

ь\ъ\ . . . bt\0)

можно нормировать, вводя множитель

С В Я З Ы В А Н И Е

Т Е Н З О Р Н Ы Х О П Е Р А Т О Р О В

2.1. Связывание операторов уничтожения и рождения

Из двух тензорных операторов T<f>t и U(ft') можно построить но­ вый тензорный оператор ранга К, пользуясь формулой

Коэффициенты, появляющиеся в правой части формулы,— это ко­ эффициенты Клебша — Гордана трехмерной группы вращений R3- Они стоят весовыми множителями перед произведениями операто­ ров 7№ и и делают из суммы этих произведений компоненту Q тензорного оператора ранга К- Другими словами, использование этих коэффициентов позволяет сконструировать оператор, который преобразуется согласно представлению DK группы Яз из операто­ ров, которые по отдельности преобразуются согласно представ­ лениям Dh и Dk' этой группы.

Поскольку операторы уничтожения и рождения сами являются тензорными операторами, их можно связывать в новые тензор­ ные операторы разных рангов. Единственно на что надо обращать внимание, это чтобы связывание проводилось как в спиновом, так

три очень важные величины. Вводя дополнительно удобные норми­ ровочные константы, мы записываем для этих величин выражения

Эти операторные величины удовлетворяют обычным коммута­ ционным соотношениям для компонент вектора углового момента; поэтому вектор Q мы называем квазиспином. Символ, [х] — это сокращенное обозначение для числа 2-ѵ+І.

Отметим здесь один любопытный момент, на который обратил внимание Вадзинский [3]: квазиспин можно определить только для истинных фермионов. Другими словами, если мы потребуем, чтобы

20 Б. Джадд. Теория атомных спектров

ных матричных элементов можно взять из таблиц Нельсона и Костера [9] (имеющиеся в них величины 1К3> надо умножить на

У7). Значения 6/-символов можно найти в таблицах Ротенберга и

Мы можем теперь составить уравнения для определения вычисляе­ мых коэффициентов. Используя обозначения

а = ( ( П 0 ) (11) 5 +(111) (20)6|(210) (21)8),

ô = ((110) (11) 5+(111) (20) 4| (210) (21) 8),

с=((110 ) (Н) 5 + ( Ш ) (10) 3 I (210) (21) 8), d=((110) (10) 3-1- (111) (20) 61(210). (21) 8),

т. е. мы получаем окончательные значения интересующих нас ко­ эффициентов КГ.