книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

рии атомных спектров отчасти из-за того, что при его использова­ нии упрощаются многие сложные построения теории атомных обо­ лочек, и главным образом потому, что многие в других отношениях удивительные свойства исследуемых операторов получают естест­ венное объяснение в рамках концепции квазиеппнового простран­ ства.

Один из элементарных составных тензорных операторов, ко­ торый можно образовать из тензорных операторов a<?s'\ имеет вид

при K + x + k нечетном

При К + Уі + k четном, используя антикоммутационные соотношения

(1) для упрощения вида рассматриваемого тройного тензорного оператора, мы получаем, что

4.1. Тензорный оператор W<xfe) определяется как сумма одно-

36 Б. Джадд. Теория атомных спектров

составляют требуемый набор операторов и задают группу враще­ ний 8/ +5 измерений, т. е. группу Rn+ь (в обозначениях Картана — группу .S.u+2). Представление [1] группы f/2/,j+2 приводится к од­

2. Удалим операторы at и ац из приведенного выше набора.

Набор оставшихся операторов оказывается замкнутым относи­ тельно операции коммутации. Это группа RSM (в обозначениях Картана £ W ) - Операторы а^аі^, с^а , а.-а* и a£ a при действии на состояния изменяют полное число электронов N на 0 или 2. Та­ ким образом, представление (ѴгѴг • • • Ѵз) группы J?s/+5 оказывается приводимым, и мы имеем для него разложение

( 7 2 7 2 • • • 7 2 ) - Ч 7 2 1І2 ••• Ѵ2 Ѵ 2 ) + ( 7 2 V* ••• Ѵ 2 - 7 2 ) ;

два представления в правой части соответствуют состояниям с чет­ ными N И нечетными N соответственно.

ное). Если теперь мы возьмем из этого набора операторы Х(100> и X(Oxft) (где, конечно, y, + k нечетное), то можем убедиться, что этот ограниченный набор операторов замкнут относительно операции

Соответствующие правила ветвления мы приводим в табл. IV для частного случая 1 = 2; обобщение на большие значения / самооче­ видно.

Таблица IV

Правила ветвления при сужении

5. Из операторов X<0 0 Ä > (k нечетное) можно отобрать операторы Х(ООІ) и т е м самым перейти к группе R^, группе вращений обыч­ ного трехмерного пространства:

-*-^?з.

Какого-либо общего описания соответствующих этому переходу правил ветвления не существует, однако подробно протабулированы все случаи / ^ 4 для всех представлений группы Spu+z, со­ стоящих из нулей и единиц [6, 13, 14].

6. При / = 3 имеем случайное упрощение, ибо операторы Х ( 0 0 ; > и Х(° 0 5 ) замкнуты относительно операции коммутации. Получается исключительная группа Gz Картана.

7. Если наш атом находится в поле кристалла, можно рас­ смотреть конечные точечные группы, являющиеся подгруппами

группы Щ; так, например, для октаэдрического поля с тригональным искажением имеем

8. Если на наш атом действует внешнее поле, имеющее ось симметрии, то можно записать

однако иногда до этого приведения выгоднее связать S и L в резуль­ тирующее J.

Чтобы резюмировать ситуацию, скажем, для атома с f элек­ тронами, находящегося в магнитном поле, приведем полную це­ почку вложенных друг в друга групп:

Коммутирующие друг с другом операторы Hi данной группы могут использоваться при отыскании представления, которому при­ надлежат операторы Oh. Для этого нужно лишь составить линей­ ные комбинации Ор из операторов Ou, для которых

\НІ> o ß ] = ß A ;

при этом различные веса ß, будут задавать искомое представление, которое, конечно, может быть приводимым.

Не все операторы имеют ненулевые матричные элементы. Чтобы это условие выполнялось, если (фі, О и |я|/) принадлежат непри­ водимым представлениям І\, Го и Гз некоторой группы, нужно, чтобы произведение ГіХГгХГз содержало в своем разложении тождественное представление. Другими словами, чтобы произве­

г ; І В = ( - і ) я г і _

что наибольший вес представления, встречающийся в разбиении,— это сумма обоих наибольших весов представлений, которые мы перемножаем, причем это представление встречается один раз. Для выписанного выше кронекеровского произведения мы полу­ чаем, таким образом, представление (11...1). Далее, поскольку имеем соотношение ( І 5 | 1 5 ) = 1 , тождественное представление (00.. .0) тоже должно появляться в разложении. Все остальные представления'в рассматриваемом разложении должны иметь вид

(11 . . . 10 . .. 0).

Для малых значений / можно использовать соображения размер­ ности, чтобы доказать, что

Если известно, что наши матричные элементы не исчезают, то все операторы О должны преобразовываться по одному из пред­ ставлений, появляющемуся в правых частях приведенных формул. Это означает, что правила ветвления именно этих представлений особенно интересны; некоторые из них приводятся в табл. V.

Таблица V

Правила ветвления при сужении Rsl^^—<• R§ X Sp4[_i_2

Задачи

5.1. Докажите, что генераторы

для которых ij) и г|/— состояния конфигурации с фиксированным числом электронов, соответствуют некоторой подгруппе G унитар­ ной группы U размерности 24 г + 2 . Идентифицируйте эту группу. По­ стройте правила ветвления для сужения £/-»- G.

5.2 *1 \ Соотношение между группами

ч Звездочка означает, что решение задачи не известно автору; см. замечания автора в конце первой части.

6

П О С Т Р О Е Н И Е

с о с т о я н и и

6.1. Вводные замечания

Группы, рассматриваемые в разд. 5.3, нужны для исключения неопределенностей, которые возникают, если в исследуемой конфи­ гурации появляются два пли больше термов с одними и теми же значениями 5 и L . Например, имеются два терма W для конфи­ гурации d3, которые легко различаются, если использовать группу Rs- один терм ZD принадлежит неприводимому представлению (10) > другой — представлению (21). Фактически достаточно вводить в рассмотрение только группу /?5 для получения однозначной клас­ сификации состояний всех конфигураций dH. Для f-оболочки, од­ нако, часто появляются повторяющиеся термы, если использовать для классификации только представления W группы Rn\ при разде­ лении этих повторяющихся термов очень большую помощь ока­ зывает группа Gi. Тем не менее неоднозначность все-таки остается. Для конфигураций gN, hN и т. д. правила ветвлений для R2i+i-*-RL3 содержат по очень большому числу повторяющихся термов и не­ обходимо искать какие-то другие схемы для классификации тер­ мов. Что же можно сделать в этом направлении?

Прежде всего заметим, что альтернативная схема классифика­ ции получится, если мы будем раздельно рассматривать элек­ троны, соответствующие разным ориентациям спинов, т. е. разным значениям квантового числа ms. Мы можем объединить все элек­ троны со спином, направленным вверх (т3 = \І2), в Л-пространство,

Идея такого разделения электронов была предложена много лет

то мы получаем классификацию состояний в полном пространстве.