книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

134

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

{Х) = <Х>+2.Г^<1->-

(80)

(I2 ),

(22),

(I4 ), (2212),

(З2) и т.

д.

(81)

В качестве примера рассмотрим характер

{321}

группы U(8),

для которого имеем

<Р> =

< 12>,

2ІѴ<ц> =

<212> +

<31> + <22>;

<ß> =

<22 >,

ЕГр^<|^> =

<2> + <12>

и,

следовательно,

{321} =

<321> + <31.> + <22> +

<212> +

<2> +

<12 >.

5.11. Нестандартные

символы и правила преобразования

Формулы (64)

и

(74)

позволяют

характеры

ортогональной

и

симплектической

групп выразить

через

5-функцни; и наоборот,

теры ортогональной и симплектической групп.

Символы

характе­

ров, формально

появляющиеся

в формулах

для

U{n)-+0(n)

и U (п)Sр

(п),

где п = 2 ѵ или

п = 2ѵ+1, часто оказываются свя­

групп

О (п)

и Sp(n).

В этих

случаях

при использовании формул

(69) и

(80)

требуется,

либо

чтобы 5-

функции с числом отдельных

стандартных

символов характеров

с числом

составляющих

>ѵ

в стандартные символы с числом составляющих ^ ѵ .

Мурнаган

[55] сформулировал некоторые

правила

преобразо­

вания к стандартным символам для

ортогональной

группы,

хотя

Гл. 5. Подгруппы полной линейной

группы.

135

тил, что Ньюэлл

[556, в] нашел такое общее

правило,

применимое

как к ортогональной, так и симплектической

группам.

Результаты Ньюэлла для ортогональной группы

можно пред­

ставить двумя теоремами: одной для случая

п = 2\>

и

другой

для

случая /г = 2ѵ + 1 .

Приведем формулировки этих теорем.

Теорема

I . Для

ортогональной

группы

0(2Ѵ ) все характеры

[Ц,

имеющие в

своих

символах

более

чем ѵ

составляющих,

обраща­

ются в нуль,

за исключением

характеров

с символами

вида

...

...,

Ä V

, (р)], где

(р) — любое

разбиение,

представляемое

одним

из символов

Фробениуса

а + 1 \

/ а + 1 6 + 1 \

/ а + 1 6 + 1 с + 1

и т. д.

а

) ' \ a

b ) ' \

a

b

с

т. е.

разбиение

(2), (31), (412), (3s), (513), (431)

и т. д.

Если

г — ранг

разбиения

(р)

и а>— его

вес,

то имеет место

соотно­

шение

[ V . . . . К, ( p ) ] = ( - i ) w / 2 s r № . . . . .

Kl

в котором

е = ± 1

является

значением

детерминанта

элемента

группы.

Другими

словами,

можно сказать, что в этой формуле

надо

брать сопряженный

характер

группы

Орѵ), если г

нечетное

число.

Теорема

I I . Если

п = 2ѵ+1,

то все характеры

[X], имеющие та­

кие

символы,

которые

содержат более

чем ѵ составляющих,—

обра­

щаются в нуль,

за

исключением

тех характеров,

символы

которых

имеют

вид

[Кі, ...,

Яѵ,

(г))], где

(г|) —любое

самосопряженное

раз­

биение,

т. е. разбиение

вида

—

(1), (21), (22), (312), (321), (413)

а т. д.

Если

г

ранг

разбиения

(т)) и

ш — его

вес,

то имеет место

соотно­

шение

[К

. . . .

К,

ft)]=(-ir/2-'se№.

. . . . X , ] .

[К, • • -, К+і~^> ^ І + І . \ н - 2 > • • •> ^ / ï = — I ^ i . • - •> К'

К+и

К + 2,

• • •> К\-

136

Б.

Вайборн.

Теоретико-групповые

методы

Так,

например,

при

применении

теоремы

I

возникающее раз­

биение [%и ..., К-І,

I 2 ] можно записать также в виде

[X,,

. . ., \ _ ѵ

Г-] =

-

[Х„

. . .,

К_и

02] =

[ХЬ

. . ., Х ѵ _ ,] .

Еще один пример:

[Х„ . . .,

Хч _„

3«] =

- [Хь

. . .,

Х ѵ _ ь

3324]

=

=

[ХЬ

Хч _,,

3144]

=

=

- І Х „

. . . .

Хѵ _„

0444]

=

= - f X ,

X v _ , ] * ;

символ, составленный из более чем ѵ составляющих, в

стандартный

символ группы О (п),

имеющий не более чем ѵ составляющих.

Соответствующие правила преобразования к стандартным сим­

волам

для

симплектической

группы

Sp (2ѵ)

даны

Ныоэллом

[55в]

в виде следующей теоремы.

Теорема

I I I . Все

характеры

(К),

символы

разбиений

которых

содержат более

чем ѵ составляющих,

исчезают,

кроме

тех,

символы

разбиений

которых имеют вид (klt

...,

К, (а))

или

же

эквивалентный

вид (—l)ö / 2 (A,i,

...,

Хѵ).

Здесь разбиение

(а)

задается

одним из

символов

Фробениуса

I

а

\

/

а

' b

\

i'

a

b

с

\

U + 1/

U + 1 *+

U + 1

c + lj "Т" д "

т. е. это разбиения

(I2 ),

(212),

(31»), (23 ), (414),

(3221)

и

т. д.

Вместо

того

чтобы

использовать

сформулированные

правила

преобразований

к

стандартным

символам

для

характеров

групп

О (п) и Sp

(п),

можно при желании для группы U (п)

преобразовы­

вать 5-функции, изображаемые

символами,

составленными

более

чем из V составляющих,

в 5-функции,

имеющие

в своих

символах

не более чем ѵ составляющих, и затем использовать правила

ветв­

ления

U (п)

О (п)

или

U (п) -»- 5р (п).

Отметим

при этом сначала

[7], что для

5-функций п неизвестных переменных всегда можно

использовать соотношения эквивалентности

ІК

х2,

ю^^-к,

х 2 - х „ ,

о)

и

{Х„ Х2,

. .

Х„} = {Х,-ХЯ І

-)>„_,.

. . . Х,-Х2 , 0).

Гл.

5. Подгруппы

полной

линейной

группы

137

Мы изложим теперь общий метод для преобразования

5-функ-

цин, который разработал Литтлвуд

[50].

При

/г = 2ѵ

5-функцию

надо

представить

в

следующем виде:

{г-{-К

г+Х2, . . ., г + Х „

г

—

[х„

r - j i , _ „

. . .,

г

—

ji,}

(82а)

и при n = 2v+ 1 в виде

[г+Х„

г + Х 2 )

. . .,

г + Х „

г,

г-!*,,

г

н.,_„

. . .,

г - р , } . (826)

преобразований с

отрица­

Пренебрегая изменением знака для —

тельными

детерминантами,

можно

сказать,

что

значение этой

5-функции не зависит

от г; его

можно

обозначить

через

{К; р,}.

Тогда можно написать формулу

{к ѵ-) =

[Ц Ы + 2 ( - і ) * г . г х Г Р Е , { « }

m,

(83)

в которой суммирование ведется по

всем

5-функциям

{а}

и {ß}

H по всем разбиениям

(б) веса р, причем

(е) = ( б ) .

В качестве примера рассмотрим разложение 5-функции

{3212}

при сужении U(5) -*-R (5). Прежде всего по методу Мурнагана, ис­

пользуя формулу

(69),

имеем

{3212} =

[3212] +

[312] 4- [221 ] 4- [213] +

[21] +

[ I 3 ] .

Характеры группы R(5)

нумеруются разбиениями, в которых 5 раз­

бивается не более чем на две составляющие.

Используя правила

Ньюэлла, можно теперь осуществить преобразования

[3212 ]—0;

[ 3 1 2 ] - [ 3 1 ] ;

[24]—

Щ;

[212 ]-+[2];

[ 1 3 ] - [ 1 2 ] ;

поэтому

при

сужении

U (5) -+R(5)

окончательно

получаем

(3212 }-^[31]4-[22 ]4-[21]4-[2] + [12 ].

Можно, конечно, поступить иначе и использовать метод Литтл-

вуда, согласно которому по формуле (826)

имеем

{3212} =

{ 1 + 2 ,

1 +

1,

1,

1 - 0,

1 - 1 }

=

{21;

1);

отсюда,

далее,

с использованием формулы

(83)

получаем

(21; 1 } = , ( 2 1 ) ( 1 ) - { 2 } { 0 } - ( 1 2 } { 0 } =

'

=

{31) +

(22] +

{ 2 1 2 } - { 2 } - { 1 2

] .

Теперь таким же образом запишем, что

(212} =

(1 +

1, 1 + 0 ,

1,

1 - 1 ,

1 - 1 ) =

{1;

I 2 )

и, далее,

{1;

12) =

(1) ( 1 2 } - { 1 }

{0) = {21} +

( 1 3 ] - { 1 ) =

{21} +

{ 1 2 } - { 1 } .

138

Б. Вайборн. Теоретико-групповые

методы

а просто дадим формулировку правил

ветвления 0(7)

->- G2 ->-/?3.

Джадд [15] показал, что неприводимые представления группы

G2 можно нумеровать максимальными

весами (mi, m2 ).

Веса, для

которых т г отрицательны,

не

рассматриваются. Вместо них

бе­

рутся максимальные веса

( и и

ы2 ), для которых

(и,,

и2)

=

(іП\-\-т2,

—m2).

(84)

Используя такие обозначения, запишем разложение характера

[АДоА*] группы 0(7) по простым характерам

(«і, ы2) группы

G2:

[ W 3 ] = 2 ( 0 - ^

J+k)

+ ( J - k - \ ,

i-j));

(85)

Х , > / > Х 2 , Х 2 > у > Х 3 )

X 3 > Ä > - X 3 .

Соотношения

(#i«2 )=—(«и — 1 ,

« 1 +

1), ( « 1 , —1)=0

il

(й„ - 2 ) = - ( И і - 1 ,

0)

ние и выразить

характеры группы G2 через S-функции

и в

резуль­

тате

получить

соответствующие

правила

ветвления и

выражения

для

кронекеровских произведений характеров с использованием

теории

S-функций.

Ши

Шэн-мин

[59] построил

в явном виде разложения

отдель­

ных характеров

группы Gz по

характерам

группы R3 и

составил

Гл.

5. Подгруппы полной линейной группы

139

5.13.

Произведения характеров групп О («)

и Sp(n)

Разложения

произведений простых характеров

групп О (я)

два

метода.

В первом методе

сначала

используются

ф'ормулы (64)

и

(74)

для

выражения характеров

групп О (я)

и Sp

(я) соответственно

че­

рез

5-функцин. После этого

составляются

произведения

5-функ-

ций,

появляющиеся

в произведениях

характеров, затем

оконча­

тельно получаемые

5-функции

разлагаются по соответствующим

Например, рассмотрим кронекеровское произведение

[3]-[12 ]

характеров группы 0(7). Согласно

формулам (64) и (69),

получим

для него разложение

[31 • [1 2 ]=((3) - (1}){Г - } =

{41] + ( 3 1 2 ) - ( 2 1 ) - ( 1 3 )

=

мулы (74) и (80). Согласно этим

формулам, получаем разложение

<3><l2 > =

( 3 ) ( ( l 2 ) - { 0

} ) = ( 4 1 ] +

{ 3 1 2 ) - { 3 } =

=

<41> + <312> + <3> +

<21>.

- ѵ ц а Г ^ | С } { ѵ } = Е / С р { р ) ,

' (86а)

в котором

суммирование

в левой части проводится по

всем S-функ-

циям, включая

{£} = {0},

то произведение характеров

ортогональ­

ной группы

дается формулой

[Ц М = 2 А ^ р [ Р І .

(866)

а произведение

характеров симплектической

группы

— формулой

a x i * > = s ^ ? < p > -

(8бв)

В качестве примера приложения этой теоремы

Литтлвуда рас­

смотрим

снова пример

произведения

характеров

[3] • [ I 2 ] ортого­

нальной

группы

0(7).

Для

{ | } ' = { 0 }

имеем

{?} = {3}

и

{ѵ} =

= {12 } и произведение

[3){Г~)

=

[41}

+

{ЗГ-}.

Для

Ш = {1} имеем {£} = {2}

и М

=

{1)

и произведение

(2}{1} =

{21} +

{3).

Используя теперь формулу (866), получаем

[3][12 ] = [41] +

[ 3 1 2 ] +

[ 3 ]

+

[21].

Произведения

характеров

исключительной

группы

Go можно

найти, выражая сначала характеры

(«і, иг)

через характеры

группы

О (7)

и затем используя формулы

(86)

для

раскрытия

произведе­

ний характеров группы

О (7)

и

формулу

(85)

для

перехода

от ха­

рактеров

группы

О (7)

к характерам группы

Gz.

Этот

довольно-

таки

окольный метод показывает, что

получить

непосредственные

{1} группы

GL(4l+2).

{ і ) г = 2 / М М ;

(87)

|cpW|C) = 2 ? ! X ) .

(88)

с р ^ , будет инвариантной матрицей

для матрицы А , преобра­

зующей функции ф ' 1 ' . Операции, которые мы производим

над

функциями ф ^ , чтобы получить

из них функции

I ф'1 ^ I

, экви-

валентны процедуре составления

инвариантных

матриц | Л 1

| 1

Гл. 6. Плетизмы S-функций

143

функций q/ x ' . Таким образом, соотношение (88) можно

записать

через инвариантные матрицы

\ А ^ \ { " } = ± А ^ .

(89)

М®{ѵ}=2{Х},

(90)

так: плетизм S-функции {р,} с S-функцией {ѵ}.

Формулу (90) можно интерпретировать следующим образом: мы

берем какую-то совокупность функций симметрийного

типа {ц.} и

из них образуем симметризованные суммы одночленов

степени г

симметрийного

типа

{ѵ}, из которых выделяем конкомитанты сим­

метрийного типа

соответствующие диаграммам, появляющимся

в произведении

{р}''.

{2){2} =

(4) +

{31} + (22 ).

Из трех форм, линейных по обеим

квадратичным формам, две бу­

дут симметричными; это формы

aijb!lmxixJxkx'n

и

ацЬЬтх1кх'"1,