книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

72 Б. Джадд. Теория атомных спектров

7.6. Собственные значения операторов е и еи

Нет необходимости развивать здесь подробную теорию ква­

Сначала напомним из разд. 6.3, что операторы е8 и ек принад­ лежат представлениям (1111) группы R» и (НПО) группы Ru соответственно. Мы можем построить операторы с этой симмет­ рией, если будем исходить из операторов Ь, определяемых фор­ мулами

с нулевыми матричными элементами. Таким образом, остаются только две возможности для выбора W: представления (00.. .0) и (11110. ..0). Причем первый выбор связан с тривиальным добав­

мы находим представление (11110...0), которое показывает (если не обращать внимание на аддитивную постоянную), как оператор J2 преобразуется по отношению к группе R21+1 из разд. 6. В преде­ лах пространства каждого представления W группы /?2/+і, для ко­ торого произведение W'xW содержит представление (11110...0) один раз, мы можем, таким образом, использовать соотношение эквивалентности

б) любого двухчастичного скалярного оператора ві, принадлежа­ щего представлению (11I10...0), матричные элементы которого между термами конфигурации Р совпадают с матричными элемен­ тами оператора (Ь • Ь), кроме терма 3Р.

Наконец, теперь не представляет труда убедиться, что опера­ тор eg имеет требуемые собственные значения. Собственные значе­

Важность метода квазичастиц не ограничивается объяснением многих тонких моментов теории атомных оболочек. Возможность дополнительных факторизации спин-вверх- и спин-вниз-пространств означает, что мы можем базисными состояниями /-оболочки счи­ тать состояния

зуемого квазичастичного вакуума. Мы сделали здесь допущение,

нечно, очень существенное продвижение по сравнению с тем, что дают обычные теоретико-групповые методы. Когда изучение элек­ тронов с большими угловыми моментами станет обычным делом, предлагаемая квазичастичная теория сможет повести к существен­

совершенно независимые, показывает, что сама идея введения ге­ неалогических коэффициентов может быть обойдена. Разумеется, чтобы рассчитывать матричные элементы в квазиклассической схеме связи, все операторы нужно выражать через тензорные опе­ раторы 0+ и 0. Это может быть в ряде случаев довольно трудоем­

таты включены в формулировки задач 7.1—7.6. Легко видеть, что квазичастичную теорию можно обобщить также и на случай сме­ шанных конфигураций. Квазичастичная теория позволяет по-но­ вому взглянуть на многие загадочные упрощения, описанные в части 6. Возьмем, например, проблему существования чистых ро­ дительских термов для термов ЪЪ', 5 G ' и 5 / ' конфигурации g 4 (см. разд. 6.6). Как мы знаем, при этом обращаются в нуль следующие три генеалогических коэффициента:

В рамках квазичастичной теории обращение в нуль первого и треть­ его из этих генеалогических коэффициентов непосредственно объ­ ясняется обращением в нуль соответствующих 6/-снмволов (см. задачу 7.3). Это, конечно, очень хорошо. Однако, к сожалению, та­ кого рода объяснение невозможно применить для второго генеало­ гического коэффициента. Возникает трудность, связанная с тем,

что, как это отмечалось в конце разд. 6.6, квантовые числа L и L появляются симметричным образом во всех трех приведенных ге­ неалогических коэффициентах. Неясно, почему квазнчастичная теория не объясняет этот результат.

В квазпчастичной теории имеется другой интересный момент. Одному и тому же математическому явлению можно дать раз­

объяснена совпадением собственных значений оператора Казимира этой группы. Эту повторяемость столь же убедительно можно объ­ яснить в рамках квазичастичной теории; однако неясно, какое из этих двух объяснений более значимо.

Вероятно, еще слишком рано давать окончательную оценку ква­ зичастичной схемы связи и квазичастичной теории вообще. Однако уже сейчас ясно, что она не дает непосредственного и очевидного объяснения всем деталям структуры, внутренне присущей атомной оболочке. Дальнейшее исследование этого вопроса, несомненно, потребует времени. Но, во всяком случае, квазичастичная теория проливает новый свет на многие свойства атомных оболочек, и, возможно, еще много новых результатов в отношении структуры атомной оболочки можно будет получить на этом пути.

Задачи

7.1. Докажите, что для конфигурации hN скалярный оператор, который сохраняет полное число электронов и соответствует не­ приводимому представлению (11100) группы Ru, включает в себя

если этот оператор используется, чтобы различать термы конфи­ гурации /г4.

7.2. Используя проекционный метод из разд. 7.3, покажите, что

ния на более высокие значения le (см. статью Батлера и Вайборна [27], в которой имеются подробные таблицы).

7.3. Представьте состояния 4 М конфигурации g3 и состояния пер­ вого из двух термов 5 / конфигурации g!i, связывая между собой моменты k и /ц. Покажите, что редуцированный матричный эле­ мент тензорного оператора а + между термами 4УИ (справа) и 5 / (слева) пропорционален 6/-коэффициенту

Убедитесь, что этот 6/-коэффициент равен нулю, и, таким образом, объясните обращение в нуль генеалогического коэффициента

{?4\g"M)

7.4. Докажите, что при четных k справедливо соотношение

(0+ Ѳ)( е ) = ' / 2 [ / ] ' / г 8 ( ^ 0);

здесь используются обозначения из разд. 7.4. Помещая этот опе­ ратор между состояниями (pk\ и \рІ'ѳ), где р—четность, опреде­ ленная в разд. 7.7, составьте уравнения для определения произве­ дений

{ріЛ^\\р'й){р'Ф\\рІь).

Докажите, что при l = k = 2 уравнения разрешимы только, если

Найдите аналогичные требования, которые надо наложить на 6/- коэффициенты, переходя к более высоким значениям / [23].

7.5. Сформулируйте квазичастичную схему связи в случае сме­

Рассуждая, как в задаче 7.3, рассчитайте редуцированные матрич­ ные элементы

( ( 2 1 ) 4 ѳ ; | ( 2 І)/ . ') .

Покажите, что все матричные элементы спин-орбитального взаи­ модействия в пространстве f-оболочки обращаются в нуль, если их брать между термами F и G, принадлежащими представлению (21) группы Gz-

малые значения L какой-то операцией инверсии связаны с более

симметричны. Было бы желательным связать различные значения

Lкакой-то операцией симметрии, но неизвестно, как это сделать.

6.6.Операторы eg и eh построены в разд. 6.3. Однако уравне­ ния, к которым приводит процедура их построения, не дают одно­ значного ответа уже для оператора ег-. Причина этого в том, что

представление (111100) группы Ri3 содержит два 5-состояния при его приведении, а не одно. Хотелось бы иметь какой-то теоретикогрупповой метод для устранения этой неоднозначности, хотя спо­ соб, предлагаемый в задаче 6.6, возможно, более удобен на прак­ тике.

6.7.Эта задача должна дать некоторую информацию в отноше­ нии конфигураций g2 и h2.

6.8.Не представляет труда сделать это непосредственно и без всяких ухищрений. Однако это едва ли интересно. Мы привели эту задачу в качестве примера на использование тронного тензорного оператора

6.9.Решение этой задачи исключительно интересно. По-види­

вразд. 7.7, все еще остаются загадочные факты.

6.10.Несомненно, должна существовать еще какая-то дополни­ тельная симметрия между конфигурациями g 5 и g4 , так как обе совокупности термов с максимальными 5 принадлежат представ­ лению (1111) группы Ra и поэтому имеют одинаковую L-структуру. Согласно Джадду и Вадзинскому [34*],

((1111)Z + (1111)Z |(1000)G)=0,

если представление (1000) появляется в симметрической части произведения (1111)X(1111) ; на самом деле это представление (1000) появляется в антисимметрической части, так что никаких новых правил отбора не возникает, так как они противоречат сим­ метрии. Было бы очень интересно рассчитать генеалогические ко­ эффициенты и посмотреть, что же происходит на самом деле.

6.11. Квазичастичная теория (см. гл. 7) разрешает эту проб­ лему. Можно приписать определенные квантовые числа Ii и /ц всем

6.13. Это связано с тем, что терм 5 / конфигурации g'1- имеет ну­ левой генеалогический коэффициент для родительского терма 4 М конфигурации g3. Этот результат получил прекрасное объяснение

врамках квазичастичной теории (см. задачу 7.3).

6.14.Поскольку собственные значения оператора е/ выражаются непосредственно через собственные значения операторов Казимира для групп fa и Go, то оператор е/ является квазпспиновым скаля­ ром. Было бы поэтому очень интересно знать, остается ли общий оператор еі квазпспиновым скаляром, хотя для его определения недостаточно знания соответствующих операторов Казимира.

6.16. Это, возможно, не очень интересная задача, требующая долгих вычислений. Тем не менее следует отметить, что с трехэлектронными операторами могут быть связаны новые эффекты, так что имеет смысл выполнить это упражнение.

6.18.Решение задачи непосредственно, хотя и трудоемко; это продолжение анализа из разд. 6.12.

6.19.Причина, почему интересно знать, совпадают ли энергии термов 2 Р и Ю, состоит в следующем. Известно, что для конфигу­

рации d3 термы 2Р и 2 Я имеют всегда одну и ту же энергию для любого центрального поля. Для конфигурации d3 эти термы обла­ дают наибольшим и наименьшим значением L для соответствующих

в ионе Nd 3 + . Во всяком случае, довольно просто, хотя и громоздко, непосредственно рассчитать энергии термов конфигурации g 3 и по­ лучить для них выражения в виде линейных комбинаций слэтеровских параметров F k ; это пока еще не сделано.

6.20. Проф. Вайборн сообщил автору, что именно так и обстоит дело. Непосредственное вычисление обобщенных 6/-символов очень трудоемко и обобщение на случаи симплектических групп опреде­ ленно не просто, хотя при этом можно использовать связь, сущест­

3.Wadzinski H. Т., частное сообщение.

4.Rotenberg M., Bivens R., Metropolis N.. Wooten J. K., Jr., The 3-j and 6-j Symbols, Cambridge, Massachusetts, 1959.

8.Edmonds A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, New Jersey, I960.