книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

184

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

Ru+i-*SU*XSpM+2,

(189а)

[О . . .

0 ] - * Ч 0 > ,

[ПО

. . . 0 ] - Ч 2 > + 3

« 0 > +

< 1 2 » ,

(1896)

[НПО

. . .

0 ] - 1 ( < 0 > +

<12> +

< 2 2 » + 3 « Г - > +

< 2 > 4 - < 2 Р » +

+ 5 « 0 > + <12> + < 1 4 » ;

(189в)

верхним индексом при символах представлений

группы Spu+z-

Джадд [85] показал, что в квазиспиновом

формализме

любой

7Ѵ-электронный оператор

можно представить

суммой

2/Ѵ-кратных

произведений электронных

тройных

тензорных

операторов

Следовательно,

при рассмотрении

симметрийных

свойств jV-элек-

тронных операторов по отношению к группе RSM

можно

ограни­

читься

рассмотрением

представлений

группы

Rm+i

вида

[11.. .10.. .0], имеющих не более 2N символов 1.

10.3.

Квазиспиновые свойства матричных элементов

одноэлектронных тензорных операторов

Результаты предыдущего разд. 10.2 можно

теперь

использовать

для исследования

квазиспиновых

свойств

матричных

элементов

одноэлектронных

тензорных

операторов

ѴѴ<К^. Как это непосредст­

венно ясно из (1896), тензорные операторы

W<xft) при нечетных зна­

чениях

суммы индексов

% + k, имеющие

симплектическую

симмет­

рию (2), преобразуются

как тензоры

квазиспинового

ранга

/<"=0.

Тензорные операторы W<xft) при четных значениях

суммы

индексов

•x + k,

имеющие

симплектическую

симметрию

(I2 ), преобразуются

как тензоры квазиспинового ранга К= 1.

( - ! ) * - * * ( Q K Q ' ) ;

(190)

186

Б. Вайборн. Теоретико-групповые методы

что оператор 0(у2 Г2 р2 ) преобразуется как р2 -компонента

неприво­

димого представления Г 2 группы G; обозначение уг вводится

для

различения случаев повторений индекса представления Г2 ,

если

Г 2

ров. Положим, подобным образом, что состояние (т|)|

является

со­

стоянием

(уіГірі I и состояние

— состоянием

| узГ3рз). Тогда,

со­

гласно

теореме

Вигнера—Эккарта,

матричный

элемент

(уіГірі I О (угГгрг) I узГзрз) можно представить в

виде

суммы произ­

ведений двух множителей. Один множитель, Аа,

не зависит от pi, р2

и рз;

другой

является

коэффициентом

пересвязывания

{ГЧГзосГірі I Г2 р2 , Гзрз)- Таким

образом,

имеем

общую

формулу

[II2—115]

<Т.Г іР/|0(т2 Г2 р2 )|тзГзРз> =

2 ^с [ <Г 2 ГзаГ 1 р 1 |Г 2 р 2 )

Г з Р з > ;

(195)

а

единичное представление Го встречается в тройном

кронекеровском

произведении Г\ X Г 2 Х Г3 , или же, что то же самое, сколько раз пред­

ставление Г 2 появляется в кронекеровском

произведении

Г і Х Г 3 .

Если

с ( Г І Г О Г З ) = 0 , то мы с уверенностью можем

утверждать, что

при

любых у и р матричный элемент (195)

равен

нулю. Кронеке-

ровские произведения представлений групп Sp (п)

и R (п)

легко

рассчитать, используя методы, изложенные

в разд.

5.13 и 7.3—7.6.

188

Б. Вайборн.

Теоретико-групповые

методы

Рассмотрение таблицы

значений

чисел

с ( [К]

[К'] [200])

показы­

вает, что для матричных

элементов

рассматриваемого

тензорного

оператора W'1 2 ' не существует никаких других правил отбора, тре­

бующих обращения в нуль матричных

элементов, кроме

обычных

правил

отбора по v,

S

и

L .

Однако

таблица

значений чисел

с (UW

(20))

выявляет

наличие таких

дополнительных

правил от­

бора.

Так,

например,

из

того,

что

имеется

нулевое

значение

с((11) (22) (20)):

= 0,

следует,

что

нулю равен весь

набор

матрич­

ных элементов

< / 4

(211)

(11) 3L I W/c-'ll/1 1 (220)

(22) Ч У > = 0

при

L = P #

и L ' =SDGHIJLN,

что

действительно

можно

видеть

из таблиц

Юциса и др. [118]. Другие

примеры необычных

правил

отбора, возникающих для матричных элементов

одноэлектронных

тензорных операторов \Ѵ<0Й> (четное

k),

рассматривались Джаддом

[115] и Мак-Лелланом

[116]

для

тензорного

оператора

W 1 1 ',

кото­

рый

встречается

при

рассмотрении

спин-орбитального

взаимодей­

ствия.

Оказывается,

что

исследование

структуры тройных

произведе­

ний

ГіХГгХГз

не обязательно

выявляет

все

возможные

слу­

чаи

появления

нулевых матричных элементов, которые можно

таким образом

предсказать до проведения

непосредственных вычис­

лений. Джадд

и Вадзинский

[119] показали,

что

могут

иногда по­

являться совсем

новые

правила

отбора

даже

в случаях,

когда

с (ГіГгГз)^ 1. Эти авторы рассматривали

разложение

кронекеров-

ских

квадратов

неприводимых

представлений

на

симметричные

и антисимметричные составляющие. Смит и Вайборн

[120] провели

Рассмотрим снова матричный

элемент

(195),

и пусть индекс

р нумерует представления подгруппы g

группы

G, представле­

нием Г которой мы интересуемся. Мы имеем тогда

равенство

<ТіГіРі|О(т2 Г2 р2 )|т2Г2 р2 >=0

всегда, когда не выполняется одно из двух:

Г , ® {2}=) Г,,

р 2 ® { 2 ) ^ Р і

(196а)

или

Г 2 ® [ 1 2 ) = > Г Ь

р 2 ® { 1 2 } ; Z D P ! .

(1966)

< / 6 [ 2 П ] (30)3Z, II IF<1 5 )||/6 [110] (11) 3 //ч

(197)

мых представлений р, и их можно считать редуцированными

мат­

ричными элементами

А в = < Т і Г , - с і Р і J О в (т 2 Г 2 т 2 р 2 ) | | Т з Г 3 т 3 р 3 > .

(201)

А. = 2 Л ° 8

<РГ і^іРі I Г о ^ Р з + Г з ^ Р з Х

(202)

ß

в которой

> и = < 7 . 1 > , |0«р

(т2 Г2 -:2 ) | | т 3 Г 3 т 3 > .

(203)

Таким образом, выражение (200) окончательно принимает

сле­

дующий вид:

<ТіГ,-с1 р1 ш1 1 О (т 2 Г 2 ? 2 р 2 ю 2 )

I Тз г з' г зРз ш з>

=

= 2

А«Ѵ

< а Р і ш і

I P2t ü 2+P3 w 3> ( f ^ V i P i I Г з ^ Р г + Г з ^ Р з ) ;

(204)

«, ß

появляющиеся

в

правых

частях

коэффициенты Аа$ называются

изо скалярными,

факторами.

Теорему Вигнера—Эккарта

можно применять

повторно,

если

у нас имеется цепочка вложенных друг в друга групп; каждый

раз

будут получаться произведения

редуцированных

матричных

эле­

ментов на изоскалярные

факторы.

Рассмотрим пример

такого использования теоремы Вигнера—

S/7,4

SU2 X ( # 7

— 0 2 -

/?з) — #2 X

Ro .

Возьмем

матричный элемент

одноэлектронного

тензорного опе­

ратора W("fc)

< / " <а>> M

Ur^L^M^W^

« а 2 >

[Х2 ] Uwkvq)

X

Х І / " < о 3 > [ Х з 1

U3^S3L3MsJVlL).

висимость

этого матричного элемента от Ms и ML, и замечая,

что

при сужении до группы R3 кронекеровскне произведения

D^XD^L">

и D^XD®')

не содержат повторяющихся представлений,

легко

по-

Гл. 10. Конфигурация

эквивалентных электронов

191

лучить следующее выражение

для

рассматриваемого

матричного

элемента:

< / " <°.> M U^S,LX\\

W W « о 2 > \\.2)

U24<-k)\\fn

<°а >

Ы ^ з ^ з > Х

X < S 1 M S l | x 7 c + S 3 M S l > < L 1 M t l | Ä 9 + I 3 M i j >

+

х

Х { [ 5 , , ^ і ] ) ~ Ч г ,

(205)

соответствующие

фазовые

множители,

а

также

множитель

{[Si,

L i ] } - 1 ' 5 ,

чтобы получаемый

здесь редуцированный

матричный

элемент тензорного

оператора W(*ft) отвечал обычному

определе­

нию

[15]. Редуцированный

матричный

элемент

тензорного

опера­

тора W<x/!>, появляющийся в (205), можно

факторизовать

путем по­

вторного применения теоремы Вигнера—Эккарта; так получим

< / " <°> [ M UfrS^

I W('Ji)

« а 2 > [U] Uwk)

\\f <a3> [X3]

адзІ3)

=

= 2

А *и

<*Ut\Lx

I U^k+U^Lz)

<ß

\\\

Un

\ [h]

U&+

+

M

^ з >

<T <*•> M

S,

I <o2> [X2] -/. +

<а3> [Хз] 53 >

X

x ( _

1 ) ï

+

ft+Sl_5l+£t_t,{[5ij

Z ] ] r , / a .

( 2 0 6 )

здесь

число слагаемых

в

сумме

по

а

равно

с (IJJJzUz),

по

ß —

с ( [Я,] [Ко] [13])

и по у — с ((о-і)(ст2)(сгз)).

ибо

показывает, как

именно

Формула

(206)

особенно

важна,

вать правила отбора непосредственно для

изоскалярных

факто­

ров. Поэтому, например, обращение

в нуль

матричного

элемента

< / 6 [211] (30)3 G/|| №Ч'

5 Ч|/6 [П01

( И ) 3 Я >

< / 5

[221]

(30)2 С?/||

W^\\f5

[211] (11)4 Я>,

< / 5

[221]

(30)2 О/II

W№\\f5

[221] ( И ) 2 Я > ,

192

Б. Вайборн.

Теоретико-групповые

методы

Из

формул вида (206)

следуют многие

соотношения, сущест­

например, тензорные операторы W(°ft> при

четных k преобразуются

по

представлениям

[200]

и

(20)

групп

R1

и G2 ,

и,

поскольку

с((20) (31) (20)) = 1 ,

мы

можем матричные

элементы

этого опера­

тора представить в виде

< / s

[221] (31)3 /: I W(°v\\fG

[221] ( 2 0 ) 3 Г > = Л

<(31)L | (20) *+(20) А'>,

где А не зависит от L , V

и k. Аналогично имеем, что

< / 6

[221 ] (31 ) 3 L II WM

I

/

6 [221 ] (20)3 L'> = А'

<(31 ) L | (20) k + (20) L'y,

< / 5

[221 ] (31)2Z. I V/№*>u/5 [221 ] ( 2 0 ) 2 L ' > = A "

<(31) L | (20) A+(20)

L'y.

Хотя коэффициенты

пересвязыванпя обращаются

в

нуль

при

k = L ' и четных L , в самом

общем

случае

они в нуль не обра­

щаются. Поскольку

коэффициенты

пересвязывания одни и те

же

ричные элементы должны

быть пропорциональными друг

другу.

Действительно, непосредственные расчеты этих матричных эле­

ментов показывают, что

< / 6 [221] ( 3 1 ) 3 І | Ѵ7<о*>||/6[221] (20)3 Z/>

=

= - Ç - < / 6 [221] (31)

3 Z ! W(M\\f6 [211] (20)

3L'y

при L=PDF2GH2I2KzLMNO,

k = 2, 4, 6,

L ' = DGI.

Довольно неожиданно оказывается, что приводимый ниже мат­

ричный элемент для конфигурации f5 равен нулю:

< / 5 [221] (31)

2 Я|| Ѵ^°2 >|/5 [221] ( 2 0 ) 2 D > = 0 ;

</5 [221]

(31)2 Z||U7(oft>|/5[22i]

( 2 0 ) 2 І ' > = 0 .

(207)

Это в свою очередь означает, что А" = 0.

Джадд [87,

121]

показал, что

матричные

элементы

одноэлек-

тронных тензорных операторов W(°ft> и \У<1,£> (при четных k) для

раз­

личных конфигураций І п а и Іпь связаны

друг

с другом

соотноше­

нием

Onfv2 [X] zS2L\}w№\\

l"bV2 [Ц z'S2L'y

~~

_

r

(2/ + l - t > 2 ) (2l

+ 2-v2)

(2l

+ 3~v2)

у/,

,9 n R v

Гл. 10. Конфигурация эквивалентных

электронов

193

Используя эту формулу вместе с соотношением (207), легко

ви­

деть, что

< / 6

(221 ] (31)3 Z|| W^W/6 [221]

(20) 3 Z/>=0

при четных k.

Это довольно неожиданное

обращение в нуль

мат­

чаях с (U1U2U3)

> 1 и с ( [h] [К2]

[Аз]) > 1.

дал

Джадд

[15,

115];

Некоторые

примеры

таких

соотношений

типичным является соотношение

< / 6 [210] (20) 5L I W№\\

[210] (20) 5 Г >

=

= 1 Г ( < / 3 П 1 1 ] (20) 4 £ | | W ( C ! 2 ) | | / 3

[111] (20)4 Z/> +

+ </3 [210]

(20) 2L I W®k) I

/ 3 [210]

(20) 2 L ' > ) ;

в этом случае c((20) (20) (20))

= 2 .

Нельсон и

Костер

[122] составили

таблицы

редуцированных

матричных элементов тензорных

операторов

9

w ( 1 1 )

2fe +

i

W (

0 A )

и

Ѵ ( 1

, ) = - ^ 7 Г

( 2 0 9 )

для всех конфигураций

вида

р

п ,

dn

и f n .

Юцис

и др.

[118]

соста­