книги из ГПНТБ / Джадд Б. Теория сложных атомных спектров

42 Б. Джадд. Теория атомных спектров

классификации термов максимальной мультнплетности исходного полного пространства. Таким образом, мы можем исследовать рас­ сматриваемую схему классификации в надежде разрешить общую проблему классификации термов при произвольных значениях. /.

В случае /-оболочки не существует сдвоенных термов макси­ мальной мультнплетности. В случае ^-оболочки их наблюдается несколько: так, терм 'lF появляется дважды для конфигурации g3. Существенно сложнее ситуация для ft-оболочки или і-оболочки (самая сложная оболочка, которую рассматривал Шудеман); сдво­ енные термы максимальной мультнплетности появляются по многу раз. Как же различать эти одинаковые термы?

Один из способов — взять какой-нибудь оператор и диагоиализовать его. Отвлекаясь здесь от проблемы вырождения собст­ венных значений этого оператора, мы можем получить набор одно­ значно определенных собственных функций этого оператора, соответствующих разным собственным значениям. Однако очень ва­ жно при этом взять разумный оператор, такой, который имел бы хорошие свойства (но не слишком хорошие — а именно надо из­ бегать операторов с сильно вырожденными собственными значе­ ниями). Другой способ — обнаружить параллелизм между изучае­ мой системой и какой-либо другой, для состояний которой мы мо­ жем построить полную однозначную классификацию. Поскольку только один случай такого параллелизма был подмечен до сих пор, хотя он и оказался не очень плодотворным, сразу опишем его здесь.

6.2. Бозоны и плетизмы

Бордарье [17] первым обратил внимание на тот факт, что плетизм Мурнагана [18], использованный Вайборном, устанавливает соответствие между фермионными и бозонными состояниями. Бо­

термам конфигурации d5 (бозонной). Далее, повторяющиеся термы бозонных конфигураций всегда можно легко различить: так, на­

секстеты SD2FGZHI2KLN, при этом представление [5] группы £/5 разлагается по представлениям группы Л?5 следующим образом:

[5]->(10)D

+(30) S FOI

+ (50) DGH/KLN;

получаем полное разделение сдвоенных термов. Можно ли эту од­ нозначную бозонную классификацию как-то перенести на фермионы?

Исходный пункт здесь — это фактическое соответствие между антпснмметрпзованными фермионными состояниями

Соседние составляющие этого составного символа могут теперь равняться друг другу, но все равно любая последовательность со­ ставляющих должна оставаться упорядоченной (большая состав­ ляющая стоит слева от меньшей). Приведем теперь примеры. Со­

аУь+Ьу1А=0,

b УІ4+с / 1 8 + е 1/8=0,

сYÏ8+d1 20 + / ] / 8 " = 0 ,

еу Т 8 + / 1 / 1 8 " = 0,

/ У'20+g V 1 4 = 0 ,

которые нельзя полиостью разрешить относительно неизвестных коэффициентов. (Конечно, этого и следовало ожидать, так как име­ ется два терма iF для конфигурации g3 .)

бозонными и фермионными состояниями, то получаем, что фермион-

Эти коэффициенты определяют фермионное состояние, которое со­ ответствует бозонному состоянию .[100] F.

Возникает только одна неприятность, но она очень существен­ ная. Знаменатель 761 является простым числом. Что касается ^-электронов, это означает, что полученное разделение термов не­ естественно; оно, в частности, не соответствует разбиению прост­ ранства этих термов оператором е, который будет определен ниже.

Возможно, пространства других термов разделяются более ес­ тественным образом (см. задачу 6.1); однако рассмотренный при­ мер сдвоенных термов lF конфигурации g'3 уже показывает, что указанное направление исследований не может иметь большого успеха.

6.3. Классифицирующий оператор

Пытаясь найти оператор, разделяющий сдвоенные термы, есте­ ственно обратиться к_рассмотрению ситуации с /-электронами, где большой успех был достигнут с группой ~G2. При произвольных / ни­ какого аналога группы G2 не существует, так что мы, конечно, не можем надеяться автоматически перенести результаты, полученные при классификации /-электронов, на произвольные конфигурации. Однако можно по крайней мере попытаться построить такой опе­ ратор, который для /-электронов дает то же разделение повторяю­ щихся термов, что и группа G2. Этот оператор должен, конечно, принадлежать тождественному представлению (00) группы Gi.

Представление (00) встречается при приведении лишь немно­ гих представлений W группы Ri. Фактически, как показал Стоун [19], мы должны рассматривать при этом только представления вида W= (www). Другими словами, мы должны иметь дело с пред­ ставлениями (000), (111), (222) и т. д. Первое из них, представ-

ление (ООО), можно сразу отбросить, поскольку оператор, принад­

гичный оператор для более высоких / тоже ничего не дает в до­

рассматривать, только если мы хотим изучать суммы из трехчастичных, четырехчастичных и более сложных операторов. Из сооб­ ражений простоты мы будем работать, однако, самое большее с суммами двухэлектронных операторов. Поэтому у нас остается единственная возможность — использовать представление (111).

действуют только в орбитальном пространстве. Их можно также выразить через двойные тензорные операторы w( x W , введенные в за­ даче 4.1, так как

v l f t , = f 2 w w

и, следовательно,

(/|| v W|/)=(s/||w^)|| st).

Встает естественный вопрос. Можно ли процедуру построения

содержит только одно 5-состояние при его приведении по группе

ставление (1110), поскольку наши базисные операторы v(fe> (при

46 Б. Джадд. Теория атомных спектров

Для того чтобы построить оператор eg, заметим, что синглеты

жно найти, просто требуя, чтобы правая часть операторного вы­ ражения

определенным образом произвольную мультипликативную посто­ янную во всех коэффициентах сh, находим

нию оператора

(v!cf> • ѵП

за исключением терма при L = k.

Доказательство всех этих утверждений мы предоставляем читателю. Все они впечатляют; однако, пожалуй, самым замечатель­

иeh.

Вчем, однако, истинная причина наличия свойства (4)? Чтобы

ответить на этот вопрос, рассмотрим оператор

зорных операторов a(tfs", каждый из которых, как легко показать,

элементы, как это следует из рассуждений в разд. 5.4. Мы можем

(110.. .0) и (11110.. .0) группы Spu+2- Далее при сужении этой группы

только представление (НПО. ..0) содержит составляющие со спи­ новыми рангами, равными 2. Действительно, поскольку представ­ ление (НПО. ..0) группы Sp4i+2 несут состояния конфигурации /4 с числом сеньорита ѵ, равным 4, мы сразу видим, что единственным

и квазиспиновых квантовых чисел. Это понятно, так как операторы eg и ей — это скаляры в спиновом пространстве, тогда как опера­ тор Eh имеет ранг 2. Указанный выбор ранга существен, если мы хотим в вышеприведенных рассуждениях получить оператор, пре­ образующийся по представлению (НПО. ..0) группы Rn+\-

Теперь мы в состоянии понять утверждение (4). Если мы рас­ смотрим разложение оператора ЕЙ В квазиспиновом пространстве,

то получим (не выписывая коэффициентов Клебша—Гордана) вы­ ражение

Среднее слагаемое представляет собой двухэлектронный оператор, матричные элементы которого пропорциональны матричным эле­ ментам оператора

2 М*> • v f ) ;

I > j

при этом мы пренебрегаем возможными одноэлектроннымп опера­ торами, поскольку оператор H/t соответствует представлению (НПО. ..0) группы R&M- Первое н третье слагаемые в вышепри­ веденном выражении можно объединить (опять с точностью до одноэлектронных слагаемых, которыми можно пренебречь) и полу­ чить оператор

{(aV)( "° (aa)( "TJ 0 ) .

Для конфигурации I2 этот оператор имеет отличные от нуля мат­ ричные элементы только при 5 = 1, L = k; это и требовалось пока­ зать. Особенно поразительно то, что получаемое выражение для оператора Ek столь простое и что его вид одинаков при разных k. Последнее свойство является следствием того факта, что только

В случае і-электронов можно, однако, ожидать, что оба опера­ тора ві и е'. потребуют введения двух разных операторов 5^ и

, для того чтобы выразить их матричные элементы. Конечно, удобно было бы положить, например, что

и тем самым использовать выражение для этого оператора из за­ дачи 6.6.

(0. ..0), (ПО.. .0) и (НПО. ..0) группы Spu+ï, однако теперь из-за того, что спиновый ранг равен нулю, имеются две возможности