книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

а п-.а~т = а~п~{~т) =*а~,1+”,*=ат~п.

Этим подтверждается, что при делении степеней с одина­ ковыми основаниями показатели степеней вычитаются и в том случае, когда эти показатели равны либо 0, либо отрицательному целому числу.

В о з в е д е н и е с т е п е н и в с т е п е н ь

1)(ав)"= 1“ = 1,

(а°)п — а0'1—а0 = 1;

2)

телями удобны в том отношении, что позволяют экономно записывать весьма малые величины.

Например, масса электрона т== 9,1085-10~28 г. Гра­ витационная постоянная G = 6,673-10-11 Н-м2/кг2.

При такой записи сразу видно, что масса электрона определена с пятью точными значащими цифрами, а гра­ витационная постоянная —с четырьмя точными знача­ щими цифрами.

Для записи больших чисел пользуются положитель­ ными степенями числа 10.

Например: число молекул в 1 см3 при нормальных условиях равно 2,68713-1010.

Если не пользоваться степенями с отрицательными показателями, то пришлось бы писать в первом примере

32 нуля

Запись числа в виде произведения его значащих цифр на степень 10 называется «записью с плавающей запя­ той». Такая запись широко применяется при работе на электронно-вычислительных машинах.

§ 36. Понятие корня. Из курса арифметики известно, что сложение и вычитание называются взаимно обратными действиями на том основании, что если к произвольному числу а сначала прибавим число Ь, а затем вычтем то же число Ь, то от этого число а останется без изменения:

{a-\-b) — b —a,

или, меняя порядок действий,

(а —b) + Ь = а.

Подобным образом умножение и деление—также взаимно обратные действия, так как

Действие, обратное возведению в степень, называется извлечением корня', с помощью этого действия по данной степени и ее показателю ищется основание степени; на­ пример, если

Действие извлечения корня обозначается знаком У (знак корня, или радикала), причем над этим знаком пишется показатель корня и только в случае квадратного корня показатель корня 2 не пишется.

из положительного числа имеет два противоположных дей­ ствительных значения:

в) Корень четной степени из отрицательного числа не

является действительным числом; например, Ÿ —9 не может быть ни +3, ни —3, так как (± 3)2 = 9. Такие корни называют мнимыми числами, о чем подробнее будет сказано позже (см. гл. XV).

2. А р и ф м е т и ч е с к и й к о р е н ь . О п р е д е л е н и е . Неотрицательное значение корня четной степени из неот­ рицательного числа называется арифметическим значением корня или арифметическим корнем.

Имея в виду арифметические корни, надо писать:

м е т и ч е с к и е к о р н и .

§ 37. Основные тождества, на которых основаны преобразования корней и действия над ними.

(I) ( / а )п = а (по определению корня).

и показатель степени подкоренного числа умножить на одно и то же число.

Но всякое тождество можно читать как слева направо, так и справа налево. При чтении тождества (II) справа налево оно звучит по-другому: показатель корня и пока­

При извлечении корня из произведения можно извлечь корень той же степени из каждого множителя и полу­ ченные результаты перемножить.

во), то словесная формулировка будет другая: при умно­ жении корней (радикалов) с одинаковыми показателями

надо перемножить их подкоренные выражения и извлечь корень той же степени из их произведения.

Таким образом, тождество (111) в то же время дает и правило умножения радикалов с одинаковыми показа­ телями.

П р и м е р ы . V2 - V5Ö =К Н Ю = 10; 2) У Ъ У & = j / ä 5- *=a. Сочетая основное свойство корня (II) с тождеством

На тождестве (III) основано вынесение множителя за

степени из числителя и знаменателя и первый результат разделить на второй.

Чтение тождества (IV) справа налево дает правило деления корней с одинаковыми показателями: при деле­ нии корней с одинаковыми показателями можно разделить их подкоренные выражения и извлечь корень той же степени из полученного частного.

(V) ( £ /a )m= { Æ

Это тождество есть следствие из тождества (III). При возведении корня в степень можно возвести в эту степень подкоренное число, оставляя показатель корня без изменения.

степени подкоренного числа разделить на показатель корня, если это деление совершается нацело.

ня можно извлечь корень степени, равной произведению показателей данных двух корней, оставляя подкоренное число без изменения.

Тождеством (VII) чаще приходится пользоваться, чи­ тая его справа налево; например, располагая только таблицей квадратных корней или логарифмической ли­

проверяется одним и тем же приемом: обе части каждого равенства возводятся в одну и ту же степень, в резуль­ тате чего получаются одинаковые выражения.

§ 38. Извлечение квадратного корня с заданной сте­ пенью точности. Вбольшинстве случаев извлечение квадрат­ ных корней из чисел можно выполнить лишь приближенно. Покажем, как это делается.

Пусть требуется вычислить У 3 с точностью до 0,001. Это значит, что надо найти две десятичные дроби, раз­ нящиеся между собой на 0,001, между квадратами кото­ рых должно заключаться число 3, т. е. квадрат меньшей дроби должен быть меньше 3, а квадрат большей дроби должен быть больше 3.

Известно, что при возведении десятичной дроби в квадрат число десятичных знаков удваивается, например:

(1,5)2 = 2,25; (0,012)2 = 0,000144.

Поэтому три десятичных знака в квадратном корне можно получить лишь при условии, что подкоренное число имеет шесть десятичных знаков, т. е. выражено в миллионных долях. На место недостающих десятичных знаков напи­ шем нули и применим обычный прием извлечения квад­ ратного корня:

V 3,00'00'00 1,732. 1

27 200

7 189

343 1100

3 1029

3462 7100

2 6924

176 (остаток)

Дробь 1,732 есть приближенное значение ] / 3 по не­ достатку с точностью до 0,001, так как (1.732)2 = 2,999824...

Дробь 1,733 есть приближенное значение ]/ 3 по из­ бытку с точностью до 0,001, так как (1,733)а == 3,003289...

Пр и м е р . Вычислитьj/0 ,043818 с точностью до 0,01. В данном случае надо сохранить в подкоренном числе только четыре десятичных знака, лишние знаки отбрасы­

ваются:

V 0,04'38 æ 0,209 0, 21. 4

409 3800

9 3681

119

§ 39. Освобождение дроби от квадратной иррациональ­ ности в знаменателе. При приближенном вычислении чи­ словой величины дроби, содержащей в знаменателе ради­ кал, часто приходится делить на многозначное число, что неудобно. Однако можно данную дробь преобразовать так, чтобы знаменатель стал рациональным числом. Это пре­

образование носит название «освобождение дроби от ир­ рациональности в знаменателе».

Приближенное значение У 3 берем с четырьмя значащи ми цифрами по таблице квадратных корней:

Вычисление без предварительного уничтожения иррацио­ нальности в знаменателе требует большой затраты труда ввиду неизбежности деления на многозначные числа:

§ 40. Простейший вид радикала. Подобие радикалов.

Простейшим видом радикала принято считать такой его вид, когда: а) подкоренное выражение не содержит дро­ бей; б) множители вынесены за знак радикала; в) пока­ затель корня и показатель степени подкоренного выра­ жения сокращены на их общий множитель.

Следующие примеры служат иллюстрацией приведения радикалов к простейшему виду:

1) У З2а364 = У 16а26‘2а = \аЬ’ У 2а;

2) / « _ / 1 ^ = |К 6 Ж ;

зываются подобными, если они различаются только коэф­ фициентами, но имеют одинаковые подкоренные выраже­ ния и одинаковые показатели радикала или ничем не

отличаются. Подобными будут, например, 3 Y 2 и—| / 2;

аѴх - \ - у и —К х + г/.

Часто с виду радикалы как будто неподобны; однако после приведения их к простейшему виду может обнару­

Подобные радикалы приводятся так же, как и подобные рациональные одночлены, что видно из следующего сопо­ ставления:

3ху -f- Ъху—6ху = 2ху,

3 Yab + ЬѴ ab— 6)fab = 2 Ÿ ab. mx — nx -f px — (m—n-\- p)x,

m ] / a{b + c) —n l^a(b + c) + p l/ a ( b + c) =

— (m— n + p) y f a(b + c).

§ 41. Сложение и вычитание радикалов. При сложении или вычитании радикалов соединяют их между собой знаком плюс или минус и приводят подобные радикалы,