книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

29.Решить уравнения:

30. Решить следующие иррациональные уравнения и получен­ ные корни проверить:

28) 2л:+ 2 Уа2-\-х2= — 5а2 .

Уа2- X2

31.Решить следующие системы уравнений:

36.Решить системы неравенств:

Г Л А В А VIII

ВЕКТОРЫ

§ 86. Положительные и отрицательные отрезки на оси. Пусть дана ось ОР, т. е. прямая, на которой выбрано положительное направление, начало отсчета О и единица масштаба (рис. 46). Возьмем ряд точек на этой оси, например точки А, В, С, D, N.

Отрезки АВ, CD, ВС, AN и т. д., лежащие на оси ОР, будем различать не только по их длине, но и по направ­ лению: первая буква А в обозначении отрезка AB всегда

ление совпадает с положительным направлением оси ОР,

Из сказанного следует, что отрезки AB, DC, NB поло­ жительны; отрезки BA, CD, BN отрицательны.

О п р е д е л е н и е . Действительное число, абсолютная величина которого равна длине отрезка AB, взятое со знаком плюс или минус, смотря по тому, является ли отрезок AB положительным или отрицательным, назы­ вается алгебраической величиной отрезка. Алгебраические величины отрезков AB и В А —два противоположных числа.

. . . -j- Ая._і-А„ называется отрезок A,tAn, соединяющий

рода величины: одни из них —например такие, как длина,

эти величины в соответствующих единицах измерения. Такие величины принято называть скалярными величинами

или просто скалярами.

Другие величины— например такие, как скорость, ускорение, сила, напряженность электромагнитного поля,—помимо их численных значений, имеют еще опре­ деленное направление. Такие величины называются век­ торными величинами. Всякую векторною величину изо­ бражают в виде вектора, т. е. направленного отрезка, снабженного стрелкой на конце. Обычно векторы обо­ значают маленькими латинскими буквами полужирного шрифта: a, h . -. .; однако, когда необходимо подчеркнуть, что начало вектора—точка А, а конец—точка В, его

обозначают через AB. На рис. 48 изображены три вектора

AB, CD и EF.

Длина вектора AB (измеренная принятой единицей

масштаба) называется его модулем и обозначается |ЛД| . Модуль вектора а часто обозначают той же буквой а, но светлым шрифтом. Например, на рис. 48

AB | =3; I CD | = 2; | EF | = 1a j = 0 = 5.

Итак, модуль вектора —число (скаляр), всегда положи­ тельное.

Два вектора считаются равными, если они имеют оди­ наковые модули и одинаковое направление. Из этого определения следует, что вектор можно пере­ носить параллельно са­ мому себе, от этого он

не изменится.

в противоположные стороны, называются противополож­ ными. На рис. 49 векторы b и с противоположны.

Вектор, противоположный вектору а, принято обозна­ чать —а.

§ 88. Действия над векторами. Над векторами можно по установленным правилам производить арифметические действия, как и над числами, т. е. скалярными вели­ чинами.

I. С л о ж е н и е в е к т о р о в . Пусть даны три вектора: a, b я с. Тогда их суммой называется вектор,, постро­ енный по следующему правилу (рис. 50, а)-.

точке В строим вектор ВС —Ъ\ при точке С строим век­

тор CD —с; получается векторная ломаная ABCD.

Вектор AD, идущий от начала первого вектора к концу последнего, называется суммой данных трех векторов (по определению). Сумму двух векторов иногда строят

так: приводят векторы к общему началу и строят на них, как на двух смежных сторонах, параллелограмм, тогда вектор, идущий по диагонали из общего начала, есть их сумма (рис. 50, б).

2. В ы ч и т а н и е в е к т о р о в . Разностью между век­ тором а и вектором Ь называется такой третий вектор с, который, будучи сложен с вектором Ь, дает в сумме вектор а. Такой вектор можно построить следующим образом: приведем векторы а и b к общему началу (рис. 51).

П р и м е ч а н и е . Вычитание вектора b можно заме­ нить прибавлением противоположного вектора —Ь. Резуль­ тат будет один и тот же. Заметим, что если направим векторы а и b по двум смежным сторонам параллело­ грамма, то вектор, идущий по одной из диагоналей, есть сумма, а по другой диагонали — разность данных векторов.

іоб

2) « • ( - - ! ) ; 3) а - і -

Для всякого вектора а можно построить его единич­ ный вектор а0, имеющий то же направление, что и век­ тор а, и длину, равную единице. Тогда по правилу умно­ жения вектора на скаляр имеем:

а = а°-а.

Всякий вектор а равен своему единичному вектору а0, умноженному на модуль вектора а, т. е. на положитель­ ное число а.

Рис. 53.

Запись а -2 и 2а означает одно и то же. Если сумма векторов умножается на скаляр, то можно каждый сла­ гаемый вектор умножить на этот скаляр и полученные ре­ зультаты сложить. На рис. 53 показано умножение суммы векторов (а-\-Ь) на скаляр 2; это умножение выполнено

двояко: а) вектор АС —а А-b умножается на 2 (длина

увеличивается в два раза); получается вектор AClt равный

2а + 2Ь (рис. 53, а); б) вектор АСг получен как сумма векторов 2а и 2b (рис. 53, б).

§ 89. Проекция вектора на ось. Как известно, проек­ цией точки М на ось называется основание перпендику­ ляра MM t, опущенного из точки М на эту ось, т. е. точка Mj.

Пусть дана ось I и произвольный вектор AB (рис. 54). Опустим перпендикуляры из начала и конца вектора на

ось. Получим на оси отрезок А1В1, алгебраическая вели­

прг AB —•АгВг — 3; прг CD = C1D1 = —4; прг EF = О,

так как вектор EF перпендикулярен к оси /. Очевидно, если вектор параллелен оси проекции и имеет с осью

одинаковое направление, то его проекция равна длине вектора; если же направление вектора противоположно направлению оси /, то

прга = —а.

Т е о р е м а 1. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций отдельных слагаемых векторов на ту же ось.

Спроектируем отдельные слагаемые векторы на ту же ось:

Складывая эти равенства, получим:

прг AB + пр, ВС + пр, C D = A lB1+ ВІС1+ C,Dj = A,D,. (3)

Правые части равенств (1) и (3) равны между собой, следовательно, равны и левые части:

равна сумме проекций отдельных звеньев ломаной и

есть определенное число, не зависящее от модуля вектора.

Из подобия прямоугольных треугольников АВВ1 и ZiCCj имеем: