книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

2) Если X < 0,

то | х | = — X и у = — х. При

отрица­

тельных значениях

аргумента х график данной

функ­

Нетрудно заметить, что если

сдвинуть вдоль оси Ох

в положительном направлении

на 2 единицы график

у = \х\, то получим'новый график у = \х — 2 |.

Подобным образом график у = | х -f

11получается из гра­

фика у = \х\ параллельным переносом

его в отрицательном

направлении оси Ох на 1 единицу

масштаба (рис. 3 4 ).

ПО

П р и м е р 3. у =

1) При

всех

значениях

х < 0 имеем |х | = — х, а поэ­

тому у =

— — 1 .

2) При

всех

X > 0

будет г/= -^-= 1. Итак,

У =

1

при X >

О,

— 1

при X <

0 .

2. Найти

величину дроби

/ ( 2)

и произведения / (1)-ф (3), если

}(х) = 2х+ 1,

ф(х) = х2 + 4.

ф(2)

о у

_________

г _____

J - L

1)

3 = Т Т & ' 2) 0 =

^ 2* + 1; 3) У = Ѵ ^ І

4) =

3 ;

5) у =

і Л ё = і ;

6) < /= 2 І

= з : 7)y= = " p f

•

1)

у = х * + 1;

2)

у = х2 + х;

3) y =

j ^ 2 '>

4)

< /= jr*

4 ’

5 )

^

;

б

)

у = у ъ

7 ) H

Ç

| .

5. Построить графики следующих функций:

1)

/ / = ? / х і ;

2) y = —7Â = = r;

3)

у =

-2^

1L ;

4)

і/2 =

х3.

6.

J К

^

^ 3

+ х2

*+ 2

себе;

1) вверх

на

Перенести

параболу

у — х2 параллельно самой

1

единицу;

2) вниз

на

2

единицы;

3) вверх

на 5

единиц. Для

каждого случая написать новое уравнение параболы.

на

оси орди­

7.

Как располагается вершина

параболы

y — x2-\-q

нат,

если:

1)

q > 0;

2) q <

0;

3) q = 0?

1) вправо

8. Произвести сдвиг параболы г/ = х3 вдоль оси абсцисс:

на 4 единицы; 2) влево

на 3 единицы. Для каждого случая написать

новое уравнение параболы.

параболы

у — х2 получается

9.

Указать,

каким

перемещением

каждая

из

кривых:

1)

у = (х—2)2+ 1 ;

2)

п = (х + 1 )2— 4;

3)

у = (х —З)2 —4;

4)

у = (х + 4)2+ 1 .

10.

Параболу

у = х2 перенести параллельно самой себе:

единицу

1) на 3 единицы вправо и на 2 единицы

вверг, 2)

на

1

влево

и на 3 единицы вверх; 3) на 5 единиц

вправо

и на 4 единицы

вниз;

4) на 1,5 единицы влево

и на 2,5

единицы вниз.

случаев новое

Написать для каждого из упомянутых четырех

уравнение

параболы.

11.

Как надо сместить параболу у — х2относительно координатных

осей,

чтобы

новое

уравнение

параболы

было:

1) у = х2—8х-|-7;

2)

у = х2-|-4х + 3;

3) у = х2— x-j-2 — ?

Каковы будут

новые коор­

динаты

вершины

параболы в каждом отдельном случае?

12. Каково взаимное расположение каждой из следующих пар

парабол:

1)

у = 3х2

и

у = —Зх2;

2)

у = (х— I)2

и

ц = — (х— 1)а;

3)

у = ( х + 2)2 +

3

и

у = - ( х + 2)2 +

3?

если

известно,

что

13.

Чему должен быть

равен коэффициент а,

значение функции

у — ах2 при

х = 1

равно 2?

у = ах2

должна

14.

Тот же

вопрос

при

условии, что

парабола

пройти

через точку (2; —4).

15.

Какие значения

надо придать коэффициентам а и с в формуле

у — ах2-\-с,

выражающей

функцию

второй степени,

чтобы

график

функции

проходил через точки М (—1; —3) и Р (3;

0)?

16. При

каком

значении

аргумента х функция

у — х2—7х— 10

имеет наименьшее

значение?

х, функ­

17.

В какой точке, т. е. при каком значении аргумента

ция

у — —x2-f-8x-j-7 достигает

своего наибольшего значения?

именно: при каких значениях ар­

гумента х трехчлен обращается в

нуль

и существуют

ли,

вообще го­

воря,

такие значения аргумента?

В

каждом

конкретном

случае

по графику функции

мы можем от­

ветить на поставленный вопрос. На­

пример,

функция

у — 2х2—5х—3

дважды

обращается

в

нуль: при

X —

■и х = 3,

что видно из графи­

тся (рис. 37). Однако такое графи­

надо при­

ческое

решение

вопроса в

ряде

случаев

знать

неполноценным,

так

как,

во-первых,

построе­

ного

уравнения;

из них

а —первый

коэффициент, или

коэффициент при старшем

члене, b—второй коэффициент,

или

коэффициент

при

неизвестном

в

первой

степени,

с—свободный член.

квадратный

трехчлен

ах2+

Число

х0,

обращающее

ф Ь хф с

в нуль, называется

корнем

трехчлена,

а

также

и корнем квадратного уравнения ах2

Ьх ф с = 0.

равны

Например,

корни

трехчлена у = 2х2—5х—3

хх = — Y

и *2 = 3,

так

как

1 ) ах2фЬх = 0

(с =

0 ,

а

0 ,

b 0 );

2 ) ах2+ с = 0

( Ь —

0 ,

а ф

0 ,

с Ф О У ,

3) ах2 = 0

(аФ 0 ,

Ь = с = 0 ).

обращается в нуль тогда, когда

хотя бы один из множи­

телей равен

нулю;

поэтому либо х —0, либо

ахфЬ = 0,

откуда X=

ь

— —.

Итак,

неполное

квадратное

уравнение

ах2-\-Ьх — О

имеет два

Л

Ь

корня: хх = 0 , х2= —

з

Пр и м е р . 4х2 —3х = 0, хх= 0,

х2 = -^-.

2) Уравнение

ах2,-\-с = 0

почленным

делением на а

и переносом свободного члена в правую

часть приводим

к

виду: х2 = — - ,

х — ± у

—^ .

Если

коэффициенты

а

и с имеют противоположные

знаки,

то

< 0 , а потому

П р и м е р ы .

1 ) 4х2 —9 = 0, "х 1= — j / " = —у ,

х2 = ~2

•

2)

3x2 -f5 = 0,

х2 = —у .

Данное

уравнение

корней

не

имеет,

так

как

нет

такого

действительного

числа X, квадрат которого

равен отрицательному

числу

5

D

таких

случаях

говорят,

что

корни

мнимые

— g-.

В

(о мнимых числах см. гл. XV).

3)

ах2 = 0.

Так

как

а ф 0, то

х2 = 0,

х = 0.

Говорят,

что число

0

является

двукратным

корнем

уравнения

ах2 = 0 ,

т. е. х1 = х2 = 0 .

§

64.

Приведение

полного

квадратного

уравнения

к виду (х

т)2 =

п (п ф (I). Подобно тому как решалось

неполное

квадратное уравнение

ах2-\-с~ 0 , может

быть

решено

уравнение

(x + m)2 = n.

из

обеих

частей,

полу­

Извлекая

квадратный корень

чим X -[- т = dz У п , откуда

хг= — т — У п , х2 = — т + У п .

П р и м е р

1.

(x -f3 )2 = 25,

х + 3 = ± 5,

xt = —8 ,

х2 = 2 .

(—8-}-3)2 = 25, (2ф-3)2 = 25.

Оба корня

П р о в е р к а .

удовлетворяют уравнению.

Если в данном

примере

рас­

крыть

скобки

и перенести

все члены в левую

часть, то

получим

полное

квадратное уравнение

х2—6х— 16 = 0 .

Приемы решения такого уравнения пока нам неиз­

вестны. Но если мы сумеем его

привести

к форме (х +

+ m)2 = n,

то

этим и будет

найден способ

решения.

уравнения:

** + 2 . f * + ( f ) a-

( ! ) 2+ </==0 .

Здесь в левую часть уравнения

введены

в качестве

сла­

гаемых два противоположных числа f-yj

и — f-yj ,

что,

часть имеем:

р2_ -ч

х3 + 2 -|- х +

или

ЕІ

Ч-

4

Извлекаем квадратный корень из

обеих частей, считая,

что

{ ■ jJ — 4 > 0 ;

тогда х 4 --у =

± ) /" ( д ) 2—Ч,

откуда

Это и есть формула,

по которой вычисляются корни при­

П р и м е р . Решить уравнение

х2 — Зх — 28 = 0. Здесь

р = —3, q = —28. Поэтому

* lt2 = -§-±

( - 2 8 ) ,

х\, z

~2 Зг ~2 ~t х\

4, х2= 7.

§ 6 6 . Общая

формула корней

квадратного уравнения.

общего вида ах2

Ь х с = 0 , то после деления всех членов

на а(аФ 0 ) оно

перейдет в

приведенное:

х2 + — х + — = 0 .

' а

' а

Тогда

или

b

±

_ f

b2 — Aac

r

—b ±У~Ь2—4ac

X l’ 2 = ~ 2 à

V

4cfi

’

Xi. 2 —

Ya

Корни квадратного

уравнения

общего вида равны дроби,

из квадрата этого

коэффициента без учетверенного про­

изведения первого коэффициента на свободный член.

П р и м е р

1.

4х2 —5х— 6 = 0 (а = 4,

Ь = —5, с = —6 );

5 ± УЪ2 — А( — 6)4

5 ±11

’

Х\

3

0

Х 1 , 2 —

g

> Х 1,2

g

4 > Л'2 = 2.

Если второй

коэффициент Ь = 2т,

то формула

корней

может быть упрощена; в этом случае имеем:

хі, 2 —

—2т ±

У 4т 2— 4ас

—2т ± 2 У т2— ас

’

Ya

2Ö

ИЛИ

±

У т 2 —

ас

X

l , :

П р и м е р

2.

5х2—8х—4 = 0.

ѵ1, 2

4 ±

У 16+ 4-5

-,

Хп— 2 .

Т е о р е м а .

Сумма корней приведенного квадратного

уравнения равна второму

коэффициенту,

взятому

с про­

тивоположным

знаком,

а

произведение

корней

равно

свободному члену.

По

формуле корней приведен­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

ного квадратного уравнения

имеем:

£

£

2

£

2

2 У

2

—я, X

2 У

—Я-

*і-*2 =

( т ) 2— (у )* + <7,

•** = ?•

что и требовалось

доказать.

т е о р е м а .

Если сумма

Справедлива и

о б р а т н а я

двух

неизвестных

чисел равна р, а их произведение рав­

но q,

то искомые

числа

являются корнями

квадратного

уравнения

X2— p x + q = 0.

(1)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

т

и п —неизвестные

числа, то по условию теоремы имеем:

m -n = q.

(2)

X2 — (т-\-п) X

тп = 0.

(3)

Подстановка в уравнение

(3)

на место х

числа т дает

т2—(т + п) т + тп = 0

или

0

=

0.

С л е д с т в и е .

Для

квадратного

уравнения общего

вида ах2-\-Ьх-\г с = 0,

после

его

приведения к виду х2+

,

b . с

=

п

имеем

4----хЧ—

а

0 ,

’

' а

'

Х л

.

Х п

b

’

Х л * Х п = =

с

- j -

=

----------------,

-------- •

1

1

2

а

1 2

а

составить

и

само

уравнение,

опираясь на доказанную

нами обратную теорему.

П р и м е р

1. Составить квадратное уравнение, корни

которого

равны:

хх =

—3, х3

= 5. Вычисляем сумму и

произведение

корней:

х1 + х2 =

2, хг-х2 = —15.