книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

Из приведенных примеров видно, что всегда можно уравнения данной системы преобразовать так, чтобы коэффициенты при одном из неизвестных отличались лишь знаком, тогда почленным сложением данных урав­ нений получаем уравнение с одним неизвестным.

§ 14. Способ подстановки. Часто употребляется такой прием решения системы: из одного уравнения выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы, что приводит к уравнению с одним неизвестным. Такой прием решения системы получил название способа подстановки.

П р и м е р 1.

{5x-j-2i/ = 14,

\Зх —4у = 24.

Из первого уравнения выражаем у через х :

(все коэффициенты отличны от нуля и аЪф\) .

Из первого уравнения находим у —с—ах. Замена во втором уравнении неизвестного у на с—ах приводит

куравнению с одним неизвестным

х-\-Ь(с—ах) = /п,

откуда x = т — Ьс

Зная значение х, из равенства у = с — ах легко найти у.

§ 15. Решение линейной системы при помощи опре­ делителей. Пусть дана линейная система с буквенными коэффициентами

Получим уравнение с одним неизвестным (х), которое приводится к виду

Если коэффициент при х, т. е. выражение афх—аф2, отличен от 0, то можно обе части равенства (2) разде­ лить на него; получим:

аф2—афхФ 0, причем значения неизвестных вычисля­ ются по формулам (3) и (4).

Обратим внимание на то, что знаменатели дробей, представляющих значения неизвестных, одинаковы. Этот общий знаменатель равен аф2—афх\ он составлен только из коэффициентов при неизвестных х, у. Выпи­ шем эти коэффициенты в том порядке, как были заданы

уравнения системы, пропуская сами неизвестные, и рае положим их в виде квадратной таблицы; получим:

Если перемножить коэффициенты, расположенные на диагоналях квадрата, и из произведения чисел, распо­ ложенных на диагонали, идущей из левого верхнего угла вниз, вычесть произведение чисел другой диаго­

Вообще для таблицы вида (5), составленной из про­ извольных четырех чисел (не обязательно являющихся коэффициентами системы), выражение, аналогичное (6), называется определителем 2-го порядка.

Заметим, что для запоминания правила вычисления определителя удобно следующее схематическое изобра­ жение его:

ах Ьх

а2

Пр и м е р .

3

= 3-8 —4 (—5) = 44.

4

Числители дробей, определяющих значения неизвест­ ных в равенствах (3) и (4), также представляют собой определители 2-го порядка:

Определитель Ах получен из определителя системы

А =

ах К а2 Ъ2

В случае равенства нулю каких-либо коэффициентов си­

пропорциональность коэффициентов при одинаковых не­

(т. е. Ау тоже равен нулю).

Обозначим величину каждого из трех равных отно­ шений через k(k=£0):

После замены коэффициентов первого уравнения их вы­ ражениями из равенств (2) система примет следующий вид:

Ika„x -у kb2y ~= kc2,

\а2х + Ь2у -= с2.

Если сократим все члены первого уравнения на множи­ тель к, то окажется, что данная система состоит из двух одинаковых уравнений, т. е. одно уравнение есть след­ ствие другого. Иными словами, мы имеем одно уравне­ ние с двумя неизвестными. Как было отмечено ранее, одно уравнение с двумя неизвестными имеет бесчислен­ ное множество решений. В этом случае говорят, что система неопределенна.

П р и м е р .

( 4х -f &у = 3,

\ 6х -J- Qy = 4,5.

Имеем:

Здесь коэффициенты при одинаковых неизвестных и свободные члены пропорциональны; если умножить обе

з Г части первого уравнения на у ( или второго уравнения

на ~-j , то оно совпадает со вторым (с первым).

шение — обозначим через т, где т ф к . Тогда с1 —тс2.

CÏ

В первом уравнении системы заменим коэффициенты Oj на ka2, Ьг на kb2 и свободный член сг на тс2. Система примет вид

J (агх + b2y) k = с2т (кф т ),

Но на самом деле т ф к . Из полученного противоречия следует, что система не имеет решения.

В данном случае говорят, что система уравнений не­ совместна или противоречива.

П р и м е р .

( 2х—З у ~ 4 , \ 4х—бу = 5,

Коэффициенты при неизвестных пропорциональны:

Свободные члены не пропорциональны коэффициентам:

Левая часть второго уравнения получена из левой части первого умножением ее на 2, а правая часть получена из правой части первого уравнения умножением ее на

5* . Система несовместима и решений не имеет.

П р и м е ч а н и е . Если, не задумываясь над структу­ рой данной системы, решать ее, например, способом алгебраического сложения, то придем к нелепому ре­ зультату: 0 = 3, так как оба неизвестных исключаются сразу.

Подведем итог тому, что было сказано о решении линейной системы

I+

\агх + Ьгу = сі .

а) Если определитель системы А ^ О , то система опре­ деленна, т. е. имеет единственное решение.

б) Если Д = 0 , Д* = 0, то соответствующие уравне­ ниям две прямые сливаются в одну общую прямую; по­ скольку у них бесчисленное множество общих точек, то, стало быть, и система имеет бесчисленное множество решений.

в) Если Д = О, А* ф 0, то прямые, соответствующие уравнениям системы, параллельны, т. е. не имеют ни од­ ной общей точки, а потому система не имеет решений.

На рис. 3 изображены эти три возможных случая.

§ 17. Особые случаи линейных систем. До сих пор рассматривались линейные системы уравнений, в которых число неизвестных было равно числу уравнений, входя­ щих в систему. Однако в приложениях математики к другим наукам бывают случаи, когда уравнений, вхо­ дящих в систему, больше, чем неизвестных (такие системы называют переопределенными), или, наоборот, число не­ известных превышает число уравнений системы. Приемы решения таких систем рассмотрим на ряде примеров.

П р и м е р 1,

{ X— у = 1, ■j Зх —2у — 5,

( 5х —Зу = 9.

Сначала решаем систему, составленную из первых двух уравнений,

ставляем в третье уравнение и убеждаемся в том, что

Эта система уравнений не имеет решений, так как, ре­ шая систему

IX -f- 2у — 7,

\Зх— у — 14,

\5х— Зу = 7

инаходим X — 2, у = \ .

Подстановка этих значений неизвестных в третье

П р и м е р 4.

2х— у — 5г —О, 3х-\-2у— 1\г —0.

Очевидно, что всякая однородная система (не обя­ зательно линейная) имеет нулевое решение: х — у —z = 0. Теперь будем искать решения, отличные от нулевого решения.

Предположим, что г=£0. Тогда можно разделить на г все члены уравнений; получим систему

Полагая

имеем:

I 2и — / = 5,

\ Зы + 2 /= 11,

откуда й —3, /== 1.