Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Теперь легко выводим:

t g ( ----

О С ) :

ctg (— а):

sec (— а) :

cosec (— а) =

sin (— а ) _—sin а _		=— tga,
cos (— а)	cos а
cos (— а )	cos а	= — ctg a,
sin (— а)	— sin а
cos (— а)	cos а	sec a,
cos (— а)	cos а
1	1	= — cosec a.
sin Г— a i		= — cosec a.
sin Г— a i

Таким образом, знак минус в аргументе у косинуса и секанса можно просто опустить, а у синуса, тангенса,

котангенса и косеканса знак минус выносится и					ставится
перед	обозначением самой		функции.	Другими	словами,
y = cosx—четная		функция	(§ 50), а	y = smx,	y —tgx и
у = ctgX— нечетные функции.
Пр и м е р ы .		1) sin (—120°)=— sin 120° = — sin 60° =
_	Vs .

2’

2)cos (—210°) = cos 210° =

=cos (180° + 30°) = — cos 30° - — -Ç - ;

3)t g ( - T ) = - {g T = - 1;

4)cosec (—300°) = — cosec 300° = — cosec (360° — 60°) =

=cosec 60° == —%=.

§ 108. Формулы приведения. В этом параграфе будут даны формулы, по которым можно значения тригономе трических функций любого угла а, не выходящего из границ 0° ^ a ^ 360°, выразить через соответствующие значения тригонометрических функций острого угла. Такие формулы называются формулами приведения.

1.	Ф о р м у л ы п р и в е д е н и я д л я у г л о в , о к а н
ч и в а ю щ и х с я		во II ч е т в е р т и .	Всякий угол, окан
чивающийся во II четверти, можно представить либо как
сумму	90°-)-а,	либо как разность	180° —а. Например,

115° = 90° + 25°, 115°== 180°—65°.

Соответственно этим двум разным представлениям од ного и того же угла получим две серии формул приве дения.

На рис. 84 изображены две окружности единичного радиуса; в первой из них построен угол 90°-f-œ, во вто рой—угол а.

Пусть ОМ = {х, у\, 0 1іѴ= {х1, г/J;


sin (90° -f а) = OMl		--■=у,
cos а =- 0 1N1		= x 1.
Из равенства прямоугольных	треугольников ОМгМ
и O f l f l следует, что \| ОМх\| =	\| OlNl \|, или \|</\| = \| A,\|.

Опуская знак абсолютной величины, поскольку у и хг положительны, получим у = хѵ или sin (90° + а) = cos а.

Из этого же рис. 84 следует, что

cos (90° -{-а) = 0MV sin а = 0 1W2.

По абсолютной величине проекции ОМ2 и 0 XN2 равны,

по знаку противоположны, а потому

cos (90° + а) = -sin а;

tg(90° + a)

ctg (90° + а)

sin (90°+ а)	cos а	Ctg а;
cos (90° + «)	- sm а	Ctg а;
cos (90° + а)	-sin а	tga.
sin (9 0 ° + а)	cos а	tga.
sin (9 0 ° + а)	cos а

Ha рис. 85 имеем другую пару единичных окружностей,

в которой вектор	ОМ образует с осью Ох угол 180°—а,
вектор О ^ —угол	а: sin(180° —а) = ОМ1,	sina = 0 1 Af1.
Координаты ОЛД и 0 ^ равны друг другу		по величине
и знаку:

О М ^ О ^ і,

или

sin (180° —а) = sin а.

Далее,

cos (180° —а) = ОМ2, cos a —OxN2.

По абсолютной величине координаты ОМ2 и OxN2 равны, по знаку противоположны:

ОМ2 = — OxN2,

или

	cos (180°—а) = — cos а.
Теперь можно	найти		значения	тангенса		и котангенса:
tg(180° —а) =			sin (180°—а)		sin а	■fgа,
			,1й„о , —
бѴ	'	cos (180 —а)		— cos а

ctg (180° —а) = — ctg а.

П р и м е р ы . 1) sin 150°== sin (180° —30°) = sin 30° — ■

2 )	ctg 1 2 0 ° = ctg (180°—60°) = — ctg 60° = — y = ;
3)	cos 110° = cos (90° +20°) = — sin 20° ж —0,342.
2.	Ф о р м у л ы п р и в е д е н и я д л я у г л о в , о к а
ч и в а ю щ и х с я		в III ч е т в е р т и . Угол, оканчивающийся
в III	четверти,	можно представить либо как сумму

180° + а, либо как разность 270° —а.

На рис. 86 на двух единичных окружностях изобра жены углы 180° + а и а:

sin (180° + а) = ОЛД, sina^O jA ^;

координаты ОМх и OxNx по абсолютной величине рав ны, но противоположны по знаку; следовательно,

0 М Х= —OxNv или

sin (180° + a) = — sin a. Подобным же образом устанавливаем, что

cos (180° -f a) = — cos a, tg (180 -f- oc) ==t tg oc, ctg (180° -f a) = ctg a.

На рис. 87 изображены углы 270°—а и a на двух

единичных окружностях. Согласно изображению на ри сунке, имеем

sin (270°—а) — ОМѵ cos a = 0 1N2\ ОМх = —

откуда	'
	sin (270°—ос) = — cos а.

Подобным же образом находим, что

cos (270°—а) = — sin а, tg (270° —a) = ctg ос, ctg (270°—a) = tga.

П р и м е р ы .				1) sin 250° = sin (270° —20Q) = — cos 20°»
__ Q	9397 *
2)	cos 240° = cos (180° + 60°) — — cos 60° = —1/2.
Рекомендуем читателю вывести самостоятельно фор
мулы приведения для					углов,		оканчивающихся			в	IV чет
верти, т. е. углов вида либо							270° + “ . либо		360°—а.
§	109. Общность				формул		приведения.		При		выводе
формул		приведения			мы	предполагали,		что		входящий
в состав		аргумента			угол	а —острый. Однако				формулы
остаются справедливыми и при любом а.
Покажем,			например, что имеет место формула
				sin (90° -f а) = cos а.							(1)
Во-первых, из справедливости ее для углов, изменяю
щихся в		пределах первой				окружности,		следует справед
ливость		для	любых		углов.		Действительно,			если угол
а > 360° или			а < 0°,		то	его	можно представить				в виде
а = ß + 360°-/г,				где ß < 360°,			п —целое	(положительное

или отрицательное) число. Но согласно определению

тригонометрических				функций		(§	98)	sin (90° -f а) =
=	sin [360°		• п -f (ß -f 90°)] =			sin (ß -f 90°),			cos а =
=	cos (ß + 360°-rt) = cos ß;				следовательно,			sin (90°-fa ) =
=	cosa,	так как для ß эта формула по предположению
уже выполняется*).				формулу (1) для углов а, изменяю
	Докажем теперь
щихся в пределах первой окружности.								a	— 90° -f ß,
	Пусть		а —угол	II	четверти,		т. е.
0 < ß <		90°. Тогда,		так как
		sin (90° -f a) = sin (180° + ß) = —- sin ß,
			cos a = cos (90° -f ß) = — sin ß,
то	левая	и правая		части равенства (1 ) совпадают, сле
довательно,			в этом случае формула справедлива.
	Пусть теперь a —угол				III четверти, т. е. a = 1 8 0 °-f ß,
0 < ß <		90°. Тогда

sin (90° -f a) = sin (270° -f ß) = — cos ß, cos a = cos (180° -f ß) = — cos ß,

откуда опять следует справедливость соотношения (I).

*) Свойство тригонометрических функций, которым мы здесь воспользовались, носит название периодичности и будет особо рас смотрено в § 112,

Пусть, наконец, а —угол IV четверти, т. е. a=270o-fß, О < ß < 90°. Тогда

sin (90° + а) = sin (360° + ß) = sin ß, cos a = cos (270° + ß) = sin ß.

Следовательно, и в этом случае формула (1) верна. Итак, справедливость формулы (1) доказана для лю

бых углов.

Подобным образом можно проверить справедливость любой из формул приведения.

§ ПО. Два правила для запоминания формул приве дения. 1. Если аргумент (угол) приводимой тригономе

трической	функции имеет вид (180°—а), (180° + а),
(360°-—а),	или в радианной мере, (я—а),	(я -f-a), (2я—а),
то название приводимой функции не		меняется. Знак

в правой части формулы приведения пишется в зависимо сти от того, какой знак имеет приводимая функция

вданной четверти.

Пр и м е р ы . 1) cos 150° = cos(180°—30°) = — cos30° = |/~3"

=— • Знак минус взят потому, что угол 150° окан

чивается во второй четверти, где косинус отрицателен.

2 )	tg 240° = tg (180° +					60°) =--- tg 60° =			1/3.	Угол	240°
оканчивается			в III	четверти,			где	тангенс положителен.
3)	sin 315° = sin (360°—45°) = — sin 45° = — р р .										Угол
315° оканчивается в IV четверти, где синус отрицателен.
4)	5я		/	, я	\	= —	я		У 2
	C O S j - =		C O S ( Я + р -		J		C O S p = —		— .
2. Если аргумент приводимой тригонометрической
функции		имеет		вид	(90°—а),			(90° + а),		(270°—а),
(270° + а),		или, в		радианной			мере,
			( т + а)>			( I я -		0) ’	( т я + а )>

то название приводимой функции меняется на сходствен ное: синус переходит в косинус, и наоборот; тангенс пе реходит в котангенс, и наоборот-, секанс— в косеканс, и наоборот-, знак в правой части формул пишется согласно знаку приводимой функции в данной четверти.

П р и м е р ы .	1)	sin 100° — sin (90° + 10°) = cos 10°.
Угол 100° лежит	во	второй четверти, где синус имеет

положительное значение.

2) cos 300° = sin (270° + 30°) = sin 30° = - .

3 ) tg 135° = tg (90° + 45°) = — ctg 45° = — 1.

4) ctg "ß- — ctg (-2 Я + б ] = - * 8 - б = - у = .

§ 111. Тригонометрические функции числового аргу мента. При изучении функции вида у —ах2 (см. § 52) отмечалось, что эта функция отражает различные кон кретные явления нашей действительности, например:

1 ) закон свободного падения тела в пустоте, тогда

X—время, у —пройденный путь, а = -|-;

2 ) зависимость между площадью круга и радиусом; здесь X—радиус, у —площадь, коэффициент а = я;

3) сопротивление среды движению тела, у = кхг, где X—скорость, у —сила сопротивления.

Во всех этих случаях одна из переменных величин изменялась пропорционально квадрату другой. При ма тематическом изучении функции у — ах%мы отвлекаемся

от физического	или	геометрического смысла	переменных
и под буквами	х и	у подразумеваем числа.	Аналогично

поступают и при изучении тригонометрических функций.

Аргумент X принимается за					некоторое число,			тогда
1)	sin 0,5		означает	синус	угла,	равного 0,5 рад.
2 ) cos 1 , 2			означает косинус угла, равного					1 * 2	рад.
3)	tg(cos n) = tg( — 1 ) = — t gl ,					где tg 1 означает'тан
генс угла, равного одному радиану.								функцией
О п р е д е л е н и е .				Тригонометрической
числового		аргумента х называется				(одноименная)			функ
ция угла,		содержащего х рад.						синуса		и
П р и м е ч а н и е .				Для отыскания значений
косинуса числового аргумента в конце книги								приведена
таблица. По			ней находим:
		sin 0,75 = 0,6816,			cos 1,3 = 0,2675.
§	112.		Периодичность тригонометрических					функций.
Пусть	вектор ОМ в единичном круге						образует		угол	a
с осью Ох (рис. 6 6 ). Если к					аргументу,		т. е. к углу			а,

прибавим любое целое число оборотов, то конец вектора

ОМ окажется в прежней точке окружности и от такого увеличения аргумента на целое число оборотов значения тригонометрических функций не изменятся, каков бы ни был исходный угол а.

О п	р е д е л е н и е 1.	Функция называется периоди
ческой,	если существует	число, отличное от нуля, при

бавление которого к любому значению аргумента не ме няет значения функции.

О п р е д е л е н и е 2 . Наименьшее положительное чис ло, прибавление которого к любому значению аргумента

не	меняет значения				функции,
называется периодом функции*).
	Все		тригонометрические
функции			периодичны,			причем
период		синуса,		косинуса,			се
канса		и косеканса равен 2 я, а
для тангенса и котангенса пе
риод равен я (180°),					что	видно
из формул приведения.									f (х) принято запи
Свойство периодичности функции
сывать следующим образом:
					[ (х) = f (х
где Т —период функции						(рис.		8 8 ).		ар
По отношению к тригонометрическим функциям,
гумент которых обозначим через х,									свойство периодич
ности запишется так:
			sin (х-\- 2я) = sin X,				cos (х + 2я) = cos х,
			tg(x + tt) = tgx,				ctg(x-}^) = ctgx.
П р и м е ч а н и е					1. В том,			что период функции		sinx
равен		2 я	и не меньше,			можно		убедиться путем следую
щих рассуждений.
Допустим, что существует число I такое, что
					sin (х + /) =			sin X		(1)
при	любом значении х. Тогда при х = 0 и при х = у									из
ное	*) Иногда под			словом «период» понимают л ю б о е положитель
	число,		отличное от нуля, прибавление которого к любому зна

чению аргумента не меняет значения функции. Наименьшее же чис ло с таким свойством называют основным периодом.

тождества (1 ) следует:

sinZ = 0 , s i n ( - j + Z ^ = l,

или

sin I = 0 , cos / — 1 .

Наименьший положительный угол Z, синус которого равен нулю, а косинус равен 1 —это угол 2 л (рад).

П р и м е ч а н и е 2. Период можно не только прибав лять к аргументу, но и вычитать из него; кроме того, прибавлять к аргументу можно любое целое число пе риодов, а также вычитать любое целое число периодов:

sin (X +

2лк) = sin х,

tg (х +

лк) = tg х,

где k —любое

целое

число,

положительное

или отрица

тельное—все

равно.

sin ( —330°) = sin (—330°+ 360°) =

П р и м е р ы .

= sin30° = y .

Здесь

аргументу

был прибавлен период.

2 ) sin 765° = sin (45° +

2 -360°) = sin 45° =

•

этом

примере

из

аргумента вычли

два

периода.

17 л

= tg —= у 3.

отри-

) = tS

' 3

нательному

аргументу

17 л

было

прибавлено

шесть

периодов

(6 л), - что

привело

положительному

аргу-

менту у .

sin 1200° =

sin (3 • 360° +

120°) = sin 120°= sin 60° =

Y з

5) sin (—5,6 л) = sin ( —5,6л + 6 л) = sin 0,4л=cos 0, Ія?»

Ä? 0,305.

§ 113.

Графики тригонометрических функций.

1 .

Г р а

ф и к и

ф у н к ц и й

i/ = sinx и у = сosx. Изобразим графи

чески

изменение

функции у = sinx при

изменении

аргу

мента

от

х = 0 до

х = 2я,

или,

градусной

мере,

от 0° до 360°. Проще

всего это можно выполнить так:

Начертим окружность единичного радиуса и разде

лим ее на 16 равных

частей

(рис. 89). Каждому делению

дуги соответствует		центральный угол 22°30',			или,
в радианной мере, у		(рад).
По оси Ох будем откладывать углы
JT	Jr	Зл	л	5я
T ’ T ’ 8"’			¥ ’ "8* * ‘ *
изображая их в	виде	отрезков		в выбранном масштабе.
В точках деления		восставим		перпендикуляры	к оси

Ох и на них отложим значения синуса соответствующих углов. Значения синуса находим построением, проекти руя точки деления окружности на ось Оу и перенося проекции на соответствующий перпендикуляр. Через концы перпендикуляров проводим плавную линию. По лучим кривую, которая называется синусоидой. Мы по строили лишь одну «волну» синусоиды, соответствующую изменению аргумента от 0 до 2л. В силу периодичности

функции sin X дальнейшее изменение аргумента х в про межутке от 2л до 4л приведет к тому, что образуется вторая волна синусоиды, одинаковая с первой.

То же самое произойдет, если мы захотим построить ту часть кривой, которая соответствует изменению аргу мента X от 0 до —2л. График отражает ход изменения функции. Из графика легко установить свойства функ

ции г/= sinx.

1) Функция sinx определена при любом действитель ном значении аргумента х, т. е. ее область определе ния—все действительные числа, принимаемые за ра-

дианную меру угла.		функции	sinx	заполняют отрезок
2)	Все значения
[— 1 , 1 ], т. е. — l < s i n x < l .			как	sin (—х) = — sinx.
3)	Функция —нечетная, так
График симметричен		относительно		начала координат.

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 4520 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ