книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

(I)

tg (cs+ ß)

tga-tgß

1—t g a - t g ß ’

tg (« + ß) =

....2

J..=

1 .

1 ~ T ' T

Следовательно,

a + ß = 45°.

— ß, получим

Заменяя

в формуле (V)

угол ß на

tg (a — ß)

t g « + t g( — ß)

t g « —tgß

1— t g a - t g ( — ß)

1 + t g a - t g ß ’

(И )

tg (a — ß)

t g « —t gß

1 + t g a - t g ß

‘

tg 15° = tg (45°—30°) =

tg45°—tg 30°

1

О

1 + t g 45°-tg 30

І+ Ь

э— Ѵ з _

(з—тСз)г

12 — 6 ѴЗ

2

— У 3 æ 0,2679.

~ з+ѵ ^з —

6

6

П р и м е ч а н и е . Нет

необходимости выводить и за­

Пр и ме р .

О < a <

~

. Найти tg 2a.

2сх 1

з

2 tg a

12

1—tg3a

5 '

t g a = -

П р и м е ч а н и е .

Всякий

угол есть двойной по отно­

шению к половине этого угла, как например,

a —по от-

ношению к -

„— по отношению к

.

, 5а—по отно-

5а

2

4

a + ß И т.

отношению

к

д.

шению к —рг , (a + ß)- -по

Пр и ме р ы .

1) sin Зх — 2 sin Щ- cos Y ,

4) tg

2t^

i - t g 2

16

2 ) cos a = cos2 —

sin:

2

3) sin(a + ß) = 2sin a + ß

cos

a + ß

§ 118. Тригонометрические функции половинного аргу­

мента. Будем

исходить из

следующих

двух

тождеств:

1

о

а

,

. «

a

\

I = C0S2

—

+ sm2

— ,

„

a

. ,

a

j

f

(l)

cos a = cos3

-g---- sm2

—g—•

Почленно складывая эти два равенства,

потом

вы-

читая из первого второе, получим:

I + cos a = 2 cos2

,

(2 )

I —cos a — 2 sin2

(3)

П р и м е р

3. Вычислить tg 15°.

Применяем формулу (III), считая угол 15° половиной

угла

30°:

1—cos 30О

У з

tgl5° = / ■ 1 + cos 30О

V з

2+1^3

(2 — V з Y

■2— V à‘ ■

V

(2— V

3 ) ( 2 + y r 3)

Для

тангенса

половинного

угла

вместо

формулы

(III)

можно

вывести

две другие, более

удобные

для вы­

числения и не содержащие радикалы:

sm -

2 sin2 -2-

(ІИ')

tg-

I —cos а

cos •

'

а

. а

sm a

2 cos — s m ~

или

sin-

„ .

а

а

(III")

tg-

2 sin — cos —

sin a

2 cos2

1-]- cos a'

Заметим,

что

sin а

и

tg-y

имеют один

и

тот же

знак.

Пр и ме р .

,

п

У 2

, п

1 — COS -4г

2 —

tg т

sin -

У 2

Ѵ~2

}Г~2

— bL = K2 — I »

0,414.

V

2

1 + sin 2а

_sin3 а +

cos2 а +

2 sin а cos а

*cosa + s i n a

cos а +

sin а

~

(cos a - f sin а)2

. .

л г к (

1

,

1 .

\

= --------;—:----- =cos a+sin

а= у

2 ( - 7=- cos аА—^ s m a

)=

cos а +

sin а

\

2

у

2

/

= Y 2 ^cos -2 -cos а + sin

since) = К

2 cos

.

sin (се -f ß) 4 - sin (a —ß) =

2 sin ce cos ß,

(2 )

sin (» 4 -ß) —sin (ce—ß) = 2 sin ß cos a.

(3)

Положим:

a 4 - ß = X, a —ß = г/.

(4)

Путем

почленного

сложения, а

потом вычитания

ра­

венств

(4) найдем,

что

a = i ± ^ ,ß = ^ .

(5)

(II)

sin X —sin г/= 2 sin

cos — •

лу

Подобным

образом

можно

прочесть

также и форму­

(IV).

П р и м е р ы .

25°+

35°

35°—

25°

, ч

о г о

,

о - о

О

1 )

cos 35

+ cos 2t>

= 2 cos — j------cos----- -— =

=

2 cos 30° • cos 5° = Y 3 • cos 5°;

2 )

cos (^2x—

—cos ^ж+

=

n . 3X . f X

я \

n . 3x . f n

л: \

= - 2 s m T s ]n [ —

T ) = 2 s in T s in ( T ' -

T ) ■

3.

П р е о б р а з о в а н и е с у м м ы и р а з н о с т и д в у х

т а н г е н с о в .

Если cosx=+0,

cosy +

O,

то имеем:

,

,

,

sin

X ,

sin

и

sin

X -

cos

у -Г- sin

ï/ ■ COS X

sin ( x 4 - и )

ta X +

ta y —

-------- ------- - = -------------— ------ --------- = ------—

°

J

COS X

COS у

COS

X '

cos у

COS X -COS у

Подобным же образом можно преобразовать

разность;

*gx — tgy =

sin (x —у)

При ме р .

COS X cos у

sin 60°

tg 75°—tg 15° = sin (^

°

--Д1 = —

-----f7Г

&

&

cos75 cos!5

cos75

cosl5

Ѵз

2 cos 75°cos 15°

2 sin 15°cos 15Ö -2J/3.

4.

П р е о б р а з о в а н и е п р о и з в е д е н и я в ал ­

г е б р а и ч е с к у ю

сумму.

Каждое из

равенств (2), (3),

(7) и (8 ) можно читать как

слева направо, так и в об­

ратном направлении.

Разделим

в этих

равенствах

пред­

варительно

каждую

часть

на 2 , а потом перепишем их

в обратном

порядке,

получим:

sin a cos ß = -J- [sin (a + ß) + sin (a —ß)],

sin ßcosa = y

[sin (a + ß)—sin (a —ß)],

cos a cos ß = у

[ cos (a + ß) + cos (a —ß)],