книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФУНКЦИЯХ. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН И ЕГО ГРАФИК

§46. Вводное замечание. Начальные сведения о функ­ циях и их графиках вам были уже сообщены в VII—VIII классах средней школы. Поэтому в первых параграфах этой главы мы только в сжатой форме повторяем основ­ ные понятия и определения. Новый материал излагается подробно и иллюстрируется большим количеством при­ меров.

§47. Основные понятия и определения.

Оп р е д е л е н и е 1. Величина называется постоянной, если в условиях данного исследования (наблюдения, экс­ перимента) она сохраняет одно и то же значение.

Примеры постоянных величин: 1) отношение длины окружности к своему диаметру; 2) ускорение силы тя­ жести g в данной точке земной поверхности; 3) сумма внутренних углов треугольника.

Оп р е д е л е н и е 2. Величина называется переменной, если в данном исследовании или процессе она принимает различные значения.

Примеры переменных величин: 1) расстояние, отде­

ляющее парашютиста от поверхности Земли после того, как он выбросился из самолета; 2) угол зрения, под ко­ торым виден удаляющийся от наблюдателя предмет (са­

в течение суток.

Одна и та же величина в одних условиях может ока­ заться постоянной, в других —переменной. Например,

ускорение силы тяжести g будет переменной величиной, если ее измерять на различных широтах земной поверх­ ности: на полюсе она больше, чем на экваторе (для Москвы g —9,81 м/с2). Постоянные величины приня­ то обозначать начальными буквами латинского алфа­

В математике отвлекаются от физического смысла пе­ ременных величин, участвующих в том или другом про­ цессе, а интересуются только взаимосвязью между чис­ ловыми значениями изменяющихся переменных величин. Это приводит к одному из важнейших понятий матема­ тики—понятию ф у н к ц и и .

• О п р е д е л е н и е 3. Величина у называется функцией переменной х, если каждому значению х из данного чис­ лового множества соответствует по некоторому закону вполне определенное значение у.

Переменная х называется аргументом или независи­ мой переменной, величина у — зависимой переменной или

функцией. Говорят, что переменные х и у связаны между собой функциональной зависимостью, и записы­

у — > то Для нахождения у надо:

1)возвести аргумент х в квадрат,

2)прибавить 1 к квадрату аргумента,

3)поделить X на сумму 1 + х 2.

Возвращаясь к рассмотренным примерам, можно ска­ зать, что

1)расстояние, отделяющее парашютиста от поверх­ ности Земли, есть функция времени;

2)угол, под которым видна цель из данной точки, есть функция расстояния до цели;

3)скорость истечения жидкости из сосуда есть функ­ ция высоты уровня жидкости над отверстием, через ко­ торое выливается жидкость.

2.Объем прямоугольного параллелепипеда есть функ­

дана при помощи таблицы. Такой способ задания функции состоит в том, что численные значения аргумента распо­ лагают в виде строки (или столбца), а против каждого значения аргумента помещают соответствующее значение функции:

лицы квадратов, кубов, квадратного корня, кубического корня и т. д.

Обычно табулируют одновременно несколько функ­ ций; например, во всех инженерных справочниках мож­

Мы показали лишь начало таблицы. Здесь табули­ рованы Ѳ различных функций. В первом столбце поме­ щены значения аргумента с равными промежутками, т. е. через единицу, для всех девяти функций. Считаем, что пользование такой таблицей не вызовет никаких за­ труднений. Хотя таблица составлена только для целых значений аргумента п в пределах от 1 до 100, но тем

не менее она дает большие преимущества: значения лю­ бой из девяти функций находим сразу без всяких вычис­

лений. Например, при п = 3 получаем \Z 10/і = 30 = = 3,107. Следует сказать, что в результате эксперимен­ тального изучения какого-нибудь явления или процесса

Задание функции с помощью формулы имеет то боль­ шое преимущество, что по формуле значения функции могут быть вычислены для каждого допустимого значе­ ния X с нужной точностью весьма быстро, если пользо­ ваться средствами современной вычислительной техники.

Недостатком аналитического способа является то, что часто по формуле невозможно судить о характере изме­ нения функции. Несмотря на этот недостаток, аналити­ ческий способ господствует в математике, к нему при­

Графический способ задания функции удобен тем, что он наглядно показывает ход изменения функции; в каких

2) С е й с м о г р а ф изображает колебания земной коры; по нему можно определить, где произошло земле­ трясение и какова его сила.

3) В и б р о м е т р регистрирует колебания различных сооружений, например, мостов, судов и т. д.

Подобные примеры можно привести из самых раз­ личных областей науки.

К недостаткам графического способа изображения функции надо отнести:

1) сравнительно небольшую точность, с какой можно прочесть значения аргумента и функции по графику;

2) ограниченность промежутка, на котором может

Через' полученные 11 точек проводим плавную кри­ вую, называемую кубической параболой (рис. 18).

§ 49. Область определения функции. Областью опре­ деления функции называется множество точек числовой оси, в которых функция имеет вполне определенные действительные значения. Поясним сказанное рядом примеров.

П р и м е р 1. Найти область определения функции t/ = l —X2. При любом действительном значении х функ­ ция у принимает также действительные значения; по­ этому область определения ее —вся числовая ось, или промежуток — с» < х < + оо.

П р и м е р 2. у =

Данная функция определена при значениях аргумента х Ф ± 1 ; ее область определения состоит из трех про­ межутков:

( - 0 0 , - 1 ) , ( - 1 , 1) И (1 , + 0 0 ) .

Подкоренные выражения должны быть неотрица­ тельны, т. е.

Г — х > 0 ,

\х > 0 .

Этой системе неравенств удовлетворяет единственное значение х = 0. Итак, данная функция определена только

исследования, может случиться, что область определения функции и область допустимых значений аргумента—не - одно и то же.

Так, например, при свободном падении тела (без учета сопротивления воздуха) пройденный путь 5 в зависи­

и S, то тогда функция вида 5 = у- определена на всей

числовой оси (t).

§ 50. Некоторые свойства функций, используемые при построении графиков. Построение графика функции упро­ щается, если по уравнению y —f(x) можно обнаружить некоторые свойства данной функции.

О п р е д е л е н и е 1 . Функция f (х) называется четной, если перемена знака у аргумента не меняет значения функции, т. е. / ( —х) = /(*).

График четной функции—кривая, симметричная от­ носительно оси ординат (рис. 19),

n ~ x ) = - f ( x ) .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2 0 ).

П р и м е р ы нечетных функций, 1) у = 3х\ 2) У = ~ \

3) у{х) = \ х ъ— Ъх.

Согласно определению, нечетность функции (пример 3) проверяем так:

у (— X) = у ( — х)3 —б(— х) = — (д Х 3 —5х ^ = — у(х).

Однако бывают функции, как например, у —2х+1 или г/ = х2—х + З, которые не являются ни четными, ни нечетными.

О п р е д е л е н и е 3. Функция называется возрастаю­ щей в данном промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

График возрастающей функции—восходящая кривая, если перемещаться по оси Ох в положительном направ­ лении (рис. 2 1 , слева).

2) Если будем нагревать данную массу газа ѵ0, взя­ тую при температуре 0 °С, то при постоянном давлении р объем газа ѵ будет увеличиваться с повышением темпе­ ратуры t по закону

V = ѵп-f- v 0a t = п0 (1 + a t ) ,

где а —коэффициент объемного расширения данного газа. 3) Путь, пройденный телом при равномерном и пря­

молинейном движении, изменяется по закону

5 = п0^ + ,5о>

где ѵ0—постоянная скорость движения, 50 —началь­ ный путь. Составим таблицу значений линейной функции

Изобразим каждую пару чисел (хг; уг), (хг\ у2), (х- и.), ... в виде точки на плоскости. Получим ряд точек: Мѵ Мг, М3, . ..

Если мы проведем прямую через какие-нибудь две из построенных точек, то окажется, что эта прямая прохо­ дит и через остальные построенные точки. Однако у нас нет никакой уверенности в том, что всякая новая точка, которая еще не построена, но которую можно построить,

Возьмем две точки М0 и Мѵ координаты которых удовлетворяют уравнению у = kx -f- b. Покажем, что любая

М0(0; Ь) и ЛД (л^; yt) удовлетворяют данному уравнению y = kx-\-b. Тогда имеем два тождества: